Successioni reali

Da Wikiversità, l'università aperta.

Avanzamento lezione: 100% al 23-11-2009.

Indice

1 Successioni
- 1.1 Esempi
2 Convergenza di una successione
- 2.1 Esempi
3 Successioni divergenti
- 3.1 Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)
  - 3.1.1 Dimostrazione
4 Teorema di unicità del limite
5 Criteri di convergenza per una successione

Materia:Analisi matematica > Successioni reali

In matematica, una successione può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da un numero infinito di oggetti, detti termini della successione, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-mo termine per ogni intero n.

[modifica] Successioni

Una funzione $a:\mathbb{N}\to X$ , con $X$ un insieme non banale, si dice successione in $X$ e si usa denotarla con

$a_n\ \ \ (a_n)_{n \in \mathbb{N}}\ \ \ a_1,a_2,\dots,a_n$

[modifica] Esempi

$a:\mathbb{N}\to \mathbb{Q}^+,\ \ n\mapsto \frac{1}{n}$ è una successione ed è del tipo $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots,\frac{1}{n},\dots$ .

La successione $\left(\frac{1}{2n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ è una sottosuccessione di $\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$

[modifica] Convergenza di una successione

Una successione $(a n)$ tende a $\lambda \in \mathbb{R}$ per $n$ che tende a infinito se

$\forall \varepsilon >0\ \exists m\in \mathbb{N}\ :\ \lambda-\varepsilon< a_n < \lambda +\varepsilon,\ \forall n\in \mathbb{N},n>m$
oppure equivalentemente
$\forall \varepsilon >0\ \exists m\in \mathbb{N}\ :\ |a_n -\lambda| < \varepsilon,\ \forall n\in \mathbb{N},n>m$

Cioè mano a mano che cresce il contatore $n$ della successione, mi avvicino sempre di più ad un valore reale $λ$ . Equivalentemente, per quanto io possa scegliere piccolo il valore reale $\varepsilon$ , per un $n$ sufficientemente grande (più grande di un altro valore $m$ ) la differenza tra la successione ed il limite della successione $λ$ è proprio $\varepsilon$ , cioè un valore anche infinitamente piccolo.

Quando questo accade (e non succede infatti per tutte le successioni!), si dice che la successione converge e $λ$ è il suo limite (sempre per $n$ che tende all'infinito).

Vediamo alcuni esempi per fissare le idee.

[modifica] Esempi

1. Proviamo che $\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n} = 0$ , cioè proviamo la veridicità di

$\forall \varepsilon >0\ \exists m\in \mathbb{N}\ :\ \left|\frac{1}{n}\right| < \varepsilon,\ \forall n\in \mathbb{N},n>m$

Fissiamo dunque un qualsiasi valore reale positivo $\varepsilon$ , deve esistere un $m \in \mathbb{N}$ tale che $\frac{1}{n}< \varepsilon \Leftrightarrow n > \frac{1}{\varepsilon},\ \forall n > m$ . Ci basta prendere come

m

un numero più grande di $\frac{1}{\varepsilon}$ e otteniamo l'asserto. Prendiamo dunque $m=\frac{1}{\varepsilon}+\delta$ abbiamo che $n> \frac{1}{\varepsilon}+\delta>\frac{1}{\varepsilon} \Longleftrightarrow \frac{1}{n}<\frac{1}{m}<\varepsilon$ e abbiamo finito.

[modifica] Successioni divergenti

La successione in $\mathbb{R}$ $(a n)$ si dice divergente se

$\lim_{n\to \infty}a_n = \pm \infty$

e dunque

$\forall k \in \mathbb{R} \exists m \in \mathbb{N}\ :\ a_n > k,\ \forall n\in \mathbb{N},n>m$

$\forall k \in \mathbb{R} \exists m \in \mathbb{N}\ :\ a_n < k,\ \forall n\in \mathbb{N},n>m$

Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.

In termini intuitivi, una successione che diverge è una successione di numeri che non tende a nessun numero finito, ma cresce indefinitamente fino a "perdersi" all'infinito.

Inoltre, analogamente alle successioni convergenti, il limite in senso esteso (cioè quando è $\pm \infty$ , dunque non è un numero reale) è unico.

[modifica] Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)

Se $(a n)$ è una successione divergente (positivamente o negativamente), allora ogni sottosuccessione $(a_{i_n})$ è anch'essa divergente positivamente (se lo è anche $(a n)$ ) o negativamente (se lo è anche $(a n)$ ).

[modifica] Dimostrazione

La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.

