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Successioni

Successioni

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In matematica, una successione può essere definita intuitivamente come un elenco ordinato costituito da un numero infinito di oggetti, detti termini della successione, tra i quali sia possibile distinguere un primo, un secondo, un terzo e in generale un n-mo termine per ogni intero n.

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Limiti di successioni reali

Successione convergente

Una successione $(a_{n})_{n}$ tende a $\lambda \in \mathbb {R}$ per $n$ che tende a infinito se

$\forall \varepsilon >0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ \lambda -\varepsilon <a_{n}<\lambda +\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

oppure equivalentemente

$\forall \varepsilon >0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

Cioè mano a mano che cresce il contatore $n$ della successione, mi avvicino sempre di più ad un valore reale $\lambda$. Per quanto io possa scegliere piccolo il valore reale $\varepsilon$, per un $n$ sufficientemente grande (più grande di un altro valore $m$) la differenza tra la successione ed il limite della successione $\lambda$ è proprio $\varepsilon$, cioè un valore anche infinitamente piccolo.

Quando questo accade, e non succede infatti per tutte le successioni, si dice che la successione converge a $\lambda$ e $\lambda$ è il suo limite (sempre per $n$ che tende all'infinito).

Vediamo alcuni esempi per fissare le idee.

Esempi

1. Proviamo che $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$, cioè proviamo la veridicità della definizione:

$\forall \varepsilon >0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ \left|{\frac {1}{n}}\right|<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

Fissiamo dunque un qualsiasi valore reale positivo $\varepsilon$, deve esistere un $m\in \mathbb {N}$ tale che

${\frac {1}{n}}<\varepsilon \Leftrightarrow n>{\frac {1}{\varepsilon }},\ \forall n>m$.

Ci basta prendere come $m$ un numero più grande di ${\frac {1}{\varepsilon }}$ e otteniamo l'asserto. Prendiamo dunque $m={\frac {1}{\varepsilon }}+\delta$ abbiamo che $n>{\frac {1}{\varepsilon }}+\delta >{\frac {1}{\varepsilon }}\Longleftrightarrow {\frac {1}{n}}<{\frac {1}{m}}<\varepsilon$ e abbiamo finito.

Successioni divergenti

La successione reale $(a_{n})$ si dice divergente se

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\pm \infty$.

In particolare si hanno le seguenti definizioni:

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=+\infty$ se e solo se per definizione $\forall k>0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$ se e solo se per definizione $\forall k<0\ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}<k,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>m$

Nel primo caso si dice che la successione diverge positivamente, mentre nel secondo caso diverge negativamente.

Esempio

1. Il primo esempio che andremo a prendere in considerazione è $(a_{n})_{n}=(n)_{n}$, andremo a dimostrare che $\lim _{n\to +\infty }n=+\infty$

Fissiamo $k>0$, il nostro obiettivo è quello di determinare un numero naturale $m$ tale che per ogni $n>m$ si ha che $n>k$. Banalmente è sufficiente prendere $m>k$, di conseguenza per $n>m$ si ha anche $n>k$ (si tenga conto della catena di disuguaglianze $n>m>k$)

2. Mostreremo ora che $\lim _{n\to +\infty }n^{2}=+\infty$

Fissiamo $k>0$, come nel caso precedente determineremo un numero naturale $m$ tale che per ogni $n>m$ si ha che $a_{n}>k$. Da $n^{2}>k$ segue che $n>{\sqrt {k}}$, in questo caso, quindi, il candidato $m$ è il più piccolo numero naturale più grande di ${\sqrt {k}}$. Se $m>{\sqrt {k}}$, si ha che per ogni $n>m$ $n>{\sqrt {k}}$ (si tenga conto della catena di disuguaglianze $n>m>{\sqrt {k}}$). Avendo mostrato l'esistenza di questo numero naturale ${\displaystyle }$ abbiamo fatto vedere che la successione considerata diverge positivamente.

Successioni regolari e irregolari

L'esistenza del limite non è assicurata per ogni successione, pertanto è utile effettuare una distinzione tra le successione che hanno limite e quelli che non lo hanno.

