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Equazioni differenziali

equazioni differenziali

Questa lezione segue equazioni differenziali lineari. Se riscontri difficoltà nella lettura di questa pagina, vorrei incoraggiarti a leggere la prima lezione, nella quale vengono fornite le nozioni necessarie per una buona comprensione del testo. In questa lezione, inizieremo a muovere i primi passi nella risoluzione analitica delle equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Esse sono alla base della teoria delle equazioni differenziali, inoltre hanno un notevole utilizzo nella modellizazione dei problemi scientifici, tecnologici o addirittura demografici.

Definizione

Definizione: Equazione differenziale lineare del primo ordine

L'equazione differenziale lineare di ordine 1 si presenta nella forma più generica come:

$y'(x)+a(x)y(x)=f(x)\!$

In cui

• $a:I\subseteq \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ è una funzione continua in I,intervallo aperto
• $f:I\subseteq \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ anch'essa continue sullo stesso intervallo
  
  
  
  

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Diremo che l'equazione è a coefficienti costanti se risulta che:

• $a(x)=b\quad \forall x\in I$ con b costante reale.

Inoltre se la funzione $f(x)=0\!$ l'equazione differenziale verrà detta omogenea

Come abbiamo visto nella lezione precedente, l'integrale generale di un'equazione differenziale si esprime tramite la somma di una soluzione particolare dell'equazione differenziale e una soluzione dell'omogenea associata. E' giunto il momento di iniziare a conoscere i metodi risolutivi, ma per maggior chiarezza, distingueremo i casi trattando dapprima le equazioni del primo ordine omogenee:

Soluzione per le E.D. omogenee

Teorema: Soluzione dell'equazione omogenea

Data l'equazione differenziale: $y'(x)+a(x)y(x)=0\!$

L'insieme delle soluzioni è dato dalla famiglia di funzioni che si presentano nella forma:

$y_{0}(x):=\alpha e^{-A(x)}\!$, in cui:

• α è una costante appartenente all'insieme dei numeri reali.
• A(x) è una primitiva della funzione a(x)

Dimostrazione

• Per verificare che la funzione $y_{0}(x)$ è effettivamente soluzione dell'equazione differenziale, è sufficiente derivare:

$y_{0}'(x)=-\alpha A'(x)e^{-A(x)}=-\alpha a(x)e^{-A(x)}\!$

Sostituiamo ora l'espressione ottenuta:

${\begin{aligned}y'(x)+a(x)y(x)&=-\alpha a(x)e^{-A(x)}+a(x)\alpha e^{-A(x)}\\&=\alpha a(x)(e^{-A(x)}-e^{-A(x)})=0\end{aligned}}$

Quindi la funzione $y_{0}(x)$ soddisfa la relazione data dall'equazione differenziale.

• Rimane ora da mostrare che le funzioni soluzioni si presentano tutte in quella forma, per tale motivo, supponiamo che esista una funzione soddisfacente l'equazione differenziale espressa come:

$h(x)=g(x)e^{-A(x)}\!$

Il nostro intento è quello di mostrare che $g(x)=\alpha$, cioè è costante nel suo insieme di definizione.Valutiamo ora con la regola del prodotto la derivata della funzione h(x) (nota che h(x) è derivabile perchè soluzione dell'equazione differenziale)

$h'(x)=g'(x)e^{-A(x)}-g(x)a(x)e^{-A(x)}\!$

Poichè h(x) soddisfa l'equazione differenziale allora si deve avere che:

$h'(x)+a(x)h(x)=0\!$

quindi

$g'(x)e^{-A(x)}-g(x)a(x)e^{-A(x)}+a(x)g(x)e^{-A(x)}=0\!$

eliminando i termini opposti si arriva all'espressione:

$g'(x)e^{-A(x)}=0\!$

Ora ricordando che la funzione esponenziale è strettamente positiva, l'uguaglianza si ha se e solo se

$g'(x)=0\!$ e di conseguenza $g(x)=\alpha \!$

$\Box$

Importante

In pratica abbiamo dimostrato che le funzioni che soddisfano l'equazione differenziale sono tutte e le sole funzioni che si esprimono come:

$y_{0}(x)=\alpha e^{-A(x)}\!$

Esempi

Esempio 1

Data l'equazione differenziale

$y'(x)=y(x)\!$

Determinare la famiglia delle funzione che soddisfano l'equazione differenziale.

