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In matematica, una successione può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da un numero infinito di oggetti, detti termini della successione, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-mo termine per ogni intero n.
Limiti di successioni reali
Successione convergente
Una successione tende a per che tende a infinito se
oppure equivalentemente
Cioè mano a mano che cresce il contatore della successione, mi avvicino sempre di più ad un valore reale . Per quanto io possa scegliere piccolo il valore reale , per un sufficientemente grande (più grande di un altro valore ) la differenza tra la successione ed il limite della successione è proprio , cioè un valore anche infinitamente piccolo.
Quando questo accade, e non succede infatti per tutte le successioni, si dice che la successione converge a e è il suo limite (sempre per che tende all'infinito).
Vediamo alcuni esempi per fissare le idee.
Esempi
- 1. Proviamo che , cioè proviamo la veridicità della definizione:
- Fissiamo dunque un qualsiasi valore reale positivo , deve esistere un tale che
- .
Ci basta prendere come un numero più grande di e otteniamo l'asserto. Prendiamo dunque abbiamo che e abbiamo finito.
Successioni divergenti
La successione reale si dice divergente se
- .
In particolare si hanno le seguenti definizioni:
- se e solo se per definizione
- se e solo se per definizione
Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.
Esempio
1. Il primo esempio che andremo a prendere in considerazione è , andremo a dimostrare che
- Fissiamo , il nostro obiettivo è quello di determinare un numero naturale tale che per ogni si ha che . Banalmente è sufficiente prendere , di conseguenza per si ha anche (si tenga conto della catena di disuguaglianze )
2. Mostreremo ora che
- Fissiamo , come nel caso precedente determineremo un numero naturale tale che per ogni si ha che . Da segue che , in questo caso, quindi, il candidato è il più piccolo numero naturale più grande di . Se , si ha che per ogni (si tenga conto della catena di disuguaglianze ). Avendo mostrato l'esistenza di questo numero naturale abbiamo fatto vedere che la successione considerata diverge positivamente.
Successioni regolari e irregolari
L'esistenza del limite non è assicurata per ogni successione, pertanto è utile effettuare una distinzione tra le successione che hanno limite e quelli che non lo hanno.
Definizione
- Una successione reale
In generale non è semplice capire se una successione non ha limite, e tuttora non abbiamo i mezzi per verificarne la regolarità. Interverranno però dei teoremi che ci permetteranno di giungere a delle conclusioni.
Teorema di unicità del limite
Data una successione tale che esiste il allora il limite è unico.
Dimostrazione
- Il nostro scopo è quello di far vedere che se e allora
- Per ipotesi abbiamo che dato riusciamo a determinare:
- un tale che abbiamo che
- un tale che abbiamo che .
- Cosideriamo ora la differenza tra i due limiti in valore assoluto, chiamando
- .
- Abbiamo fatto vedere che è minore di qualsiasi quantità positiva, e pertanto deve essere zero, come conseguenza otteniamo che
- , i limiti devono necessariamente coincidere.
Criteri di convergenza per una successione
Sottosuccessione
|
Sia una successione reale, sia inoltre una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè per ogni , diremo che è una sottosuccessione della successione .
|
Teorema (convergenza di una sottosuccessione)
Sia una successione convergente a . Allora ogni sottosuccessione è convergente a .
Dimostrazione
- Se converge a , per definizione di limite, si ha che:
- Fissato esiste
- Osserviamo ora che valgono le due condizioni
- Se così non fosse allora non sarebbe una sottosuccessione. Dall'osservazione è chiaro che se allora :. Pertanto per lo stesso
- .
- Il candidato m che realizza la disuguaglianza è lo stesso che realizza la disuguaglianza .
- Dall'arbitrarietà di abbiamo la tesi.
Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)
Se è una successione divergente positivamente (negativamente), allora ogni sottosuccessione è anch'essa divergente positivamente (negativamente).
Dimostrazione
- La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.
- Per fissare le idee, prendiamo il caso di . Allora, per definzione di successione divergente:
- Anche qui , pertanto di conseguenza .
- Dunque, se diverge positivamente per ogni , a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione.
Il ragionamento è analogo nel caso in cui la successione in questione è divergente negativamente, i dettagli vengono lasciati per esercizio allo studente volenteroso.
Solitamente i due teoremi appena enunciati vengono accorpati in un unico enunciato:
- Se una successione reale è regolare allora ogni sua sottosuccessione è regolare e i loro limiti coincidono.
Osservazione fondamentale: I risultati appena ottenuti sono essenziali per dimostrare che una successione è irregolare (non ammette limite), infatti i teoremi di convergenza e di divergenza delle sottosuccessione possono essere applicati al negativo. Nelle applicazioni sono più utili le loro contronominali.
Contronominale del Teorema di convergenza delle sottosuccessioni
- Sia una successione reale. Se esistono due sottosuccessioni tali che
- con allora la successione non ammette limite.
Esempi
Vedremo esplicitamente come utilizzare la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni per dimostrare che una successione non ammette limite.
Esempio 1
- Consideriamo la successione reale e osserviamo che essa assume i valori -1, se è dispari, 1 se è pari.
- Se prendiamo e abbiamo che:
- .
- Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:
- I due limiti non coincidono di conseguenza, per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione non ammette limite.