Definizione

Una successione reale

$\displaystyle (a_{n})_{n}\ \ {\grave {e}}{\mbox{ }}{\begin{cases}{\mbox{ regolare se}}\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}={\begin{cases}\ell \in \mathbb {R} \\+\infty \\-\infty \end{cases}}\\{\mbox{ irregolare se }}\displaystyle \nexists \lim _{n\to +\infty }a_{n}\end{cases}}$

In generale non è semplice capire se una successione non ha limite, e tuttora non abbiamo i mezzi per verificarne la regolarità. Interverranno però dei teoremi che ci permetteranno di giungere a delle conclusioni.

Teorema di unicità del limite

Data una successione $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ tale che esiste il $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ allora il limite è unico.

Dimostrazione

Il nostro scopo è quello di far vedere che se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A_{1}$ e $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A_{2}$ allora $A_{1}=A_{2}\,\!$

Per ipotesi abbiamo che dato $\varepsilon >0$ riusciamo a determinare:

• un $N_{1}\in \mathbb {N}$ tale che $\forall n>N_{1}$ abbiamo che $|a_{n}-A_{1}|<\varepsilon$
• un $N_{2}\in \mathbb {N}$ tale che $\forall n>N_{2}$ abbiamo che $|a_{n}-A_{2}|<\varepsilon$.

Cosideriamo ora la differenza tra i due limiti in valore assoluto, chiamando $N=\max \left(N_{1},N_{2}\right)$

${\begin{aligned}|A_{1}-A_{2}|&=|A_{1}-a_{n}+a_{n}-A_{2}|\leq \\&\leq |a_{n}-A_{1}|+|a_{n}-A_{2}|<2\varepsilon \ \ \forall n>N\end{aligned}}$.

Abbiamo fatto vedere che$|A_{1}-A_{2}|$ è minore di qualsiasi quantità positiva, e pertanto deve essere zero, come conseguenza otteniamo che

$|A_{1}-A_{2}|=0\iff A_{1}=A_{2}$, i limiti devono necessariamente coincidere.

$\Box$

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Criteri di convergenza per una successione

Sottosuccessione

Sia $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ una successione reale, sia inoltre $\left(i_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ una successione strettamente crescente di numeri naturali, cioè $i_{n}<i_{n+1}$ per ogni $n\in \mathbb {N}$, diremo che $\left(a_{i_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ è una sottosuccessione della successione $\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$.

Teorema (convergenza di una sottosuccessione)

Sia $(a_{n})$ una successione convergente a $\lambda \in \mathbb {R}$. Allora ogni sottosuccessione $(a_{i_{n}})$ è convergente a $\lambda$.

Dimostrazione

Se $(a_{n})_{n}$ converge a $\lambda$, per definizione di limite, si ha che:

Fissato $\varepsilon >0$ esiste $m\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n>m,n\in \mathbb {N}$

Osserviamo ora che $\forall n\in \mathbb {N}$ valgono le due condizioni

$i_{n}\geq n$

$\displaystyle i_{n}<i_{n+1}$

Se così non fosse allora $(a_{i_{n}})_{n}$ non sarebbe una sottosuccessione. Dall'osservazione è chiaro che se $m<n$ allora :$m<i_{n}$. Pertanto per lo stesso $\varepsilon$

$\exists m\in \mathbb {N} \ :\ |a_{i_{n}}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n>m,n\in \mathbb {N}$.

Il candidato m che realizza la disuguaglianza $\ |a_{i_{n}}-\lambda |<\varepsilon \ \ \forall n>m$ è lo stesso che realizza la disuguaglianza $\ |a_{n}-\lambda |<\varepsilon \ \ \forall n>m$.

Dall'arbitrarietà di $\varepsilon$ abbiamo la tesi.

$\Box$

Teorema (divergenza delle sottosuccessioni)

Se $(a_{n})_{n}$ è una successione divergente positivamente (negativamente), allora ogni sottosuccessione $(a_{i_{n}})_{n}$ è anch'essa divergente positivamente (negativamente).

Dimostrazione

La dimostrazione è analoga a quella del Teorema di convergenza di una sottosuccessione.

Per fissare le idee, prendiamo il caso di $\lim _{n\to \infty }a_{n}=+\infty$. Allora, per definzione di successione divergente:

$\forall k>0\ \ \ \exists m\in \mathbb {N} \ :\ a_{n}>k,\ \forall n>m$

Anche qui $i_{n}\geq n,\ \ \forall n\in \mathbb {N}$, pertanto $i_{n}>m$ di conseguenza $a_{i_{n}}>k\ \ \forall n>m$.

Dunque, se $(a_{n})_{n}$ diverge positivamente per ogni $n>m$, a maggior ragione diverge positivamente anche la sottosuccessione.