Soluzione

Riscriviamo l'equazione nel modo seguente:

$y'(x)-y(x)=0\!$

E' facile osservare che

• $a(x)=-1\!$

Dal teorema abbiamo che la famiglia delle soluzioni è:

$y_{0}(x)=\alpha e^{-A(x)}\!$, dove

$A(x)=\int {a(x)}dx=\int {-1}dx=-x+C$ con C costante reale. Pertanto la soluzione è:

$y_{0}(x)=\alpha e^{x+C}\!$

Nota che sfruttando le proprietà della funzione esponenziale l'espressione precedente può essere riespressa come:

$y_{0}(x)=\alpha e^{x+C}=\alpha e^{C}e^{x}=\alpha 'e^{x}\!$

Con $\alpha '=\alpha e^{C}\!$ costante reale

Esempio 2

Data l'equazione differenziale

$y'(x)+xy(x)=0\!$

Determinare la famiglia di funzioni che soddisfano l'equazione differenziale:

Soluzione

In questo caso:

$a(x)=x\!$

pertanto risulta che:

$A(x):=\int {a(x)}dx=\int {x}dx={\frac {x}{2}}+C$

La famiglia di soluzioni che soddisfa l'equazione differenziale data è:

$y_{0}(x)=\alpha e^{-{\frac {x}{2}}+C}=\alpha 'e^{-{\frac {x}{2}}}$

Con $\alpha '=\alpha e^{C}\!$ costante reale.

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Affronteremo ora una equazione differenziale completa, nella quale la funzione f(x) non è identicamente nulla, andremo quindi ad enunciare e dimostrare il teorema in cui verranno date le formule risolutive.

Metodi analitici di equazioni differenziali lineari del primo ordine

teorema: soluzione generale

Data l'equazione differenziale:

$y'(x)+a(x)y(x)=f(x)\!$

con

• $a,f:I\longrightarrow \mathbb {R}$ funzioni continue in I

La famiglia delle primitive soddisfacenti l'equazione è:

$y(x)=e^{-A(x)}\left(\int {f(x)e^{A(x)}}dx+C\right)$

In cui

• $A(x):=\int {a(x)}dx$
• C è una costante reale

Dimostrazione

Partiamo dall'equazione differenziale:

• $y'(x)+a(x)y(x)=f(x)\!$

Moltiplichiamo ad ambo i membri $e^{A(x)}\!$

dove

• $A(x):=\int {a(x)}dx$

ottenendo:

• $e^{A(x)}y'(x)+a(x)e^{A(x)}y(x)=e^{A(x)}f(x)\!$

Approfondimento

Osserva che per la regola del prodotto della derivata si ha ${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(y(x)e^{A(x)}\right)&=y'(x)e^{A(x)}+y(x)A'(x)e^{A(x)}\\&=y'(x)e^{A(x)}+y(x)a(x)e^{A(x)}\end{aligned}}$ Pertanto ${\frac {d}{dx}}\left(y(x)e^{A(x)}\right)=y'(x)e^{A(x)}+y(x)a(x)e^{A(x)}$

da cui, osservando che il primo membro dell'uguaglianza può essere rivisto come ${\frac {d}{dx}}\left(y(x)e^{A(x)}\right)$ si arriva a

• ${\frac {d}{dx}}\left(y(x)e^{A(x)}\right)=e^{A(x)}f(x)$

Integrando membro a membro rispetto alla variabile x si ha che:

• $y(x)e^{A(x)}=\int {e^{A(x)}f(x)}dx+C$

pertanto

• $y(x)=e^{-A(x)}\left(\int {e^{A(x)}f(x)}dx+C\right)$

$\Box$

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Esempi

Esempio 1

Risolvere l'equazione differenziale

$y'(x)=-xy(x)+x\!$

Soluzione

Scriviamo l'equazione in forma normale:

$y'(x)+xy(x)=x\!$

Ci rendiamo subito conto che:

• $a(x)=x\!$
• $f(x)=x\!$

Applichiamo la formula risolutiva che ci consente di ottenere l'integrale generale dell'equazione differenziale:

$y(x)=e^{-A(x)}\left(\int {e^{A(x)}x}dx+C\right)$

in cui

$A(x):=\int {a(x)}dx=\int {x}dx={\frac {x^{2}}{2}}+D$ (Notate che la costante additiva D è ininfluente, pertanto possiamo sceglierla uguale a zero)

Bisogna a questo punto risolvere l'integrale:

$\int {e^{A(x)}x}dx=\int {e^{\left({\frac {x^{2}}{2}}\right)}x}dx=e^{\frac {x^{2}}{2}}$

