Utente:Funzioni di correlazione/Sandbox333
SUL CALCOLO DEL MINIMO NUMERO DI FASCI PREFORMATI PER IL SONAR
[modifica]Cesare Del Turco Elsag S.p.A.
SOMMARIO
[modifica]E' sviluppato in queste note un metodo per il calcolo del minimo numero di fasci preformati e della precisione strumentale di interpolazione di un sistema idrofonico ricevente per sonar.
Il metodo si basa sull' esame della caratteristica di direttività di una cortina idrofonica e sulle trasformazioni approssimate della sua funzione matematica in alcune funzioni gaussiane (esponenziali) facilmente manipolabili con le regole classiche dell' analisi infinitesimale.
La caratteristica di direttività, normalmente espressa in dipendenza dalla direzione di provenienza del suono, è prima trasformata nella corrispondente funzione gaussiana per consentire per via grafica l'apprezzamento della "bontà di approssimazione"; successivamenle tale funzione è trasformata nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza La trasformazione in funzione del tempo consente al progettista del sonar una più chiara comprensione del metodo, dato che la scansione dello spazio è vista come scansione dei fasci preformati nel dominio del tempo.
La trasformazione nel dominio della frequenza fornisce al progetti sta gli strumenti per il caleolo del "filtro di interpolazione che è parte fondamentale in un sistema a fasci preformati.
Dopo queste basilari trasformazioni il lavoro si articola nella determinazione dellalgoritmo per il calcolo del minimo numero di fasci preforrnati necessari al sistema e nella valutazione degli errori conseguenti allacampionatura. Questo tipo di errori è una delle molteplici cause che inficiano la precisione di misura nel rilevamento dei bersagli idrofonici.
Introduzione
[modifica]Ad una prima analisi del problema relativo alla determinazione del minimo numero di fasci preformati necessari ad un sistema sonar, per la scoperta panoramica dei bersagli navali, verrebbe spontaneo risolverlo ragionando nel modo seguente: se il sonar deve rivelare la presenza di più bersagli contemporaneamente nell'arco dell'orizzonte, con un errore strumentale non superiore, ad esempio, di 0,5° il sistema deve essere progettato con 360 fasci preforrnati, orientati grado dopo grado, su tutti i 360°.
In questo modo infatti qualsiasi bersaglio potrà essere rilevato con la precisione voluta, o perché la sua direzione coincide con quella di un fascio (in questo caso non si avrà errore strumentale di rilevamento), o perché la sua posizione angulare è comunque collocata tra due fasci adiacenti (in questo caso l'errore massimo di rilevamento non potrà essere maggiore di 0,5°).
Questa semplice impostazione consentirebbe di raggiungere lo scopo prefissato, ma risulterebbe inutilmente ridondante e troppo costosa. L'approccio corretto deve invece partire dal presupposto che la caratteristica di direttività di una base idrofonica ricevente può essere "ricostruita" per infinite direzioni dell'orizzonte "campionando" opportunamente lo spazio subacqueo con tanti fasci preforrnati quanti sono i campioni richiesti secondo il criterio di Nyquist.
In tal modo, interpolando tra i campioni, cioè tra i segnali rivelati in uscita dai singoli fasci, si possono ottenere infinite caratteristiche di direttività artificiali comunque orientate in tutto l'arco dell 'orizzonte.
Esame della caratteristica di direttività di una cortina ricevente
[modifica]In Fig. l è tracciata la caratteristica di direttività artificiale, Co(P), di una base idrofonica circolare, calcolata in una generica banda di frequenza. D~~afi cosi ,---------------------------~--------------------------, osserva che la caratteristica non si azzera mai ma ondula attorno ad un valore medio molto basso; ciò è dovuto al fatto che la base lavora in una banda di rumore. Il livello medio comune a tutte le direzioni può essere trascurato ai fini di una ricerca panoramica dei bersagli: si può pertanto tracciare la curva di direttività normalizzata C(~) riportata in Fig. 2. La curva così ottenuta, definibile da algoritmi complessi, ha un profilo molto simile a quello a " campana, caratteristico delle funzioni gaussiane, per cui viene spontaneo tentare la determinazione del parametro esponenziale di una gaussiana per individuare una semplice funzione ma tematica in grado di riprodurre con buona approssimazio ne la direttività originale. Questo artificio può essere considerato il cardine per tutti gli sviluppi che prenderanno forma nei paragrafi successivi.
1
0.9 '\
0.8 \
K ••.•••••••••••••.••. \.,
0.7 \
0.6 \\
0.5 \
0.4 \\
0.3 \
\
0.2 \
0.1 "
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
c O (~)
FIG. 1
"-
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\ ,
" ,
"
,_...- •... ---.. _ ..•. --
O
o
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
C(~)
FIG. 2
O
o
2 ~Ò 6
8 10 12 14 16 1820 2224262830
proximation.