$\Box$

Il ragionamento è analogo nel caso in cui la successione in questione è divergente negativamente, i dettagli vengono lasciati per esercizio allo studente volenteroso.

Solitamente i due teoremi appena enunciati vengono accorpati in un unico enunciato:

Se una successione reale $(a_{n})_{n}$ è regolare allora ogni sua sottosuccessione $(a_{i_{n}})_{n}$ è regolare e i loro limiti coincidono.

Osservazione fondamentale: I risultati appena ottenuti sono essenziali per dimostrare che una successione è irregolare (non ammette limite), infatti i teoremi di convergenza e di divergenza delle sottosuccessione possono essere applicati al negativo. Nelle applicazioni sono più utili le loro contronominali.

Contronominale del Teorema di convergenza delle sottosuccessioni

Sia $(a_{n})$ una successione reale. Se esistono due sottosuccessioni $(a_{i_{n}})_{n},\ \ (a_{j_{n}})_{n}$ tali che

• $\lim _{n\to +\infty }a_{i_{n}}=\ell _{1}$
• $\lim _{n\to +\infty }a_{j_{n}}=\ell _{2}$

con $\ell _{1}\neq \ell _{2}$ allora la successione $(a_{n})_{n}$ non ammette limite.

Esempi

Vedremo esplicitamente come utilizzare la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni per dimostrare che una successione non ammette limite.

Esempio 1

Consideriamo la successione reale $\displaystyle (a_{n})_{n}=\left((-1)^{n}\right)_{n}$ e osserviamo che essa assume i valori -1, se $n$ è dispari, 1 se $n$ è pari.

$\displaystyle a_{n}={\begin{cases}1,&{\mbox{se }}n{\mbox{ pari}}\\-1,&{\mbox{se }}n{\mbox{ dispari}}\end{cases}}$

Se prendiamo $(i_{n})_{n}=(2n)_{n}$ e $(j_{n})=(2n+1)_{n}$ abbiamo che:

• $(a_{i_{n}})_{n}=\left((-1)^{2n}\right)_{n}=(1)_{n}$
• $(a_{j_{n}})_{n}=\left((-1)^{2n+1}\right)_{n}=(-1)_{n}$.

Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:

$\lim _{n\to +\infty }a_{i_{n}}=1$

$\lim _{n\to +\infty }a_{j_{n}}=-1$

I due limiti non coincidono di conseguenza, per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione $\left((-1)^{n}\right)_{n}$ non ammette limite.

Esempio 2

Consideriamo la successione reale $\displaystyle (a_{n})_{n}=\left(\sin \left(n\ \ {\frac {\pi }{2}}\right)\right)_{n}$.

Se prendiamo $(i_{n})_{n}=(2n)_{n}$ e $(j_{n})=(4n+1)_{n}$ abbiamo che:

• $(a_{i_{n}})_{n}=\left(\sin \left(2n\ \ {\frac {\pi }{2}}\right)\right)_{n}=\left(\sin \left(n\pi \right)\right)_{n}=(0)_{n}$
• $(a_{j_{n}})_{n}=\left(\sin \left((4n+1)\ \ {\frac {\pi }{2}}\right)\right)_{n}=(1)_{n}$.

Pertanto i limiti delle sottosuccessioni sono rispettivamente:

$\lim _{n\to +\infty }a_{i_{n}}=0$

$\lim _{n\to +\infty }a_{j_{n}}=1$

I due limiti non coincidono pertanto per la contronominale del teorema di convergenza delle sottosuccessioni, la successione $\left(\sin \left(n\ \ {\frac {\pi }{2}}\right)\right)_{n}$ non ammette limite.

Teorema sulla limitatezza per successioni

Sia $(a_{n})_{n}$ una successione reale. Se $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=\ell$ finito allora la successione $(a_{n})_{n}$ è limitata, cioè esiste una costante reale positiva $M>0$ tale che per ogni $n$ naturale si ha $|a_{n}|\leq M$. Non vale il viceversa, la limitatezza non assicura la convergenza come vedremo in seguito nell'esempio.

Dimostrazione

Per ipotesi $(a_{n})_{n}$ è convergente a $\ell$ di conseguenza, per definizione di successione convergente:

$\forall \varepsilon >0\ \ \exists m\in \mathbb {N} :\ \ \forall n>m\ \ |a_{n}-\ell |<\varepsilon$.