Pertanto si ha che la famiglia delle soluzioni che soddisfano l'equazioni differenziali è:

$y(x)=e^{-{\frac {x}{2}}}\left(e^{\frac {x^{2}}{2}}+C\right)=1+Ce^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

Esempio 2

Risolvere l'equazione differenziale

$y'(x)+{\frac {1}{x}}y(x)=e^{x}\!$

nell'intervallo $I=(0,+\infty )$

Soluzione

• $a(x)={\frac {1}{x}}$
• $f(x)=e^{x}\!$

Una primitiva della funzione a(x) è

$A(x)=\ln {|x|}\!$

In questo caso il valore assoluto può essere omesso in quanto l'intervalo in cui stiamo lavorando è $(0,+\infty )$

Bisogna a questo punto risolvere l'integrale:

$\int {e^{A(x)}e^{x}}dx=\int {e^{\ln {x}}e^{x}}dx=\int {xe^{x}}dx$

Utilizzando il metodo di integrazione per parti si arriva a:

$\int {xe^{x}}dx=e^{x}(x-1)$

l'equazioni differenziali è:

$y(x)=e^{-\ln {x}}\left(e^{x}(x-1)+C\right)={\frac {1}{x}}\left(e^{x}(x-1)+C\right)={\frac {e^{x}(x-1)}{x}}+{\frac {C}{x}}\quad \forall x\in (0,+\infty )$

Problema di Cauchy

Quando un'equazione differenziale viene risolta, si ottiene una famiglia di funzioni che soddisfano la relazione dettata dall'equazione stessa. Ciò si evince dal seguente esempio:

$y'(x)=e^{x}\!$ (1.1)

la famiglia delle soluzioni è $y_{c}(x)=e^{x}+c\quad c\in \mathbb {R}$. Al variare della costante c otteniamo ogni volta una funzione diversa che però soddisfa l'equazione data. Verifichiamo che è vero:

$y_{c}(x)=e^{x}+c\Rightarrow y'_{c}(x)=e^{x}\qquad \forall c\in \mathbb {R}$ (soddisfa (1.1))

Successioni

Notazioni

Alcuni autori indicano con $\mathbb {N}$ l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero, cioè $\mathbb {N} =\left\{1,2,3,4\cdots \right\}$. In questa e nelle lezioni che seguono con $\mathbb {N}$ indicheremo l'insieme $\mathbb {N} =\left\{0,1,2,3,4\cdots \right\}$

Una funzione $a:\mathbb {N} \to X$, dove $X$ è un insieme non banale, si dice successione in $X$ e si usa denotarla con

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$

o equivalentemente

$a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},\dots$.

Osserviamo che il dominio delle successioni non è necessariamente $\mathbb {N}$, è sufficiente prendere un suo sottoinsieme numerabile.

Una successione reale $(a_{n})_{n}$

• si dice positiva se per ogni $n\in \mathbb {N}$ si ha che $a_{n}>0$
• si dice non negativa se per ogni $n\in \mathbb {N}$ si ha che $a_{n}\geq 0$
• si dice negativa se per ogni $n\in \mathbb {N}$ si ha che $a_{n}<0$.
• si dice non positiva se per ogni $n\in \mathbb {N}$ si ha che $a_{n}\leq 0$

E' bene mettere in evidenza il fatto che esistono successioni che hanno segno variabile, alcuni termini della successione sono positivi mentre altri sono negativi. Ricoprono un ruolo importante le successioni a segno alterno:

• Una successione $(a_{n})_{n}$ si dice a segni alterni se per ogni $n\in \mathbb {N}$ si ha che $\displaystyle a_{n}a_{n+1}<0$.

Esempi

$a:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} ^{+},\ \ n\mapsto {\frac {1}{n}}$ è una successione ed è del tipo $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots$. La successione è positiva

$a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,\ \ n\mapsto -{\sqrt {n}}-1$ è una successione ed è del tipo $-1,-2,-{\sqrt {2}}-1,-{\sqrt {3}}-1,\dots ,-{\sqrt {n}}-1,\dots$. Questa successione, a differenza della precedente, è negativa.

$a:\mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}\to \mathbb {R} ,\ \ n\mapsto (-1)^{n}n$ è una successione ed è del tipo $-1,2,-3,4,\dots ,(-1)^{n}n,\dots$. Questa successione è a segno variabile, in particolare è a segni alterni.