This trick is a starting point for alt developments presented in the following,
41
3. Trasformazione di C(~) in fun zione gaussiana nel dominio dello spazio
3. Transformation of C(~) into a space domain Gaussian function .
La funzione gaussiana Y(~) = e - À~2 è stata as- The Gaussian function Y(~) = e - À~2 has been
sunta come trasformazione nel dominio dello assumed as the space domain transform of the
spazio della caratteristica di direttività normaliz- normalized directivity characteristic C(~). To
zata C(~). Per calcolare il parametro À, onde calculate parameter À, so as to obtain the best
ottenere la migliore approssimazione con la matching with. C(~), and to he checked graphi-
C(~) da verificare graficamente, si ricavano dalla cally, we have to ohtain the main beam coordi-
Fig. 2 gli ele- r----------------'------------------, nat es ~o
menti relativi and K from
alle coordinate Y(~) Fig 2. By
~o eKnell'am- 1 FIG. 3 foll owi ng
bito del lobo 0.9 " the devel-
principale. Sc- \
guendo gli svi- O . 8 \\
luppi riportati O. 7 \
in appendice O . 6 ~.~
Al si ottiene un "
valore di À e la O . 5 ' •• \ C(~)
trasformazione O . 4 Y(~) "0 \
voluta di C(~) O . 3 0.,\
che consente di O . 2 \'"
tracciare 111 '
0.1 v-,
" -.
' ..
opments re ported in Al, a va/ue for À an.d the requir ed transfor mation [or C(~) a re obtained to achieve a good match w i th t h e directivity pattern, as sh ow n in
Fig. 3, sovrap posta alla carat teristica di di rettività, la nuo va funzione so stitutiva. Dal
confronto tra le due curve si vede che la nuova funzione rappresenta con notevole precisione la direttività originale, in particolare nella parte più significativa del profilo (zona del massimo) le due curve coincidono; la Y(~), con la sola defini zione del parametro esponenziale À, è pertanto in grado di rappresentare tutte le variabili che con corrono alla struttura della caratteristica di diret tività originale quali: il diametro della base rice vente, il numero dei scnsori idrofonici che eosti tuiscono la base, i valori delle frequenze inferiore e superiore che determinano la banda di lavoro del sistema a fasci preformati del sonar.
La funzione che è stata ora indi viduata rappresen ta il primo passo verso la soluzione del problema che questo lavoro si propone; è necessario infatti ricavare, per esigenze prevalentemente legate ad una logica di sviluppo a carattere tecnico-appli cativo, altre due funzioni gaussiane definite ri-
O
o
2
4 6
8 10 12 14 16 1820 22 24 2628 30
Fig 3. By comparing the two curves, we can see that the new function matches the originai directivity pattern wùn remarkable accuracy. In particular, in the most significant part of the profile (the peak value] the two curves are a perfect fit. By defining only thc exponential parameter À, Y(~) can there fore represent ali varlables which contribute to the originaI directivity characteristic, such as diameter of the receiving array, the number of the h.ydropho nic senso rs whicb make up t he array, and t h e l ow e r and hi g h er frequency v al ue s wh ic n determine t he working b and ofthe sonar preformed beam system.
The function which has now been adopted is the first step towards the solution of the problem which this work is meant to solve. We must now obtain, because of 'prevailing technical and appli cation reasons, two more Gaussians defined in
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spettivamente nel dominio del tempo e nel domi nio della frequenza.
Le due nuove funzioni, che saranno ricavate nei paragrafi successivi, deriveranno semplicemente da Y(~) e ciascuna, nell'ambito del proprio do minio di variabilità, rappresenterà sempre la struttura della caratteristica di direttività origina le.
4. Trasformazione di C(~) in fun zione gaussiana nel dominio del tempo
La caratteristica di direttività normalizzata può essere indifferentemente rappresentata dalla gaussiana Y(~), funzione dell' angolo, quanto dal la gaussiana funzione del tempo, dato che le due variabili spazio-tempo, in un sistema di scansione sonar, sono legate dalla relazione T/360° = t/~ (dove T è il tempo stabilito per esplorare i 3600 dell ' orizzonte).
2
Con la funzione gaussiana Y(t) = e - al si defini-
sce la trasformazione richiesta della direttività nel dominio del tempo. Il parametro ex si ottiene mediante lo sviluppo indicato in appendice A2 che si avvale della semplice relazione spazio tempo sopra indicata. Questa curva, indispensa bile per gli sviluppi successivi, rappresenta anche il limite di perfezione del tracciato che il proget tista del sonar potrebbe vedere, su di un sistema di presentazione video tipo A, provando il sonar a fasci preformati, in mare, su bersaglio sintetico. Si è parlato di limite di perfezione perché la Y(t) sarà di fatto approssimata mediante un numero finito di campioni (fasci) che, dopo ricostruzione (interpolazione), forniranno una funzione tanto più uguale a Y(t) quanto più elevato sarà il nume ro dei campioni stessi.
5. Trasformazione della C(~) nel dominio della frequenza
Per determinare l'algoritmo relativo al numero minimo di fasci preformati è necessario conosce re il contenuto spettrale della curva di direttività Y(t) definita in precedenza nel dominio del tem po. E' chiaro infatti che tanto più stretta sarà la caratteristica di direttività originale, nel dominio
the time and frequency domains. The two new functions, which will be derived in the following, come directly from Y(~) and each is related to the structure of the original directivity characteristic.
4. Transformation of C(~) into a time domain Gaussian
The normalized directivity characteristic may be indifferently represented by the Y(~) Gaussian, as a function of angle, or by the Gaussian lime function, as space-time variables, within a sonar scanning system, are related by the fact that T/360° = t/~ (where T is the time required to scan the horizon). The Gaussian [unction
2
Y(t) = e - al defines the time domain directivity
function required. ex is obtained by means of the development shown in A2, and it relies upon the simple space-time relation indicated above. This curve, which is absolutely necessary for the developments presented in the following, is also the limit in terms of accuracy for the track which the sonar designer would see on an A type display when using the preformed beam sonar at sea on a synthetic target. We mention an accuracy limit because in fact Y(t) is approximated by a finite number of samples (beams) which,following re construction (interpolation), provide a function which is al! the closer to Y(t) the greater the number of samples.