Per fissare le idee, prendiamo il caso di $\lim_{n \to \infty}a_n=+\infty$ . Allora

$\forall k \in \mathbb{R} \ \exists m \in \mathbb{R}\ :\ a_n > k,\ \forall n>m, n\in \mathbb{N}$

Anche qui però, $i_n \geq n,\ \ \forall n\in \mathbb{N}$ , perché non può essere altrimenti visto che se così fosse $(a_{i_n})$ non sarebbe una sottosuccessione. Dunque, se $(a n)$ diverge positivamente per ogni $n > m$ , a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione, visto che ogni suo $i_n \geq n$ .

$\Box$

Non per tutte le successioni esiste il limite, ma se esiste è unico. Infatti sussiste il seguente:

[modifica] Teorema di unicità del limite

Data una successione $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ tale che esiste il $\lim_{n\to\infty} a_n$ allora il limite è unico.

Dimostrazione

Il nostro scopo è quello di far vedere che se $\lim_{n\to\infty}a_n=A_1$ e $\lim_{n\to\infty}a_n=A_2$ allora $A_1=A_2\,\!$

Per ipotesi abbiamo che dato $\varepsilon>0$ riusciamo a determinare un $N\in\mathbb{N}$ tale che $\forall n>N$ abbiamo che: $|a_n-A_1|<\varepsilon$ e $|a_n-A_2|<\varepsilon$ . Cosideriamo ora la differenza tra i due limiti in valore assoluto:

$|A_1-A_2|=|A_1-a_n+a_n-A_2|\leq |a_n-A_1|+|a_n-A_2|<\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon$ $\forall n>N$

.

Abbiamo fatto vedere che $| A 1 - A 2 |$ è minore di qualsiasi quantità positiva, e pertanto deve essere zero, come conseguenza otteniamo che $|A_1-A_2|=0\iff A_1=A_2$

$\Box$

[modifica] Criteri di convergenza per una successione

[modifica] Teorema (convergenza di una sottosuccessione)

Sia $(a n)$ una successione convergente a $\lambda \in \mathbb{R}$ . Allora ogni sottosuccessione $(a_{i_n})$ è convergente a $λ$ .

[modifica] Dimostrazione

Se $(a n)$ converge a $λ$ , si ha

$\forall \varepsilon > 0\ \exists m \in \mathbb{R}\ :\ |a_n - \lambda| < \varepsilon,\ \forall n>m, n\in \mathbb{N}$

Analogamente

$\forall \varepsilon > 0\ \exists m \in \mathbb{R}\ :\ |a_{i_n} - \lambda| < \varepsilon,\ \forall n>m, n\in \mathbb{N}$

Notiamo però che $i_n \geq n,\ \ \forall n\in \mathbb{N}$ , perché non può essere altrimenti visto che se così fosse $(a_{i_n})$ non sarebbe una sottosuccessione. Dunque, se $(a n)$ converge a $λ$ , necessariamente anche $(a_{i_n})$ converge a $λ$ proprio perché se la convergenza vale per $n$ , a maggior ragione varrà anche per qualsiasi altro numero più grande o uguale.

$\Box$

[modifica] Algebra delle successioni convergenti

Siano $(a_n),\ (b_n)$ successioni convergenti a $λ$ e $μ$ rispettivamente. Allora:

(i) $a_n+b_n \to \lambda + \mu$

(ii) $a_nb_n \to \lambda \mu$

(iii) $\frac{1}{a_n}\to \frac{1}{\lambda},\ \ a_n\neq 0\forall n \in \mathbb{N},\ \lambda \neq 0$

(iv) $\begin{cases}\lambda > 0 \Rightarrow \ \exists m \in \mathbb{N}\ :\ a_n > 0,\forall n \in \mathbb{N} \\ \lambda < 0 \Rightarrow \ \exists m \in \mathbb{N}\ :\ a_n < 0,\forall n \in \mathbb{N}\end{cases}$

[modifica] Dimostrazione

(i) Nelle ipotesi abbiamo che la successione $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ converge a $λ$ , e per definizione di successione convergente abbiamo che:

$\forall\varepsilon>0, \exist N_1\in\mathbb{N}$ tale che $\forall n>N_1,$ $|a_n-\lambda|<\frac{\varepsilon}{2}$

Similmente se $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ convergente a $\mu\Rightarrow$

$\forall\varepsilon>0, \exist N_2\in\mathbb{N}$ tale che $\forall n>N_2,$ $|b_n-\mu|<\frac{\varepsilon}{2}$

Il nostro obiettivo è quello di trovare $\forall\varepsilon>0$ un numero naturale N>0 tale che $\forall n>N$ si ha:

$|a_n+b_n-(\lambda+\mu)|<\varepsilon$

.