Fissiamo $\varepsilon =1$, allora esiste un numero naturale $m$ tale che:

$|a_{n}-\ell |<1\iff -1<a_{n}-\ell <1\iff \ell -1<a_{n}<\ell +1\ \ \forall n>m$

Chiamiamo

$M=\max {(|a_{0}|,|a_{1}|,\cdots ,|a_{m}|,|\ell -1|,|\ell +1|)}$,

segue che

$|a_{n}|\leq M\ \ \forall n\in \mathbb {N}$, cioè la successione è limitata, ciò conclude la dimostrazione.

$\Box$

Osservazione: Come preannunciato, non tutte le successioni limitate sono convergenti, e per mostrarlo è sufficiente considerare il seguente controesempio:

Sia $(a_{n})_{n}=((-1)^{n})_{n}$, essa è limitata poichè per ogni numero naturale $n$ si ha che $-1\leq (-1)^{n}\leq 1$ ma essa è irregolare, non ammette limite. Lo stesso ragionamento può essere fatto sulla successione $(a_{n})_{n}=\left(\sin \left({\frac {\pi n}{2}}\right)\right)_{n}$.

Teorema della permanenza del segno per le successioni

Sia $(a_{n})_{n}$ una successione reale tale che $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=\ell$.

a) Se $\ell >0$ allora la successione è definitivamente positiva, cioè esiste $N\in \mathbb {N}$ tale che per ogni $n>N$ si ha che $a_{n}>0$.

b) Se $\ell <0$ allora la successione è definitivamente negativa, cioè esiste $N\in \mathbb {N}$ tale che per ogni $n>N$ si ha che $a_{n}<0$.

Dimostrazione

Considereremo solo il caso a), b) è equivalente, lo studente volenteroso si prodigherà a scriverne la dimostrazione.

Per ipotesi abbiamo che la successione converge a $\ell >0$, pertanto fissato $\varepsilon >0$ esiste $N\in \mathbb {N}$ tale che per ogni $n>N$:

$\ell -\varepsilon <a_{n}<\ell +\varepsilon$.

L'arbitrarietà di $\varepsilon$ ci permette di scegliere il suo valore. Se $0<\varepsilon <{\frac {\ell }{2}}$, segue che $-\varepsilon >-{\frac {\ell }{2}}$ di conseguenza $\ell -\varepsilon >\ell -{\frac {\ell }{2}}={\frac {\ell }{2}}>0$, otteniamo:

$\ell -\varepsilon <a_{n}<\ell +\varepsilon \implies 0<{\frac {\ell }{2}}<a_{n}<{\frac {3\ell }{2}}$

da cui la tesi, in quanto la quantità ${\frac {\ell }{2}}$ è positiva e limita inferiormente la successione da un certo numero naturale $N$ in poi.

$\Box$

Algebra delle successioni convergenti

Quelli che seguono sono teoremi essenziali, si prega quindi di porre un attenzione particolare. Essi sono mezzi che ricorrono spesso nelle lezioni successive e soprattutto aiutano in modo massicio nella risoluzione degli esercizi.

Teorema sul limite della somma

Siano $(a_{n})_{n},\ (b_{n})_{n}$ successioni reali convergenti a $\lambda$ e $\mu$ rispettivamente. Allora:

• $\lim _{n\to +\infty }a_{n}+b_{n}=\lim _{n\to +\infty }a_{n}+\lim _{n\to +\infty }b_{n}=\lambda +\mu$

Sostanzialmente il teorema sul limite della somma ci suggerisce che il limte della somma coincide con la somma dei limiti.

Dimostrazione

Nelle ipotesi abbiamo che la successione $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge a $\lambda$, e per definizione di successione convergente abbiamo che:

$\forall \varepsilon >0,\ \ \exists N_{1}\in \mathbb {N}$ tale che $\ \ \forall n>N_{1},\ \ |a_{n}-\lambda |<{\frac {\varepsilon }{2}}$

Similmente se $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ convergente a $\mu$ implica che:

$\forall \varepsilon >0,\ \ \exists N_{2}\in \mathbb {N}$ tale che $\forall n>N_{2},\ \ |b_{n}-\mu |<{\frac {\varepsilon }{2}}$

Il nostro obiettivo è quello di trovare $\forall \varepsilon >0$ un numero naturale N>0 tale che $\forall n>N$ si ha:

$|a_{n}+b_{n}-(\lambda +\mu )|<\varepsilon$.