5. Transformation of C(~) in the frequency domain
To determine the minimum of preformed beams algorithm, it is necessary to know the spectral contents of directivity curve Y(t) previously de fined in the time domain.
It is afact that the narrower the original directiv ity pattern, in the space domain, the narrower the
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dello spazio, tanto sarà più stretta la caratteristica di direttività espressa nel dominio del tempo e tanto più ampio sarà il suo spettro: di conseguen za più numerosi dovranno essere i campioni (fa sci preformati) richiesti secondo Nyquist per la corretta riproducibilità della curva originale.
Per la determinazione dello spettro della Y(t) si considera la sua trasformata di Fourier Y(t) <-> Y( w) che grazie ali 'impiego di funzio ni esponenziali è data semplicemente da:
-ai -ffi:"4U
e <->e
Dal secondo
termine si ot tiene l 'anda mento dello spettro in funzione del la pulsazione così come ri-
directivity pattern in the time domain and the wider its spectrum: consequently its samples will have to be more numerous (more preformed beams) as required according to Nyquist to ob tain a good reproduction ofthe original curve. To obtain the Y(t) spectrum, lets now consider its Fourier transform Y(t) <-> Y(w) which due lo the adoption of exponential functions is simply
? 2
. -dC -ffi/4U
glven by: e <-> e
The second term provides the spectrum as a fune tion of pulsation as shown in Fig 4.
Now we ma)' evaluate what spectrum por ti on is re quired to re-
produce the originai directivity; in the following we shall see that the ac curacy which can be ob tained in tar get detection is closeiy re-
lated to the spectrum cut off frequency.
Y(w)
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
<p
\
\
\
\ \ \
\
\
\
\
\ \
" I
~II!:. ..
portato in Fig. 4.
A questo punto ci si può chiedere quanta parte dello spettro sia necessa ria alla ripro duzione della
direttività originale; ve dremo in seguito che la precisione ottenibile nel rilevamento dei bersagli sarà intimamente legata alla scelta della frequenza di troncamento dello spettro stesso.
FIG. 4
o
w
o
6. Determinazione del numero mi nimo N dei fasci preformati
Se si assume a priori una limitazione pratica dello spettro di Fig. 4, daFn in poi, si può esprimere il minimo numero N dei fasci preformati, oltre che in dipendenza dalle caratteristiche intrinseche di C(~), anche dall' ampiezza <p che ha la componen te spettrale Fn nel punto di troncamento. Se quin di Fn è la massima frequenza dello spettro tron cato la frequenza Fc di campionatura, secondo Nyquist, dovrà essere uguale o maggiore a 2Fn. Secondo queste considerazioni è stato sviluppato
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Wn
6. Determination of the minimum number of preformed beams N
lf we assume that a practical limitation fa the spectrum shown in figure 4 takes piace from Fn onward, we can express the minimum number al preformed beams N as a function or lite intrinsic characteristics ofc(~) and also as a function of amplitude <p which. has a spectral component Fn al the cut-off point itself Therefore if Fn is the maximum frequency of the cut-off spectrum, the sampling frequency Fc must, according lo Ny quist, he equal or greater than 2Fn.
in appendice A3 l' algoritmo generale che con sente il calcolo di N in dipendenza da À (parame tro della funzione gaussiana spaziale) e dell'am piezza <p della componente Fn. La semplicità della formula risolutiva ci consente di estrarla dall'appendice per inserirla direttamente nel te-
sto: N = 720 -Y À In 1
]t <p
L'applicazione di questo algoritmo, pur con le approssimazioni fatte nel contesto di questo lavo ro, è stata verificata positivamente in più occasio ni nel trattare il problema dei fasci preformati per i sonar. La formula consente il calcolo di N nel presupposto che sia stata fissata a priori la preci sione di rilevamento voluta assumendo un adatto valore di <p che, come vedremo in seguito, è la variabile determinante la precisione del sistema.
7. Applicazione della formula per il calcolo di N
E' interessante, a titolo di esempio, mostrare la semplicità di applicazione della formula per il calcolo del minimo numero dei fasci preformati necessario ad un sonar che impieghi la base cir colare avente la caratteristica di direttività presa a modello nel paragrafo 2, e definita nell' ambito del lobo principale dalla coppia di coordinate ~o e K dalle quali è già stato calcolato, vedi appen dice Al, il valore di À = 0.0188. Supponendo ora di aver già stabilito la precisione strumentale voluta e per conseguenza di aver assunto un valore di (j) = 0.01, si ricava immediatamente il
valore di N: N = 720 -Y 0.0188 In ~l_ "" 67
]t 0.01
Questo risultato indica in 67 il minimo numero di fasci che dobbiamo assegnare al sonar, un fascio ogni 5.37" dell'orizzonte.
Per ragioni di carattere costruttivo del sistema a fasci preformati sarà utile aumentare di poco il numero dei fasci, da 67 a 72, in modo da realiz zare una struttura perfettamente simmetrica con un fascio ogni 5° dell'orizzonte. E' evidente che per la ricerca della simmetria è più opportuno aumentare il numero dei fasci invece che dimi nuirlo, in modo da migliorare, anche se di poco, la precisione finale.