Per fare ciò prendiamo in esame l'espressione $| a n + b n - (λ + μ) |$ ed applichiamo ad essa la oramai celeberrima disuguaglianza triangolare, con la quale otteniamo che:

$|a_n+b_n-(\lambda+\mu)|=|a_n-\lambda+b_n-\mu|\leq |a_n-\lambda|+|b_n-\mu|$

.

Attenzione, questo è un passaggio fondamentale per avere chiara la dimostrazione: Abbiamo visto che $\forall n>N_1, |a_n-\lambda|<\frac{\varepsilon}{2}$ , così come $\forall n>N_2, |b_n-\mu|<\frac{\varepsilon}{2}$ quindi se $n>N=\max{(N_1,N_2)}\,\!$ otteniamo che:

$|a_n+b_n-(\lambda+\mu)|\leq |a_n-\lambda|+|b_n-\mu|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

$\Box$

(ii)Per ipotesi abbiamo che la successione $a n$ converge a $λ$ e di conseguenza è limitata, a ciò si perviene avendo a mente che se una successione è convergente allora essa è limitata, cioè esiste un valore $M\in \mathbb{R^+}$ tale che $|a_n|\leq M,~\forall n\in\mathbb{N}$ .Prendiamo in esame la seguente quantità:

$|a_nb_n-\lambda\mu|\,\!$

aggiungiamo e sottraiamo $a n μ$ ottenendo:

$|a_nb_n-\lambda\mu|=|a_nb_n+a_n\mu-a_n\mu-\lambda\mu|=|a_n(b_n-\mu)+\mu(a_n-\lambda)|\,\!$

Utilizziamo la disuguaglianza triangolare:

$|a_n(b_n-\mu)+\mu(a_n-\lambda)|\leq |a_n (b_n-\mu)|+|\mu(a_n-\lambda)|=|a_n||b_n-\mu|+|\mu||a_n-\lambda|$

Abbiamo visto che $|a_n|\leq M$ quindi

$|a_n||b_n-\mu|+|\mu||a_n-\lambda|\leq M|b_n-\mu|+(|\mu|+1)|a_n-\lambda|$

Attenzione:Nell'ultimo passaggio abbiamo aggiunto un 1 per evitare problemi in seguito, infatti se la successione $b n$ convergesse a 0, il valore $\frac{\varepsilon}{2(|\mu|)}$ non avrebbe senso. Con questo trucchetto abbiamo evitato il problema.
.

Poiché $a n$ e $b n$ sono successioni convergenti allora $\forall\varepsilon>0~$ possiamo trovare $N_1,N_2\in \mathbb{N}$ tali che

$|b_n-\mu|<\frac{\varepsilon}{2M} \forall n>N_1$ e $|a_n-\lambda|<\frac{\varepsilon}{2(|\mu|+1)}$

ma allora:

$|a_nb_n-\lambda\mu|\leq M|b_n-\mu|+(|\mu|+1)|a_n-\lambda|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon~\forall n>N$ dove $N:=\max{(N_1,N_2)}\,\!$

$\Box$

Nota:
Continuare con le altre dimostrazioni

[modifica] Algebra delle successioni divergenti

Siano $(a_n),\ (b_n)$ successioni. allora

(i) $a_n \to +\infty (-\infty),\ b_n \to +\infty (-\infty) \Longrightarrow a_n+b_n\to +\infty (-\infty)$
(ii) $a_n \to +\infty (-\infty),\ b_n \to +\infty (-\infty) \Longrightarrow a_n b_n\to +\infty (-\infty)$
(iii) $a_n \to +\infty,\ b_n \to -\infty \Longrightarrow a_n b_n\to -\infty$
(iv) $a_n \to +\infty (-\infty),\ b_n \to \mu \in \mathbb{R} \Longrightarrow a_n+b_n\to +\infty (-\infty)$
(v) $a_n \to +\infty (-\infty),\ b_n \to \mu \in \mathbb{R} \Longrightarrow a_nb_n\to \begin{cases}+\infty,\ \ \mu >0 \\-\infty,\ \ \mu < 0\end{cases}$
(vi) $a_n \to +\infty (-\infty), a_n \neq 0\forall n \in \mathbb{N} \Longrightarrow \frac{1}{a_n}\to 0$
(vii) $a_n \to 0, a_n > 0 (< 0)\forall n \in \mathbb{N} \Longrightarrow \frac{1}{a_n}\to +\infty (-\infty)$
(viii) $a_n \to \pm \infty, \Longrightarrow |a_n|\to +\infty$ .