lezione Funzioni di correlazione/Sandbox333
	Tipo: lezione
	Materia: Analisi matematica

Esercizi sulle derivate > Funzioni di correlazione/Sandbox333

Introduzione alle derivate di funzioni con IA

Una chiara ed esaustiva spiegazione sul concetto di derivata di funzione è trattata su Wikiversità all'indirizzo:

[[1] Sulle derivate di funzioni]

Spiegazione che inizia con: Diamo prima la definizione di derivata di una funzione, poi discutiamone il significato.

Questa pagina illustra invece lo svolgimento dettagliato di una notevole serie di esercizi sul calcolo delle derivate ottenuti mediante richiesta d'operazione ad IA (Intelligenza Artificiale) controllando il risultato con gli esercizi proposti dal testo:

Complementi di algebra e nozioni di analisi matematica- G. Zwirner- CEDAM Padova

L'impiego di IA, con la tecnica di inserzione dati indicata di seguito, consente una rapidità di calcolo e di sviluppo per qualsiasi tipo di elaborazione matematica.

Elenco delle funzioni trigonometriche in base al rapporto incrementale e con gli algoritmi standard.

Esempio di calcolo della derivata di una funzione trigonometrica in base al rapporto incrementale

Calcolare

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\tan(z)}$

Sequenza di lavoro:

1) Si copia in IA la seguente scrittura in grassetto

Calcoliamo la derivata di y = Tan x usando il rapporto incrementale

(formulazione domanda con metodo misto: discorsivo e basic)

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[2]Soluzione secondo IA]

Elenco delle funzioni ciclometriche e loro derivate

Come ausilio ai processi di calcolo l'elenco delle derivate delle funzioni ciclometriche elementari:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\arcsin x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\&{\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\&{\frac {d}{dx}}\arctan x={\frac {1}{1+x^{2}}}\\&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x=-{\frac {1}{1+x^{2}}}\\&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}$

Funzioni ciclometriche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale

Calcolo derivata di

$y=\arcsin \ x$

Sequenza di lavoro:

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

Calcoliamo la derivata di y = arcsin x usando il rapporto incrementale

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[3]]

Elenco delle funzioni iperboliche e le loro derivate

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}$

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}$

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}$

$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}$

${\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x$

${\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x$

${\frac {d}{dx}}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}x$

${\frac {d}{dx}}\coth x=-\operatorname {csch} ^{2}x$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} x\,\tanh x$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} x\,\coth x$

Funzioni iperboliche: calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale

La funzione da integrare:

$y=arctanh(x)$

Sequenza di lavoro:

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

Calcoliamo la derivata di y = arctanh (x) usando il rapporto incrementale

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:]]

[[4]Risposta]

Elenco delle funzioni iperboliche inverse e le loro derivate

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Funzioni iperboliche inverse : calcolo delle derivate in base al rapporto incrementale

Sequenza di lavoro:

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

Calcoliamo la derivata di y = artanh x usando il rapporto incrementale

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[5]Risposta]

Elenco delle funzioni logaritmiche e loro derivate

Logaritmo naturale:

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0$

Logaritmo in base $a$ :

${\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}},\qquad a>0,\ a\neq 1,\ x>0$

Logaritmo di una funzione:

${\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}},\qquad f(x)>0$

Logaritmo in base $a$ di una funzione:

${\frac {d}{dx}}\log _{a}(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)\ln(a)}},\qquad a>0,\ a\neq 1,\ f(x)>0$

Logaritmo del valore assoluto:

${\frac {d}{dx}}\ln |x|={\frac {1}{x}},\qquad x\neq 0$

Logaritmo del valore assoluto di una funzione:

${\frac {d}{dx}}\ln |f(x)|={\frac {f'(x)}{f(x)}},\qquad f(x)\neq 0$

Calcolo della derivata di una funzione logaritmica

sequenza di lavoro:

Data la funzione: $y=\ln x$

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

Calcoliamo la derivata di y = ln (x) usando il rapporto incrementale

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[6]Risposta]

Elenco funzioni esponenziali e loro derivate

$f(x)=e^{x}$ → $f'(x)=e^{x}$

$f(x)=e^{ax}$ → $f'(x)=ae^{ax}$

$f(x)=e^{g(x)}$ → $f'(x)=g'(x)e^{g(x)}$

$f(x)=a^{x},\quad a>0,\ a\neq 1$ → $f'(x)=a^{x}\ln(a)$

$f(x)=a^{g(x)}$ → $f'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x)$

$f(x)=x^{x},\quad x>0$ → $f'(x)=x^{x}(\ln x+1)$

$f(x)=x^{a}$ → $f'(x)=ax^{a-1}$

$f(x)=g(x)^{h(x)}$ → $f'(x)=g(x)^{h(x)}\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)$