A3 develops the generai algorithm along these lines so that N can be calculated from À (a para meter of the space domain Gaussian function) andfrom amplitude (j) of component Fn.
The simplicity of the resolution formula is such that it can be inserted directlv into the text:
N = 720 -Y À In .1 .
]t <p
The application of this algorithm, even with the approximations made within this paper, has been quite often successfully verified when dealing with the problem of sonar preformed beams. Througli the formula, it is in fact possible to calculate N providing the detection accuracy re quired has been set by fixing a suitable value for rp, which as we shall see in the following is the variable which sets system accuracy.
7. Application of the formula to the calculation of N
F or illustrative purposes it is interesting to see how simple it is to apply the formula to the calcu lation of the minimum number of preformed beams required for a sonar. adopting a circular array with the sa me directivity as assumed in Par. 2. As Figure 2 shows, this characteristic is de fined for the main lobe by coordinates ~o and K, from which the value for À has been calculated as 0.0188, as shown in Al. Lets now suppose that the required instrumental accuracy has already been set , and that therefore a value for <p = 0.01 has also been set. Itfollows that the value of N is:
N = 720 -Y 0.0188 In _1_ "" 67
]t 0.01
This result sets as 67 the minimum number of preformed beams which are required by the sonar, equal to a beam every 5.37 Deg at the horizon.
F or reasons due to manufacturing convenience of the preformed beam system, it is useful to slightly increase the number of the beams from 67 to 72, so that a perfectly symmetrical system results with a beam every 5 Deg on the horizon. Quite clearly the symmetry requirement is better satisfied by increasing the number of beams rather than diminishing them, so that the end accuracy is slightly better.
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8. Determinazione della precisione di rilevamento
8. Detection accuracy calculation
La precisione strumentale nel rilevamento del bersaglio con un sistema a fasci preformati dipen de principalmente dalla precisione di ricostruzio ne della direttività originale che si ottiene me diante l'elaborazione dei segnali in uscita dal sistema.
~
La ricostruzione viene eseguita nel dominio della
frequenza serializzando i segnali di uscita dai diversi fasci scanditi nel tempo. Si deve pertanto studiare lo spettro di Y(t) dopo la serializzazione dei campioni (fasci).
The instrumental accuracy for target detection by adopting a preformed beam system is mainly based upon the reconstruction accuracy of the originai directivity obtained by processing the signals output by the system.
Reconstruction is performed in the frequency domain by serializing the signals output by the beams activated sequentially. We therefore need to study the spectrum of Y(t) following sample serialization.
8.1. Examination of the spectrum of Y(t) following serialization
8.1. Studio dello spettro di Y(t) dopo seria lizzazione
This problem is first faced by examining the spec tral characteristics of Y( 0)) after Y(t) samples serialization. Infact upon serialization, the spec trum ofY(t) changes substantially and new con siderations need to be made to clarify the effects due to sampling . F or this purpose, still adopting the significant parameters of the normalized directivity,A4 presents the numerica l calculation of the frequency domain. This is performed under specific beam scan period and the value required for the sampling frequency Pc is derived as a result of the hydrophonic array characteristics
and of the value for the cut-off
frequency. ' Fig 5 shows the spectrum of Y(t) after sampling, highlighting the value or Fn and Pc. The diagram shows that the
Il problema si affronta inizialmente con un esame delle caratteristiche spettrali che Y( 0)) viene ad avere dopo la serializzazione dei campioni di Y(t). Infatti, a seguito del campionamento, lo spettro di Y(t) si modifica sostanzialmente e nuo ve considerazioni devono essere fatte per chiarire gli effetti provocati dal campionamento stesso. A ql~sto fine, impiegando sempre gli elementi si gnificativi della caratteristica di direttività nor malizzata, in appendice A4 viene determinata numericamente, sotto certe condizioni del tempo di scansione dei fasci, la funzione di direttività nel dominio
della fre-
quenza ed il
valore che deve avere la frequenza di campionatu ra Pc in di pendenza dalle caratte ristiche della base idrofo nica e dal l'ampiezza della fre di
CHARACTERISTICS OF THE LOW-PASS FILTER
<,
-,
\
\
\
\
\
\ \
1 0.9 0.8 0.7
RIP Y(co) I
I
I
I
I
I
I
I
I
0.6 0.5 0.4
0.3 0.2 0.1
o
new spectrum c onsi sts of two parts, one e x t e n d i n g into the low frequencies, correspond ing to the originai spectrum and a part which
quenza troncamento. Quanto sopra consente di
o 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 F
FIG. 5
Fn
Fc
tracciare, in L- ,- ~
Fig. 5, lo spettro di Y(t) dopo campionatura, evi-
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denziando tanto il valore di Fn che il valore di Fc. Dalla curva si osserva che il nuovo spettro Y( ro) è formato da due parti, la parte che si estende nel campo delle frequenze basse, che corrisponde allo spettro originale e la parte che si estende nel campo delle frequenze più alte: questa parte ano mala è detta "ripetuta di Y( m)",
Per ottimizzare la riproducibilità della caratteri stica originale è necessario eliminare dallo spet tro di campionatura, con azione di un filtro passa basso (filtro di interpolazione), la ripetuta di Y(ro), vedi profilo a tratto in Fig. 5, accettando, come elemento di distorsione dello spettro signi ficativo, quella parte della ripetuta che, attorno a Fn, interseca la parte buona dello spettro. E' evidente che la distorsione sarà tanto più conte nuta quanto la F c sarà lontana da Fn, cioè quanto più saranno numerosi i fasci preformati impiegati nel sistema.