$a:\mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}\to \mathbb {R} ,\ \ n\mapsto \sin(n)$ è una successione ed è del tipo $\sin(1),\sin(2),\sin(3),\sin(4),\dots ,\sin(n),\dots$. Questa successione è a segno variabile.

Successioni monotòne

Una successione reale $(a_{n})_{n}$ si dice

• monotona crescente se per ogni $n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\leq a_{n+1}$
• monotona descrescente se per ogni $n\in \mathbb {N} \quad a_{n}\geq a_{n+1}$
• monotona strettamente crescente se per ogni $n\in \mathbb {N} \quad a_{n}<a_{n+1}$
• monotona strettamente descrescente se per ogni $n\in \mathbb {N} \quad a_{n}>a_{n+1}$

Attenzione, esistono successioni che non rispettano le condizioni precedenti, hanno cioè un andamento variabile. Per fissare le idee su queste definizioni facciamo alcuni esempi.

Esempi

• $(a_{n})_{n}=(n^{2})_{n}$ è una successione strettamente crescente, infatti, da $n<n+1$ segue immediatamente che $n^{2}<(n+1)^{2}$ cioè $a_{n}<a_{n+1}$ per ogni $n$ naturale.

• $(a_{n})_{n}=\left({\frac {n}{n+1}}\right)_{n}$ è una successione strettamente crescente. Per verificarlo, ci chiediamo per quali numeri naturali $n$ viene verificata la disuguaglianza $a_{n+1}>a_{n}$.

$a_{n+1}>a_{n}\iff {\frac {n+1}{n+2}}>{\frac {n}{n+1}}\iff (n+1)^{2}>n(n+2)\iff n^{2}+2n+1>n^{2}+2n\iff 1>0$ ma questa è sempre verificata in $\mathbb {N}$.

Un altro modo per giungere alla stessa conclusione è il seguente:

Il termine n-esimo della successione $a_{n}={\frac {n}{n+1}}$ può essere riscritto come $a_{n}=1-{\frac {1}{n+1}}$. Osserviamo ora che $\forall n\in \mathbb {N} \quad n<n+1\implies n+1<n+2\implies {\frac {1}{n+1}}>{\frac {1}{n+2}}\implies -{\frac {1}{n+1}}<-{\frac {1}{n+2}}\implies 1-{\frac {1}{n+1}}<1-{\frac {1}{n+2}}$

cioè $a_{n+1}>a_{n}$ per ogni $n$ naturale

• $(a_{n})_{n}=(-n^{2})_{n}$ è una successione strettamente decrescente, infatti, da $n<n+1$ segue immediatamente che $n^{2}<(n+1)^{2}$ pertanto $-n^{2}>-(n+1)^{2}$ per ogni $n$ naturale pertanto $a_{n+1}<a_{n}$.

Successioni limitate

Una successione reale $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ è

• limitata superiormente se esiste una costante reale $M$ tale che per ogni $n\in \mathbb {N}$ si ha che $a_{n}\leq M$

• limitata inferiormente se esiste una costante reale $m$ tale che per ogni $n\in \mathbb {N}$ si ha che $m\leq a_{n}$

• limitata se è limitata superiormente e inferiormente, cioè:

1) se esistono due costanti reali $m,M\in \mathbb {R}$ tali che $m\leq a_{n}\leq M$ per ogni $n\in \mathbb {N}$

o equivalentemente

2) se esiste una costante reale $A>0$ tale che per ogni $n\in \mathbb {N}$ si ha che $|a_{n}|\leq A$.

Mostriamo la completa equivalenza della definzioni 1) e 2).

1) implica 2)

Se per ogni $n$ naturale si ha che $m<a_{n}<M$, con $m,M\in \mathbb {R}$, ponendo $A=\max(|m|,|M|)$ si ha che per ogni $n$ naturale $|a_{n}|<A$ che è la definzione 2).

2) implica 1)

Se per ogni $n$ naturale $|a_{n}|<A$ con $A>0$ allora $-A<a_{n}<A$. Se si pone $m=-A$ e $M=A$ allora per ogni $n$ si ha che $m<a_{n}<M$ che è la definizione 1).

Vedremo ora alcuni esempi di successioni limitate:

Esempi

1. La successione $(a_{n})_{n}=\left({\frac {1}{n}}\right)_{n}$ è limitata infatti $0<{\frac {1}{n}}\leq 1,\forall n\in \mathbb {N} \setminus \left\{0\right\}$, le costanti in questo caso sono $m=0,M=1$

2. La successione $(a_{n})_{n}=(n+1)_{n}$ è limitata inferiormente ma non superiormente infatti $1\leq n+1<+\infty ,\forall n\in \mathbb {N}$, la costante che limita inferiormente la successione è $m=1$.