Calcolo derivata funzione esponenziale con il rapporto incrementale

Sequenza di lavoro:

1) Si copia la seguente scrittura in grassetto

Calcoliamo la derivata di y = e^x usando il rapporto incrementale

2) clk link AI in calce

3) clk su voce (Non effettuare l’accesso)

4) incolla il testo in grassetto nella zona indicata con (fai una domanda)

5) clk Enter

6) attendere per la risposta di AI

7) il calcolo deve rendere:

[[7]Risposta]

Calcolo della derivta di una funzione d'esempio con le regole standad

${\text{Sia }}f(x)=x^{3}+2x^{2}-5x+7.$

${\text{Calcoliamo la derivata applicando le regole standard di derivazione.}}$

${\frac {d}{dx}}\left(x^{3}+2x^{2}-5x+7\right)={\frac {d}{dx}}(x^{3})+{\frac {d}{dx}}(2x^{2})-{\frac {d}{dx}}(5x)+{\frac {d}{dx}}(7)$

$=3x^{2}+2\cdot 2x-5\cdot 1+0$

$=3x^{2}+4x-5.$

${f'(x)=3x^{2}+4x-5}$

Le derivate delle funzioni di funzioni

Seno

Funzione: $y=\sin x$

Derivata: ${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x$

Dimostrazione:

$y=\sin x$

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin x}{h}}$

Usando la formula di addizione:

$\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$

Sostituendo:

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}}$

Separando:

${\frac {dy}{dx}}=\sin x\lim _{h\to 0}{\frac {\cos h-1}{h}}+\cos x\lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}$

Poiché

$\lim _{h\to 0}{\frac {\cos h-1}{h}}=0$

e

$\lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}=1$

segue

${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x$

Coseno

Funzione: $y=\cos x$

Derivata: ${\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x$

Dimostrazione:

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos(x+h)-\cos x}{h}}$

Usando

$\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h$

si ottiene

${\frac {dy}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}}$

Separando

${\frac {dy}{dx}}=\cos x\lim _{h\to 0}{\frac {\cos h-1}{h}}-\sin x\lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}$

Applicando i limiti fondamentali

${\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x$

Tangente

Funzione: $y=\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

Derivata: ${\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$

Dimostrazione:

$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

Applicando la regola del quoziente

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$

con

$u=\sin x$

$v=\cos x$

si ha

$u'=\cos x$

$v'=-\sin x$

quindi

${\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}$

Usando

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

segue

${\frac {d}{dx}}\tan x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x$

Cotangente

Funzione: $y=\cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}$

Derivata: ${\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$

Dimostrazione:

${\frac {d}{dx}}\cot x={\frac {(-\sin x)\sin x-\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}$

${\frac {d}{dx}}\cot x=-{\frac {\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}$

${\frac {d}{dx}}\cot x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$

${\frac {d}{dx}}\cot x=-\csc ^{2}x$

Secante

Funzione: $y=\sec x={\frac {1}{\cos x}}$

Derivata: ${\frac {d}{dx}}\sec x=\sec x\tan x$

Dimostrazione:

$y=(\cos x)^{-1}$

Applicando la regola della potenza

${\frac {dy}{dx}}=-1(\cos x)^{-2}(-\sin x)$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}$

Scrivendo

${\frac {1}{\cos x}}=\sec x$

e

${\frac {\sin x}{\cos x}}=\tan x$

segue

${\frac {d}{dx}}\sec x=\sec x\tan x$

Cosecante

Funzione: $y=\csc x={\frac {1}{\sin x}}$

Derivata: ${\frac {d}{dx}}\csc x=-\csc x\cot x$

Dimostrazione:

$y=(\sin x)^{-1}$

Applicando la regola della potenza

${\frac {dy}{dx}}=-1(\sin x)^{-2}\cos x$

${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}$

Poiché

${\frac {1}{\sin x}}=\csc x$

e

${\frac {\cos x}{\sin x}}=\cot x$

segue

${\frac {d}{dx}}\csc x=-\csc x\cot x$

Tabella riassuntiva

Funzione	Derivata
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec ^{2}x$
$\cot x$	$-\csc ^{2}x$
$\sec x$	$\sec x\tan x$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$

```