Per fare ciò prendiamo in esame l'espressione $|a_{n}+b_{n}-(\lambda +\mu )|$ ed applichiamo ad essa la oramai celeberrima disuguaglianza triangolare, con la quale otteniamo che:

$|a_{n}+b_{n}-(\lambda +\mu )|=|a_{n}-\lambda +b_{n}-\mu |\leq |a_{n}-\lambda |+|b_{n}-\mu |$.

Attenzione, questo è un passaggio fondamentale per avere chiara la dimostrazione: abbiamo visto che $\forall n>N_{1},|a_{n}-\lambda |<{\frac {\varepsilon }{2}}$, così come $\forall n>N_{2},|b_{n}-\mu |<{\frac {\varepsilon }{2}}$ quindi se $n>N=\max {(N_{1},N_{2})}\,\!$ otteniamo che:

$|a_{n}+b_{n}-(\lambda +\mu )|\leq |a_{n}-\lambda |+|b_{n}-\mu |<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$

Dall'arbitrarietà di $\varepsilon$ abbiamo la tesi.

$\Box$

Teorema sul limite del prodotto

Siano $(a_{n})_{n},\ (b_{n})_{n}$ successioni reali convergenti a $\lambda$ e $\mu$ rispettivamente. Allora:

• $\lim _{n\to +\infty }a_{n}b_{n}=\lim _{n\to +\infty }a_{n}\ \ \lim _{n\to +\infty }b_{n}=\lambda \mu$
  
  

Dimostrazione

Per ipotesi abbiamo che la successione $a_{n}$ converge a $\lambda$ e di conseguenza è limitata, a ciò si perviene avendo a mente che se una successione è convergente allora essa è limitata, cioè esiste un valore $M\in \mathbb {R^{+}}$ tale che $|a_{n}|\leq M,~\forall n\in \mathbb {N}$.Prendiamo in esame la seguente quantità:

$|a_{n}b_{n}-\lambda \mu |\,\!$

aggiungiamo e sottraiamo $a_{n}\mu$ ottenendo:

$|a_{n}b_{n}-\lambda \mu |=|a_{n}b_{n}+a_{n}\mu -a_{n}\mu -\lambda \mu |=|a_{n}(b_{n}-\mu )+\mu (a_{n}-\lambda )|\,\!$

Utilizziamo la disuguaglianza triangolare:

$|a_{n}(b_{n}-\mu )+\mu (a_{n}-\lambda )|\leq |a_{n}(b_{n}-\mu )|+|\mu (a_{n}-\lambda )|=|a_{n}||b_{n}-\mu |+|\mu ||a_{n}-\lambda |$

Abbiamo visto che $|a_{n}|\leq M$ quindi

$|a_{n}||b_{n}-\mu |+|\mu ||a_{n}-\lambda |\leq M|b_{n}-\mu |+(|\mu |+1)|a_{n}-\lambda |$

Attenzione:Nell'ultimo passaggio abbiamo aggiunto un 1 per evitare problemi in seguito, infatti se la successione $b_{n}$ convergesse a 0, il valore ${\frac {\varepsilon }{2(|\mu |)}}$ non avrebbe senso. Con questo trucchetto abbiamo evitato il problema.

Poiché $a_{n}$ e $b_{n}$ sono successioni convergenti allora

$\forall \varepsilon >0~$ possiamo trovare $N_{1},N_{2}\in \mathbb {N}$ tali che

$|b_{n}-\mu |<{\frac {\varepsilon }{2M}}\ \ \forall n>N_{1}$

e

$|a_{n}-\lambda |<{\frac {\varepsilon }{2(|\mu |+1)}}\ \ \forall n>N_{2}$

ma allora definendo $N:={\text{max}}\left(N_{1},N_{2}\right)$ si ha che:

$\forall n>N\ \ |a_{n}b_{n}-\lambda \mu |\leq M|b_{n}-\mu |+(|\mu |+1)|a_{n}-\lambda |<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon ~$

$\Box$

Teorema del limite del reciproco di una successione

Sia $(a_{n})_{n}$ una successione reale tale che $a_{n}\neq 0\ \ \forall n\in \mathbb {N}$. Se $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\ell \neq 0$ allora:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{a_{n}}}={\frac {1}{\ell }}$

Dimostrazione

Per ipotesi abbiamo che $(a_{n})_{n}$ è una successione convergente a $\ell \in \mathbb {R}$ pertanto, fissato $\varepsilon >0$, esiste $N\in \mathbb {N}$ tale che per ogni $n>N$ si ha che $|a_{n}-\ell |<\varepsilon$.

