Vettori

Vettori

Un vettore, o grandezza vettoriale, è una grandezza descritta in modo completo da tre informazioni:

• il modulo, o intensità, ossia il valore della unità di misura della grandezza
• la direzione
• il verso

Versori

Dato un vettore ${\bf {v}}$, il suo versore ${\bf {\hat {v}}}$ è definito come il vettore di modulo unitario (cioè di modulo 1) con direzione e verso identiche a quelli di $v$. Perciò un vettore può essere espresso come ${\bf {v=||v||\cdot {\hat {v}}}}$.

Matrici

Una matrice a coefficienti reali $m\times n$ è una specie di "tabella di elementi" di $m$ righe e $n$ colonne, ordinata e nella quale gli elementi occupano una posizione identificabile attraverso un indice di riga e uno di colonna. L'insieme delle generiche matrici a valori reali $m\times n$ viene indicato con $M_{m,n}(\mathbb {R} )$

Sia $A\in M_{m,n},\ \ A=\left({\begin{array}{cccc}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &&&\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\end{array}}\right)$

Il generico elemento di A lo indicheremo di solito con $a_{i,j}$ dove $i\in \mathbb {R} ,\ i=1,2,...,m$ rappresenta il numero di riga e $j\in \mathbb {R} ,\ j=1,2,...,n$ il numero di colonna. Possiamo identificare qualsiasi elemento appartenente ad A attraverso i suoi indici di riga e colonna. Ad esempio, se vogliamo indicare il primo elemento in alto a sinistra, lo indichiamo con $a_{1,1}$, cioè l'elemento di A che sta nella prima riga-prima colonna.

Tipi particolari di matrici

Matrice Quadrata

Sia $A\in M_{n,n}(\mathbb {R} )$ ovvero una matrice in cui il numero di righe è uguale al numero di colonne, questa è detta quadrata e si indica con $A\in M_{n}(\mathbb {R} )$, che è l'insieme delle matrici quadrate di ordine n.

Esempio:

$A\in M_{3}(\mathbb {R} ),\ A=\left({\begin{array}{cccc}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{array}}\right)$ è la generica matrice quadrata 3x3.

Matrice Trasposta

Sia $A\in M_{m,n}(\mathbb {R} ),\ a_{i,j}\in A$ allora si dice trasposta di $A$ e si indica con $A^{T}$ la matrice $A^{T}\in M_{n,m}$ tale che $\forall \ a_{j,i}^{*}\in A^{T}$ si ha $a_{j,i}^{*}=a_{i,j}$.

La matrice trasposta sarà quindi la matrice ottenuta scambiando gli elementi della 1°riga con quelli della 1°colonna, della 2°riga con quelli della 2°colonna e così via.

Esempio

$A\in M_{2,3}(\mathbb {R} ),\ A=\left({\begin{array}{ccc}3&4&1\\2&5&0\end{array}}\right)$ allora la sua trasposta sarà $A^{T}\in M_{3,2}(\mathbb {R} ),\ A=\left({\begin{array}{cc}3&2\\4&5\\1&0\end{array}}\right)$

Matrice Simmetrica

Sia $A\in M_{n}(\mathbb {R} ),\ \ A$ si dice simmetrica se $A=A^{T}$, cioè se $a_{i,j}=a_{j,i}$.

Gli elementi della diagonale principale non influiscono nella simmetria o non simmetria di una matrice dato che $a_{i,j}=a_{j,i},\ \forall \ i,j\in \mathbb {R} |i=j$

Esempio

$A\in M_{3}(\mathbb {R} ),\ A=\left({\begin{array}{cccc}1&2&0\\2&-3&7\\0&7&0\end{array}}\right)$ è simmetrica.

$B\in M_{3}(\mathbb {R} ),\ B=\left({\begin{array}{cccc}25&1&0\\2&0&7\\0&7&-6\end{array}}\right)$ non è simmetrica perché $b_{1,2}=1\neq \ b_{2,1}=2$.

Matrice Antisimmetrica

Sia $A\in M_{n}(\mathbb {R} ),\ \ A$ si dice antisimmetrica se $A=-A^{T}$, cioè se $a_{i,j}=-a_{j,i}$.

Segue dalla definizione che ogni matrice antisimmetrica avrà la diagonale principale nulla, dato che $a_{i,i}=-a_{i,i}=0$.

Esempio

$A\in M_{3}(\mathbb {R} ),\ A=\left({\begin{array}{cccc}0&2&-5\\-2&0&7\\5&-7&0\end{array}}\right)$ è antisimmetrica

Matrice Diagonale

Sia $A\in M_{m,n}(\mathbb {R} ),\ A$ si dice diagonale se tutti i suoi elementi al di sopra e al di sotto della diagonale $a_{i,i}$ principale sono nulli.

