Utente:Darkxifrit/Pagina di prova2

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Equazioni differenziali[modifica]

Successioni[modifica]

Notazioni
Alcuni autori indicano con l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero, cioè . In questa e nelle lezioni che seguono con indicheremo l'insieme

Una funzione , dove è un insieme non banale, si dice successione in e si usa denotarla con

o equivalentemente

.

Osserviamo che il dominio delle successioni non è necessariamente , è sufficiente prendere un suo sottoinsieme numerabile.

Una successione reale

  • si dice positiva se per ogni si ha che
  • si dice non negativa se per ogni si ha che
  • si dice negativa se per ogni si ha che .
  • si dice non positiva se per ogni si ha che

E' bene mettere in evidenza il fatto che esistono successioni che hanno segno variabile, alcuni termini della successione sono positivi mentre altri sono negativi. Ricoprono un ruolo importante le successioni a segno alterno:

  • Una successione si dice a segni alterni se per ogni si ha che .

Esempi[modifica]

è una successione ed è del tipo . La successione è positiva

è una successione ed è del tipo . Questa successione, a differenza della precedente, è negativa.

è una successione ed è del tipo . Questa successione è a segno variabile, in particolare è a segni alterni.


è una successione ed è del tipo . Questa successione è a segno variabile.

Successioni monotòne[modifica]

Una successione reale si dice

  • monotona crescente se per ogni
  • monotona descrescente se per ogni
  • monotona strettamente crescente se per ogni
  • monotona strettamente descrescente se per ogni

Attenzione, esistono successioni che non rispettano le condizioni precedenti, hanno cioè un andamento variabile. Per fissare le idee su queste definizioni facciamo alcuni esempi.

Esempi[modifica]

  • è una successione strettamente crescente, infatti, da segue immediatamente che cioè per ogni naturale.
  • è una successione strettamente crescente. Per verificarlo, ci chiediamo per quali numeri naturali viene verificata la disuguaglianza .
ma questa è sempre verificata in .
Un altro modo per giungere alla stessa conclusione è il seguente:
Il termine n-esimo della successione può essere riscritto come . Osserviamo ora che
cioè per ogni naturale
  • è una successione strettamente decrescente, infatti, da segue immediatamente che pertanto per ogni naturale pertanto .

Successioni limitate[modifica]

Una successione reale è

  • limitata superiormente se esiste una costante reale tale che per ogni si ha che
  • limitata inferiormente se esiste una costante reale tale che per ogni si ha che
  • limitata se è limitata superiormente e inferiormente, cioè:
1) se esistono due costanti reali tali che per ogni
o equivalentemente
2) se esiste una costante reale tale che per ogni si ha che .

Mostriamo la completa equivalenza della definzioni 1) e 2).

1) implica 2)

Se per ogni naturale si ha che , con , ponendo si ha che per ogni naturale che è la definzione 2).

2) implica 1)

Se per ogni naturale con allora . Se si pone e allora per ogni si ha che che è la definizione 1).


Vedremo ora alcuni esempi di successioni limitate:

Esempi[modifica]

1. La successione è limitata infatti , le costanti in questo caso sono

2. La successione è limitata inferiormente ma non superiormente infatti , la costante che limita inferiormente la successione è .

3. La successione è limitata superiormente ma non inferiormente infatti , la costante che limita superiormente la successione è

Successioni illimitate[modifica]

Una successione reale si dice

  • illimitata superiormente se per ogni numero reale esiste , dipendente da tale che per ogni
  • illimitata inferiormente se per ogni numero reale esiste , dipendente da tale che per ogni .
  • illimitata se per ogni numero reale esiste , dipendente da tale che per ogni .

Esempi[modifica]

1. La successione è illimitata superiormente infatti fissato esiste un naturale tale che . Basta prendere , dove indica la funzione parte intera.

Sottosuccessione[modifica]

Sia una successione reale, sia inoltre una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè per ogni , diremo che è una sottosuccessione della successione . In modo informale, possiamo asserire che una sottosuccessione di una successione data è una nuova successione che è formata dalla successione originale a cui sono stati tolti alcuni elementi, senza modificare la posizione relativa degli elementi rimanenti. Va da sè che, data una successione, le sottosuccessioni estraibili da essa sono infinite.

Esempi[modifica]

1. La successione è una sottosuccessione di , in questo caso infatti la successione di indici

2. La successione costante è una sottosuccessione di , la successione di indici è

3. La successione costante è un'altra sottosuccessione di , la successione di indici è

Test della lezione[modifica]

Ora tocca a te, rispondi alle seguenti domande nel minor tempo possibile (max 20 minuti), ovviamente in modo corretto. Ti consentirà di capire quante informazioni hai recepito dopo la lettura della lezione. Attenzione, le domande 4, 5, 6, hanno più di una risposta esatta.

Test della lezione

1 Sia , essa è

limitata inferiormente, ma non superiormente.
negativa.
limitata superiormente, ma non inferiormente.
nessuna delle precedenti.

2 Sia , essa è

positiva
limitata inferiormente, ma non superiormente
negativa e limitata superiormente
nessuna delle precedenti

3 Sia , essa è

costante
negativa e limitata
positiva e limitata superiormente
nessuna delle precedenti

4 La successione

è negativa
è limitata inferiormente
è non negativa
è positiva

5 è una successione

limitata
a segni alterni
positiva
negativa

6 è una successione

illimitata
a segni alterni
positiva
negativa


Nota Se il punteggio ottenuto è

  • tra 0-2: insufficiente, consiglio vivamente di rileggere la lezione :)
  • tra 3-5: non male, ma si può fare di più. Un lettura veloce, poi corri alla seconda lezione ;)
  • 6: ottimo, hai colto le informazioni necessarie al proseguimento delle lezione, continua così :D

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