8.2. Ricerca dell'algoritmo per il calcolo della precisione
Cerchiamo ora di stabilire una relazione tra il valore di cp che compare nella formula del para grafo 7 e la precisione ottenibile nella ricostru zione (interpolazione) della caratteristica di diret tività. E' utile ricordare che cp rappresenta l'am piezza dello spettro Y(ro) alla frequenza Fn che, come abbiamo visto in Fig. 5, è il punto critico di interferenza tra la Y(ro) e la sua ripetuta. Tanto più lontana saràF c rispetto aFn, tanto più si potrà scegliere un valore piccolo di cp, aumentando di conseguenza la precisione di ricostruzione. Iniziamo con l'osservare che la precisione di ricostruzione interessa prevalentemente la posi zione del max della caratteristica di direttività Y(I3) perché è dalla posizione di tale max che si deduce il valore di 13 che corrisponde alla posi zione angolare del bersaglio. Considerando la serie temporale ottenuta per campionamento del la Y(t) è possibile scrivere la formula per la rico struzione del segnale campionato così come ri portato in appendice A5. La formula trovata è del tipo trascendente; non si presta pertanto agevol mente agli sviluppi matematici necessari per in dividuare in essa la posizione angolare del max della caratteristica che ci consente di dedurre l'errore di ricostruzione commesso. L'ostacolo viene superato con l'aiuto di un computer che ricerca sulla formula trovata, per elaborazioni successive, la posizione approssimata del max
extends into the higher frequencies: this unusual part is known as a replica ofY(ro).
To optimize the reproducibility of the originai characteristic we have to eliminate the Y(ro) rep lica from the sampling spectrum by means of a low passfilter (inierpolation filter), as shown in the dashed line diagram of figure 5. Here we accept the distortion element of the significant spectrum as that part of the replica which inter secates the good part of the spectrum around Fn. It is clear that the distortion will be more accept able the more numerous the number of preformed beams adopted by the system.
8.2. Derivation oj the algorithm jor ac curacy calculations
Lets now try to establish a relationship between the value far cp, whicn appears in the formula of Par. 7 and the aeeuraey obtainable by reeon struction of the directivitycharacteristic. It is worth noting that cp is the amplitude of spectrum Y(ro) atfrequency Fn, whicb as we have seen in Figure 5, is the criticai interference point between Y(ro) and its replica. The further away Fc from Fn.the smaller the value far cp, resulting in better reconstruction accuracy.
Lets start by noting that the reconstruction ac euraey regards mainly the position of the maxi mum of the directivity function Y(I3), because it is from sueh maximum that we can caleulate the value far 13 which. corresponds to the target azimuth.
By considering the time series obtained by sam pling Y(t), ù is possible lo write the formula far the reconstruction of the sampled signal as pre sented inA5. Theformula derived is transcenden tal and therefore does not easily adapt to the mathematical developments required to trace the angle ojmaximum amplitude.from whicn we can obtain the reconstruction error. This obstacle is passed by adopting a computer which finds the required solution by successive iterations, identi fying the approximate position of the maximum directivity.
The computer analysis shows that the reconstruc-
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della curva di direttività. tion error (pointing errar] increases with
D all 'analisi a calcolatore si osserva che l'errore decreasing F c and that it furthermore depends on
di ricostruzione (errore di puntamento) è tanto più the position cf the samples with respect to the
grande quanto è piccola la Fc e che dipende target azimuth. The overall results of the pro-
inoltre dalla posizione dei campioni rispetto alla cessing have been at first converted to sampling
posizione angolare del bersaglio. frequency as a function of total error and then in
I risultati complessivi delle elaborazioni di mac- terms of amplitude <p ofthe cut-offfrequency as a
china sono stati prima tradotti in termini di fre- function of the pointing error.
quenza di campionatura in funzione dell' errore e The diagram in Figure 6 collects the results ob-
successivamente in ampiezza <p della frequenza tained by the computer for a preformed beam
di troncamento in funzione dell'errore di punta- system servoed to the circular array taken as an
mento. example for this analysis.
Il grafico di Fig. 6 sintetizzai risultati ottenuti con The diagram shows in abscissa angular error
il computer per un sistema di fasci preformati ~~ and in ordinates the value of <p.
asservito alla base circolare presa ad esempio per Such diagram gives us a way to calculate Ll~ error
questa analisi. far the C(~) examined, due to the fact that a
Il grafico ha in ascissa particular value for <p
l'errore angolare Ll~ e was taken on the basis of
in ordinata i valori di <p. simplified assumptions;
Esso consente, nel caso for <p = 0.01 the maxi-
della C(~) presa in esa- <p mum reproduction error
+++-+-+-++--+
me, di determinare l' er- in the interpolated direc-
rore Ll~ che consegue tion will be equal lo
dall' aver assunto un"~ 10 Ll~ = 0.04 Deg.