Esempio:

$\left({\begin{array}{cccc}a_{1,1}&0&\cdots &0\\0&a_{2,2}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &0\\0&\cdots &0&a_{m,n}\end{array}}\right)$

Se una matrice triangolare ha tutti gli elementi nulli solo al di sotto della diagonale si dice triangolare superiore, mentre in caso contrario triangolare inferiore.

Operazioni con vettori e matrici

Quando affronteremo gli spazi vettoriali entreremo maggiormente nel dettaglio di queste operazioni. Per ora prendiamole come una definizione di come si può lavorare con i vettori e le matrici.

• somma di vettori (matrici) . È possibile sommare due vettori (matrici) ottenendo come risultato un vettore (matrice) che ha come componenti la somma dei componenti dei vettori (matrici) addendi. Cioè

$u+v=(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n})+(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})=(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2},\ldots ,u_{n}+v_{n})$

$\left({\begin{matrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &a_{n,n}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}b_{1,1}&\cdots &b_{1,n}\\\vdots &&\vdots \\b_{n,1}&\cdots &b_{n,n}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}a_{1,1}+b_{1,1}&\cdots &a_{1,n}+b_{1,n}\\\vdots &\vdots \\a_{n,1}+b_{n,1}&\cdots &a_{n,n}+b_{n,n}\end{matrix}}\right)$

• moltiplicazione di un vettore per uno scalare . Possiamo moltiplicare un numero reale (detto anche scalare) per un vettore, ottenendo come risultato un vettore che ha per componenti il prodotto dei componenti per il numero reale. In altri termini,

$\lambda v=\lambda (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})=(\lambda v_{1},\lambda v_{2},\ldots ,\lambda v_{n})$

Analogamente viene definito il prodotto per uno scalare di una matrice.

• prodotto di matrici "riga per colonna" . È possibile effettuare una moltiplicazione particolare tra due matrici A e B se hanno la stessa dimensione o se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. Il risultato sarà invece una matrice di tipo "numero di righe di A x numero di colonne di B ". Tale operazione è definita nel modo seguente:

$c_{h,k}=\sum _{j=1}^{q}a_{h,j}b_{j,k}$

dove $c_{h,k}$ è il generico elemento della matrice prodotto C = A x B in riga h e colonna k e q il numero di colonne di A/numero di righe di B

Esempio

$\left({\begin{array}{ccc}3&4&1\\2&5&0\end{array}}\right)\times \left({\begin{array}{cc}3&4\\2&1\\0&-1\end{array}}\right)$

Notiamo che è innanzitutto possibile effettuare questa operazione perché il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. Applicando quindi la definizione abbiamo:

$\left({\begin{array}{cc}9+8+0&12+4-1\\6+10+0&8+5+0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}17&15\\16&13\end{array}}\right)$

Si noti infine che il prodotto riga per colonna tra due matrici non è commutativo e quindi in generale non vale $A\cdot B=B\cdot A$.

Matrice identità e matrice inversa

Daremo qui le definizioni di matrice identità e matrice inversa, ma questi due argomenti verranno ripresi nel seguito quando avremo più strumenti a disposizione (la matrice identità quando avremo studiato gli spazi vettoriali e la matrice inversa già dalla prossima lezione sui determinanti).

• È detta matrice identità (o identica) la matrice fatta in questo modo

${\rm {id_{n}}}=\left({\begin{array}{ccccc}1&0&\cdots &0&0\\0&1&&0&0\\\vdots &&\ddots &&\vdots \\0&0&&1&0\\0&0&\cdots &0&1\end{array}}\right)$

e qualsiasi matrice $A\in M_{n,n}$ moltiplicata a ${\rm {id_{n}}}$ da come risultato ancora A stessa. In altre parole, la matrice identità è come se fosse un uno (elemento neutro per la moltiplicazione), con il risultato che possiamo moltiplicare qualsiasi numero ad uno ottenendo il numero stesso.

• Presa qualsiasi matrice A, può esistere una matrice che denotiamo con $A^{-1}$ tale che

$A\cdot A^{-1}={\rm {id}}$

e tale matrice si chiama matrice inversa di "A". Come accennato sopra, non è affatto detto che questa matrice esista, ma se esiste è unica.

Infatti, se B e C sono due matrici inverse di A, facciamo vedere che allora B = C . Infatti,

$\left\{{\begin{matrix}A\cdot B={\rm {id}}\\A\cdot C={\rm {id}}\end{matrix}}\right.\Rightarrow A\cdot B=A\cdot C\Rightarrow B=C$

come desiderato.