3. La successione $(a_{n})_{n}=(-n+1)_{n}$ è limitata superiormente ma non inferiormente infatti $-\infty <-n+1\leq 1,\forall n\in \mathbb {N}$, la costante che limita superiormente la successione è $M=1$

Successioni illimitate

Una successione reale $(a_{n})_{n}$ si dice

• illimitata superiormente se per ogni numero reale $K>0$ esiste $m_{K}\in \mathbb {N}$, dipendente da $K$ tale che $a_{n}>K$ per ogni $n>m_{K}$
• illimitata inferiormente se per ogni numero reale $K<0$ esiste $m_{K}\in \mathbb {N}$, dipendente da $K$ tale che $a_{n}<K$ per ogni $n>m_{K}$.
• illimitata se per ogni numero reale $K>0$ esiste $m_{K}\in \mathbb {N}$, dipendente da $K$ tale che $|a_{n}|>K$ per ogni $n>m_{K}$.

Esempi

1. La successione $(a_{n})_{n}=\left(n^{2}\right)_{n}$ è illimitata superiormente infatti fissato $K>0$ esiste un naturale $m_{k}$ tale che $n^{2}>K\quad \forall n>m_{k}$. Basta prendere $m_{k}=\left[{\sqrt {K}}\right]$, dove $\left[\cdot \right]$ indica la funzione parte intera.

Sottosuccessione

Sia $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R}$ una successione reale, sia inoltre $\left(i_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè $i_{n}<i_{n+1}$ per ogni $n\in \mathbb {N}$, diremo che $\left(a_{i_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ è una sottosuccessione della successione $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$. In modo informale, possiamo asserire che una sottosuccessione di una successione data è una nuova successione che è formata dalla successione originale a cui sono stati tolti alcuni elementi, senza modificare la posizione relativa degli elementi rimanenti. Va da sè che, data una successione, le sottosuccessioni estraibili da essa sono infinite.

Esempi

1. La successione $\left({\frac {1}{2n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ è una sottosuccessione di $\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$, in questo caso infatti la successione di indici $(i_{n})_{n}=(2n)_{n}$

2. La successione costante $(-1)_{n\in \mathbb {N} }$ è una sottosuccessione di $\left((-1)^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$, la successione di indici è $(i_{n})_{n}=(2n+1)_{n}$

3. La successione costante $(1)_{n\in \mathbb {N} }$ è un'altra sottosuccessione di $\left((-1)^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$, la successione di indici è $(i_{n})_{n}=(2n)_{n}$

Test della lezione

Ora tocca a te, rispondi alle seguenti domande nel minor tempo possibile (max 20 minuti), ovviamente in modo corretto. Ti consentirà di capire quante informazioni hai recepito dopo la lettura della lezione. Attenzione, le domande 4, 5, 6, hanno più di una risposta esatta.

Test della lezione

1 Sia $(a_{n})_{n}=(n)_{n}$, essa è

	limitata inferiormente, ma non superiormente.
	negativa.
	limitata superiormente, ma non inferiormente.
	nessuna delle precedenti.

2 Sia $(a_{n})_{n}=(-n^{2})_{n}$, essa è

	positiva
	limitata inferiormente, ma non superiormente
	negativa e limitata superiormente
	nessuna delle precedenti

3 Sia $(a_{n})_{n}=(-{\frac {1}{n}})_{n}$, essa è

	costante
	negativa e limitata
	positiva e limitata superiormente
	nessuna delle precedenti

4 La successione $(a_{n})_{n}=(n^{2})_{n}$

	è negativa
	è limitata inferiormente
	è non negativa
	è positiva

5 $\left((-1)^{n}\right)_{n}$ è una successione

	limitata
	a segni alterni
	positiva
	negativa

6 $\left((-1)^{n}n\right)_{n}$ è una successione

	illimitata
	a segni alterni
	positiva
	negativa

Nota Se il punteggio ottenuto è

• tra 0-2: insufficiente, consiglio vivamente di rileggere la lezione :)
• tra 3-5: non male, ma si può fare di più. Un lettura veloce, poi corri alla seconda lezione ;)
• 6: ottimo, hai colto le informazioni necessarie al proseguimento delle lezione, continua così :D

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