particolare valore di <p !ti~~!a~ij~g!m~ga!g~ The results of these cal-
in base a certe ipotesi culations highlight the
semplificati-ve; per 1"- great importance of the
'-
<p = 0.01 risulta che method adopted; in fact
l'errore massimo di ri- in the example shown,
produzione nella dire- ,,10 witb only 72 preformed
zione interpolata sarà beams we con obtain in-
Ll~ = 0.04°. strumentai errors not
I risultati di questi cal- 1". greater than 0.04 Deg
coli mettono in eviden- for ali directions at the
za la grande importanza horizon.
dellametodologia adot- 3 The function shown in
tata; infatti nell'esem- ±F~[I(::<"E6jlaEa*Ejm~EafEJlO Figure 6 may also be
pio mostrato con 72 fa- :t adopted far the solution
sci prcformati si posso- of the problem of deter-
no ottenere rilevamenti mining the minimum
strumentali con errori number of preformed
non superiori a 0.040 beams required once the
per tutte le direzioni ] O. i\ ~ ~.O o lO instrumental accuracy
dell'orizzonte. ,,,2 ,} limits have been set.
La funzione di Fig. 6 Infact ifwith the circular
può essere impiegata anche per la soluzione del array wiin directivity C(~) we want to obtain a
problema della determinazione del minimo nu- preformed beam receiver which can assure a
mero dei fasci preformati una volta fissata a priori target pointing error ofO.5 Deg, the method is as
la precisione strumentale che si desidera. follows:from the graph in Figure 6,[or Ll!} == 0.5
Infatti, se con la base circolare caratterizzata dalla Deg, we obtain the corresponding value far
direttività C(!}) si vuole realizzare un ricevitore a <p = 0.12, which inserted into the formula of
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fasci preformati in grado di assicurare ad esempio una precisione di puntamento del bersaglio di OS, si procede come segue: dal grafico di Fig. 6 per ~~ = OS si ricava il corrispondente valore di cp = 0.12 che inserito nella formula del paragrafo 6, per le = 0.0188 (relativo alla C(~»), consente di calcolare semplicemente il valore di N = 45 a cui corrisponde un fascio ogni 8° dell'orizzonte.
9. Conclusioni
I metodi di calcolo sviluppati nei paragrafi pre cedenti, data la loro sintetica struttura, consento no di affrontare semplicemente il problema della determinazione del minimo numero dei fasci pre formati e della precisione strumentale di un ge nerico sistema direttivo. Con questi metodi il progettista può rapidamente inquadrare il suo obbiettivo scegliendo la soluzione tecnica che più si adatta alle esigenze del progetto generale del sistema: realizzare una struttura a fasci preforma ti "ridotta", con vantaggi in termini di costo e ingombro, pagando il prezzo di una bassa preci sione, o realizzare una struttura "a misura" con il vantaggio di una buona precisione in cambio di
. costi ed ingombri elevati.
Appendice
Sono fissate nel seguente prospetto le variabili che saranno impiegate negli sviluppi in appendi ce:
C(~)
caratteristica di direttività normalizzata in funzione dell'angolo di puntamento ~;
K
ampiezza di C(~) per ~ = ~o (assegnato a piacere);
2
Y(~) = e - À~
funzione gaussiana spaziale rappresen tativa di C(~);
2
Y(t) = e - os
funzione gaussiana temporale rappre-
Par. 6,[or le = 0.0188 (for C(~») provides the value for N = 45, corresponding to a beam every 8 Deg on the horizon.
9. Conclusions
The calculation methods developed in the pre vious paragraphs, due to their simplicity, give us a tool with which the determination of the min imum number of preformed beams and ensuing angle accuracy can be faced with confidence. Through this method the designer can rapidly set his target by selecting the technical solution which more readily adapts to the needs of system generai development: design a preformed beam structure minimized in terms of cost and dimen sions, at the cost of low accuracy, or alternatively design a system as a trade-off between good ac curacy and consequential high cost and dimen sions .
Appendix
A list ofthe variables used throughout the docu ment is given in the [ollowing:
C(~)
normalized directivitv as a function of pointing angle ~.
K
amplitude of C(~) [or ~ = ~o (any va tue)
2
Y(~) = e - Àp
Gaussian space function representative
of c(13)
2 Y(t) = e - cu
Gaussian time function represeniative of C(~)
2 Y(m) = e -W/4a
49
sentativa di C(P);
2 Y(w)=e-ro/4a
trasformata di Fourier di Y(t);
Pn
frequenza di Y( w) a cui corrisponde una ampiezza <p;
Fc = 2Pn
frequenza di campionatura;
ampiezza della componente spettrale Pn;
l D.t=-
Pc
intervallo temporale di campionatura;
N
numero minimo dei fasci preforrnati.
T
tempo di esplorazione
Al
2
Per definire la funzione Y( w) = e - ì,~ si ricava 'A
partendo dalle generiche coordinate Bo e K di 2 C(~): essendo C(Po) = K sarà K = e - À ~o da
cui 'A Bo 2 = In -.l cioè 'A = --.L In -.l
K B~ K perciò
sarà:
Y(B) = exp - (~ In -.l J p2
~o2 K
Calcolando 'A per Bo = 40 e K = 0.74 si ha 'A = 0.0188 e Y(B) = exp - 0.0188 B2
A2
2
Per definire la funzione Y(t) = e - al si ricava a
nel seguente modo:
per un dato valore Bo di B, preso nell' ambito del lobo principale di C(B), sarà C(Bo) = K (vedi Fig.
