Funzioni circolari

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Materia:Analisi matematica > Funzioni circolari

Avanzamento lezione: 50% al 26-11-2009.

Indice

1 Circonferenza unitaria
- 1.1 Osservazioni sulla funzione lunghezza dell'arco
  - 1.1.1 Proposizione (biiettività della funzione lunghezza dell'arco)
  - 1.1.2 Formula di Eulero
2 Radici n-esime complesse

[modifica] Circonferenza unitaria

La circonferenza unitaria è la circonferenza con centro nell'origine e raggio 1.

Per brevità la indicheremo con $U=\{z\in \mathbb{C}\ :\ |u|=1\}$ la circonferenza unitaria e con $U +$ la semicirconferenza unitaria formata dai complessi con parte immaginaria non negativa, cioè in altri termini primo e quatro quadrante.
Definiamo poi l' arco di estremi 1 e $v$ l'insieme dei punti di $U +$ tali che la parte reale di ogni punto di questo insieme sia minore uguale di $v$ .

Notiamo che per ogni punto di $U$ esiste un solo $\alpha \in U^+$ tale che $α 2 = u$ . Infatti se così non fosse, avremmo che $u 2 - α 2 = 0$ e di conseguenza $(u - α)(u + α) = 0$ , che implica $u = α$ o $u = - α$ . Ma per ipotesi $\alpha \in U^+$ e dunque non è possibile che anche $-\alpha \in U^+$ e dunque non può essere $u = - α$ e così l'unicità è dimostrata.
Ponendo (sempre considerandoci in $U +$

$\alpha = \frac{1+u}{\left|1+u\right|}$

si ha infatti:

$\left(\frac{1+u}{\left|1+u\right|}\right)^2= \frac{\left(1+2u+u^2\right)^2}{\left(\sqrt{\Re ^2(1+u) + \Im ^2 (1+u)}\right)^2 }= \frac{1+2(a+ib)+a^2+2aib -b^2}{\left(\sqrt{(1+a)^2 + b^2}\right)^2}$ . Ora, ricordando che

a 2 + b 2 = 1

perché

cos 2 x + sin 2 x = 1

e sostituendo al numeratore

b 2

con

a 2 - 1

, abbiamo

$= \frac{2a +2a^2 +2ib(a+1)}{2+2a}=\frac{(a+1)(a+ib)}{a+1} = a+ib = u$ .

Graficamente, $α$ è il punto medio dell'arco da $1$ ad $u$ .

Punto medio arco circonferenza unitaria.png

Definiamo poi una successione $\alpha (u) : \mathbb{N}\to \mathbb{C}$ tale che

$\begin{cases}\alpha_0 (u)= u \\ \alpha_{n+1} (u) = \alpha(\alpha(n))\end{cases}$ .

In altri termini, abbiamo definito la successione "punto medio" di ogni segmento tale da creare segmenti sempre più piccoli avvicinandosi sempre di più alla circonferenza, per $n$ che tende all'infinito.

Definiamo un'altra successione estremamente importante: la successione "lunghezza dell'arco" da $1$ a $u$ come

$L_n:\mathbb{N}\to \mathbb{C}$

L n (u) = 2 n | α(n) - 1 |

cioè, la lunghezza dell'arco trovato per ogni $n \in \mathbb{N}$ applicato alla successione $α$ comporta che il segmento disti $| α(n) - 1 |$ e dunque, siccome sono $2 n$ , la lunghezza dell'intero arco fino ad $u$ è data da $2 n | α(n) - 1 |$ . La figura sotto chiarisce meglio la situazione ad esempio, nel caso di $n = 2$ .

Poniamo infine $π: = L ( - 1)$ (in accordo con l'usuale conoscenza che abbiamo di $π$ come $180^\circ$ .

[modifica] Osservazioni sulla funzione lunghezza dell'arco

Vediamo ora alcuni aspetti importanti di $L (u)$ e di $α(u)$ .
Siano $u \in U^+$ e $v \in U\setminus \{0\}$ . Si ha allora che

α(u v) = α(u)α(v)

.

Per definizione di $α(u)$ sappiamo che è quell'unico elemento tale che $α 2 (u) = u$ . Notiamo però che $(α(u)α(v)) 2 = u v$ e dunque è quell'unico elemento in $U +$ che elevato al quadrato da $u v$ . Quindi è $α(u v)$ .

Inoltre, $L (u v) = L (u) + L (v)$ . La dimostrazione la omettiamo per brevità, ma vi invitiamo a darci un'occhiata sul libro di testo che avete. Osserviamo solo che

$L(u)=\pi + L(-u),\ \ \forall u \in U\setminus U^+$

Infatti, nel caso $u\neq -1$ , visto che $u \in U\setminus U^+$ , $-u \in U^+$ e dunque

L (u) = L (( - 1)( - u)) = L ( - 1) + L ( - u) = π + L ( - u)

.

[modifica] Proposizione (biiettività della funzione lunghezza dell'arco)

$L_{|_{U^*}}:U^*\xrightarrow[1-1]{su} [0,\pi]$ e lo è anche $L:U \xrightarrow[1-1]{su} [0,2\pi[$

Non dimostreremo questa proposizione adesso in quanto si richiedono conoscenze di continuità e di connessione che vedremo più avanti. Per ora, accettate "con fiducia" quanto detto.

Per ogni $t \in [0,2\pi[$ poniamo