Esempio 2
- Consideriamo la successione reale .
- Se prendiamo e abbiamo che:
- .
- Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:
- I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione non ammette limite.
Teorema sulla limitatezza per successioni
Sia una successione reale. Se
finito allora la successione è limitata,
cioè esiste una costante reale positiva tale che per ogni naturale si ha . Non vale il viceversa, la limitatezza non assicura la convergenza come vedremo in seguito nell'esempio.
Dimostrazione
- Per ipotesi è convergente a di conseguenza, per definizione di successione convergente:
- .
- Fissiamo , allora esiste un numero naturale tale che:
- Chiamiamo
- ,
- segue che
- , cioè la successione è limitata, ciò conclude la dimostrazione.
Osservazione: Come preannunciato, non tutte le successioni limitate sono convergenti, e per mostrarlo è sufficiente considerare il seguente controesempio:
- Sia , essa è limitata poichè per ogni numero naturale si ha che ma essa è irregolare, non ammette limite. Lo stesso ragionamento può essere fatto sulla successione .
Teorema della permanenza del segno per le successioni
Sia una successione reale tale che .
a) Se allora la successione è definitivamente positiva, cioè esiste tale che per ogni si ha che .
b) Se allora la successione è definitivamente negativa, cioè esiste tale che per ogni si ha che .
Dimostrazione
- Considereremo solo il caso a), b) è equivalente, lo studente volenteroso si prodigherà a scriverne la dimostrazione.
- Per ipotesi abbiamo che la successione converge a , pertanto fissato esiste tale che per ogni :
- .
- L'arbitrarietà di ci permette di scegliere il suo valore. Se , segue che di conseguenza , otteniamo:
- da cui la tesi, in quanto la quantità è positiva e limita inferiormente la successione da un certo numero naturale in poi.
Algebra delle successioni convergenti
Quelli che seguono sono teoremi essenziali, si prega quindi di porre un attenzione particolare. Essi sono mezzi che ricorrono spesso nelle lezioni successive e soprattutto aiutano in modo massicio nella risoluzione degli esercizi.
Teorema sul limite della somma
Siano successioni reali convergenti a e rispettivamente.
Allora:
Sostanzialmente il teorema sul limite della somma ci suggerisce che il limte della somma coincide con la somma dei limiti.
Dimostrazione
- Nelle ipotesi abbiamo che la successione converge a , e per definizione di successione convergente abbiamo che:
- tale che
- Similmente se convergente a implica che:
- tale che
- Il nostro obiettivo è quello di trovare un numero naturale N>0 tale che si ha:
- .
- Per fare ciò prendiamo in esame l'espressione ed applichiamo ad essa la oramai celeberrima disuguaglianza triangolare, con la quale otteniamo che:
- .
- Attenzione, questo è un passaggio fondamentale per avere chiara la dimostrazione: abbiamo visto che , così come quindi se otteniamo che:
- Dall'arbitrarietà di abbiamo la tesi.
Teorema sul limite del prodotto
Siano successioni reali convergenti a e rispettivamente.
Allora:
Dimostrazione
- Per ipotesi abbiamo che la successione converge a e di conseguenza è limitata, a ciò si perviene avendo a mente che se una successione è convergente allora essa è limitata, cioè esiste un valore tale che .Prendiamo in esame la seguente quantità:
- aggiungiamo e sottraiamo ottenendo:
- Utilizziamo la disuguaglianza triangolare:
- Abbiamo visto che quindi
- Attenzione:Nell'ultimo passaggio abbiamo aggiunto un 1 per evitare problemi in seguito, infatti se la successione convergesse a 0, il valore non avrebbe senso. Con questo trucchetto abbiamo evitato il problema.
- Poiché e sono successioni convergenti allora
- possiamo trovare tali che
- e
- ma allora definendo si ha che:
Teorema del limite del reciproco di una successione
Sia una successione reale tale che .
Se allora:
Dimostrazione
- Per ipotesi abbiamo che è una successione convergente a pertanto, fissato , esiste tale che per ogni si ha che .
- Se , per si ha che
- pertanto:
- per ogni
- e quindi
- .
- Consideriamo ora la quantità
- dove per ottenere l'ultima disuguglianza, abbiamo utilizzato la definizione di limite per la successione e (1)
Algebra delle successioni divergenti
Teorema della somma per successioni divergenti
Siano successioni reali
- se allora:
- .
- Similmente se allora:
Dimostrazione
- Procederemo alla dimostrazione del primo caso, il secondo è del tutto analogo, sarà sufficiente modificare cum grano salis.
- Per ipotesi abbiamo che le due successioni sono divergenti, sfrutteremo quindi la definzione di queste ultime:
- divergente positivamente implica che
- divergente positivamente implica che
- Sia ora , per ogni si ha che:
- ma questo significa che la successione somma è positivamente divergente, ciò conclude la dimostrazione.
Osservazione: Sottolineamo il fatto che se una successione diverge positivamente mentre l'altra diverge negativamente nulla si può dire sul limite della somma, in questo caso infatti rientriamo nella casistica delle forme indeterminate, la cui trattazione verrà ripresa in seguito.
Teorema sul limite del prodotto di successioni
Siano due successioni reali, tali che:
Se:
- allora
- allora
- nulla si può dire sul , essa è una forma indeterminata.
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
.