2
2) cioè Y(to) = e - al = K da cui
50
Fourier transform ofY(t)
Fn
Y(w)frequency corresponding to ampli tude
ln i )p2 Calculating 'A [or Bo = 4 Deg and K = 0.74 we ha ve 'A = 0.0188 and Y(~) = exp - 0.0188 ~2 A2 2 To define the function Y(t) = e - al we obtain tx as follows: far a given value Bo of ~, taken within the main lobe of C(~), it results that C(~o) = K (see 2 figure 2), which a/so means Y(to) = e - al = K. from whicn . 2 1 ato = ln- K Dato che sussiste la relazione L = i si ha: 360 ~ l = ~ e lo = ~o T che sostituito nella (1) dà: 360 360 a = In lJ 360 )2 Kl~oT 2 cioè Y(t) = exp - In l ( 360 J t2 Kl~o T Per ~o = 4' c K = 0.74, assumendo a piacere un tempo di esplorazione di 0.115 sec (il tempo può essere fissato a piacere dal progettista in base ad esigenze diverse), il valore di a sarà: a = 1.84 * 105 e Y(t) = exp - 1.84 * 105 * t2 A3 Per la determinazione dell'algoritmo che defini sceN si procede come segue: detta <p l'ampiezza della componente armonica di pulsazione OJn si , . OJ2. . . pUO scrivere Y(OJn) = exp - ~ = <p da CUI si n- 4a 2 1 .; cava OJn = 4 a In - e
]t Se Fn è la massima frequenza dello spettro limi tato la frequenza di campionatura sarà Fc ;::: 2Fn e l'intervallo temporale tra due campioni succes- sivi ilt = _1_, se sostituiamo in questa espressio- 2Fn ne il valore di Fn calcolato nella (1) otteniamo: osservando che ilt è l'intervallo temporale che intercorre tra l'esplorazione di due fasci succes sivi si può scrivere T = N ilt, ricordando che ~ h A R d' ~oT.. t = c e per I-' = 1-'0 rventa lo = -- m cm 360 360 sostituendo il valore di T indicato sopra diventa: (1) As the following relationship also subsists L _ i we have t = ~ and a/so to = ~o T , 360 ~ 360 360 2 which replaced in (l) gives: a = In ~ (360 J Kl~oT 2 which is to say Y(t) = exp -In 1 (360 J t2 Kl~oT For ~o = 4 o and K = 0.74, by taking any value for the exploration time, such as 0.115 sec (such time may be any value chosen by the de signer according to a number of requirements) the resulting value for a w il l be a = 1.84 * 105 and Y(t) = exp - 1.84 * 105 * t2 A3 F or the determination of the algorithm which defines N, we proceed as follows: set <p to be the amplitude ofthe OJn pulsation harmonic, we may 2 write that Y( OJn) = exp - ffin = <p, from which it 4a 2 1 results that OJn = 4 a In - and <p (1) If Fn is the maximum frequency of the cut-off spectrum, s amp li n g frequency shall be F c ;::: 2Fn and the time interval hetween two adja- cent samples will be ilt = _l-.lfwe replace such 2Fn value for Fn as calculated in (l) into the formula we have: (2) and noting that ilt is the time interval between the scan of two contiguous beams, we may write that T = Nilt , and recalling that t = ~, where 360 ~ = ~o becomes to = Funzioni di correlazione (Discussione) , and by replacing the value for T shown above we have 51 to = ~o Nf...t (3) 360 Se ora sostituiamo la (2) nella (3) otteniamo: to=kN ]t 360 2--Ja In V<p quadrando il primo ed il secondo membro si ha: 2 t 2 - [~o N ]t) 1 o - 720 a In V<p 2 cioè at~ = [~o N ]t) _1_ 720 In l/<p , dato che at~=In~ (vedi A2) si ha: K 2 l 1 - [~o N]t) 1 n K - ---:no- In l/<p ed infine sviluppando si ottiene: N = 720 ~ In l/K In ~ = 720 -V'---À-I-n-~- ]t (~o)2 cp]t rp A4 Per definire la funzione spettrale 2 Y(ro) = e - 0l/4U assumendo il tempo di esplora- zione precedentemente stabilito (T = 0.115 sec) con ~o = 4', K = 0.74 e a = 1.84 * 105 (calco- ol lato in A2) si ha Y(ro) = exp 4 * 1.84 * 105 Per tracciare il grafico di Fig. 5 deve essere calcolato il valore della frequenza di campiona tura Fc 2 2 Fn secondo l'espressione di Fn già esplicitata in A3: 2 -V'---~-l-n-l-V<p- Fc = 2 Fn =. ; per cp = 0.01 rt 2 ~ 1.84 * 105 In VO.Ol Fc= ",,586Hz rt A5 Determinazione della precisione di ricostruzione. Per la determinazione della precisione di rico struzione (interpolazione) si procede nel modo seguente: detta S(nf...t) la serie temporale ottenu ta per campionamento della Y(t) la formula per la ricostruzione del segnale campionato è: 52 lfwe nmv replace (2) into (3) we have: to=kN ]t 360 2--Ja In V<p squaring the first and the second member we have: lo 2 = (~;~ n J' "1~ V, i.e equal to: at3 = [~o N ]t)2 1 720 In Y<p , and as at~=In~ (see A2) we K have: A4 2 By defining spectral [unction Y( ro) = e - (j) /4U, by taking the previously established scan time equal to T = 0.115 sec, with ~o = 4°, K=0.74 and a=1.84* 105 (calculatedinA2),wehave ro2 Y(ffi) = exp - -------;: 4 * 1.84 * 105 To calculate the graph shown in figure 5 the sampling frequency Fc 2 2 Fn must be calcu lated according to form of Fn which has already been written in A3: 2 ~ra-l-n-l-V<p- Fc = 2 Fn = ;for cp = 0.01 ]t 2 ~ 1.84 * 105 In VO.Ol Fc= "" 586Hz rt A5 Determination of the reconstruction accuracy . F or the accuracy reconstruction determination (interpolation) we follow the method illustrated hereby. If S(nf...t) is the lime series obtained by sampling Y(t) , the formula for the reconstruction of the sampled signal is: +00 Y * Ct) = L SCnflt) sin 1t Fc Ct - o/Fc) 1t Fc (t - Iy'Fc) n=-oo dove Fc = 2Fn e M è l'intervallo di campio natura. Osservando che nell' ambito dei primi zeri del lobo principale di CC~) la caratteristica è completamente definita e che al di fuori di questo ambito i valori che compaiono non sono più significativi la C l) può essere espressa con un numero finito di termini: (1) where Fc = 2Fn and !'"J.t is the sampling inter val. By noting that within the first nulls of the main lobe of C(~), the characteristic is fully defined and that outside this range, the values appearing are of no significance, so that (l) may be written as a finite number of terms: M Y * Ct) = L S(n!'"J.t) sin 1t Fc Cl - n/Fc) (2) n=l 1tFC(t-o/Fc) Prendiamo in esame la caratteristica di direttività presa come esempio per i calcoli del paragrafo 7 5 2 in questo caso si ha: YCt) = e - 1.84 * lO t che per una generica direzione in tI diventa: 5 2 YCt) = e - 1.84 * lO * (t- tI) Campionando questo segnale otteniamo per S(n!'"J.t): 2 5 2 S(n!'"J.t) = e - a (i1t * n - tI) = e - 1.84 * lO (n/Fc - tI) dove tI è la posizione temporale che nella rappre sentativa Y(~), corrisponde a ~l (direzione da interpolare) . Se supponiamo di avere il valore ~l ad una posi zione temporale tI = 5.12msec rispetto all'origi ne dei tempi si ha: Lets now examine the directivity feature as an example of the calculations ofPar. 7).ln this case 5 2 we have that Y(t) = e - 1.84 * lO t , which in a given direction tI becomes: S 2 Y(t) = e - 1.84 * IO * (t - tI) By s ampl ing th.is s ignal we have that 2 5 2 S(n!'"J.t) = e - a (M * n - tI) = e - 1.84 * lO (n/Fc - rr) where 11 is the time at which in the Y(~) corre sponds to ~1 (direction to be interpolated). 1fwe assume as known the value of ~I al a given time position tI = 5 .12msec from the time refer ence, we have that: 5 -32 S(n!'"J.t) = e - 1.84 * lO (n/Fc - 5.12 * lO ) Con l'ausilio del calcolatore impiegando la (2) e la (3) con M = 6, cioè per sommatorie di 6 termi ni, ed in funzione dei diversi valori di Fc si calcolano i valori di t = la (ta = posizione tempo rale approssimata di lI) a cui corrisponde il mas simo della Y * (t). Siosservachel'errore €=(tl-ta) è dipendente daF c e dalla posizione di tI rispetto alla posizione temporale dei campioni. Per questa ragione, per ciascun valore generico di F c, si deve calcolare l'errore max in dipendenza della posizione di tI rispetto alla posizione temporale dei campioni. Trovato questo errore lo si associa come errore max di ricostruzione, dovuto alla generica fre quenza di campionatura F c. Si calcolano pertanto (3) By utilizing the computer and (2) and (3) with. M = 6, i.e.for summation of six terms and for the different values of F c, we can calculate the values for 1= ta (where La is the approximate lime position of tI) which identify a maximum for Y * (t). Wc may note fhat error c = (rt - tu) depends on Fc and on the position of t] with respect to the time position ofthe samples. For this reason.for each generic value of F c, wc have to calculate the maximum errar as a function of the position of tI within the samples timeframe. Once this error is found, it can be associated as a maximum reconstruction errar due to the generic sampling frequency Pc. We therefore proceed with the 53 i valori di E massimi in dipendenza della posi zione relativa tra ti ed i campioni ed in funzione di Fc. I risultati di macchina sono stati prima tradotti in termini di frequenza di campionatura in funzione dell'errore E = (ti - ta) e successivamente in ampiezza <j> della frequenza di trancamento del lo spettro di Y(w) in funzione dell'errore di puntamento Ll~ = ~ l - ~a. calculation oj the maximum value of E as a fune tion of the relative position of tI and the samples, as a function of Fc. The raw data is first converted into sampling [r e qu enc y terms as a [uncti o n oj error E = (tI - la) and then into amplitude <p of the cutoff frequency oj spectrum Y(w) as a [urther function ofpointing error Ll~ = ~1 - ~a. BffiLIOGRAFIA / BIBLIOGRAPHY Von Regierungsrat DI. Heinrich Stenzel "Leitfaden zur Berechnung von Schallvorgangen", Verlag von Julius Springcr, Bcrlin 1939 Athanasios Papoulis "The fourierintegral and its applications" McGraw-Hill Book Company, Inc. 1962 I G. Cariolaro Teoria dei segnali", Parte I Segnali determinati, Coop. Libraria Editrice c1eup