Se $0<\varepsilon <{\frac {|\ell |}{2}}$, per $n>N$ si ha che

$|\ell |=|-a_{n}+\ell +a_{n}|\leq |a_{n}-\ell |+|a_{n}|<\varepsilon +|a_{n}|<{\frac {|\ell |}{2}}+|a_{n}|$

pertanto:

$(1)\qquad |a_{n}|>{\frac {|\ell |}{2}}$ per ogni $n>N$

e quindi

${\frac {1}{|a_{n}|}}<{\frac {2}{|\ell |}}\quad \forall n>N$.

Consideriamo ora la quantità

$\left|{\frac {1}{a_{n}}}-{\frac {1}{\ell }}\right|={\frac {|\ell -a_{n}|}{|\ell ||a_{n}|}}<{\frac {2\varepsilon }{|\ell |^{2}}}\ \ \forall n>N$

dove per ottenere l'ultima disuguglianza, abbiamo utilizzato la definizione di limite per la successione $(a_{n})_{n}$ e (1)

$\Box$

Algebra delle successioni divergenti

Teorema della somma per successioni divergenti

Siano $(a_{n})_{n},\ (b_{n})_{n}$ successioni reali

• se $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=\lim _{n\to +\infty }b_{n}=+\infty$ allora:

$\lim _{n\to +\infty }a_{n}+b_{n}=+\infty$.

• Similmente se $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=\lim _{n\to +\infty }b_{n}=-\infty$ allora:

$\lim _{n\to +\infty }a_{n}+b_{n}=-\infty$

Dimostrazione

Procederemo alla dimostrazione del primo caso, il secondo è del tutto analogo, sarà sufficiente modificare cum grano salis.

Per ipotesi abbiamo che le due successioni sono divergenti, sfrutteremo quindi la definzione di queste ultime:

$(a_{n})_{n}$ divergente positivamente implica che $\forall M>0\ \ \exists n_{1}\in \mathbb {N} :a_{n}>{\frac {M}{2}}\quad \forall n>n_{1}$

$(b_{n})_{n}$ divergente positivamente implica che $\forall M>0\ \ \exists n_{2}\in \mathbb {N} :b_{n}>{\frac {M}{2}}\quad \forall n>n_{1}$

Sia ora $N=\max(n_{1},n_{2})$, per ogni $n>N$ si ha che:

$a_{n}+b_{n}>{\frac {M}{2}}+{\frac {M}{2}}=M$ ma questo significa che la successione somma $(a_{n}+b_{n})_{n}$ è positivamente divergente, ciò conclude la dimostrazione.

$\Box$

Osservazione: Sottolineamo il fatto che se una successione diverge positivamente mentre l'altra diverge negativamente nulla si può dire sul limite della somma, in questo caso infatti rientriamo nella casistica delle forme indeterminate, la cui trattazione verrà ripresa in seguito.

Teorema sul limite del prodotto di successioni

Siano $(a_{n})_{n},(b_{n})_{n}$ due successioni reali, tali che:

• $\lim _{n\to \infty }a_{n}=+\infty$
• $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\mu \in {\overline {\mathbb {R} }}\setminus \{0\}$

Se:

• $\mu >0$ allora $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=+\infty$
• $\mu <0$ allora $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=-\infty$
• $\mu =0$ nulla si può dire sul $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}$, essa è una forma indeterminata.

(ii) $a_{n}\to +\infty (-\infty ),\ b_{n}\to +\infty (-\infty )\Longrightarrow a_{n}b_{n}\to +\infty (-\infty )$
(iii) $a_{n}\to +\infty ,\ b_{n}\to -\infty \Longrightarrow a_{n}b_{n}\to -\infty$
(iv) $a_{n}\to +\infty (-\infty ),\ b_{n}\to \mu \in \mathbb {R} \Longrightarrow a_{n}+b_{n}\to +\infty (-\infty )$
(v) $a_{n}\to +\infty (-\infty ),\ b_{n}\to \mu \in \mathbb {R} \Longrightarrow a_{n}b_{n}\to {\begin{cases}+\infty ,\ \ \mu >0\\-\infty ,\ \ \mu <0\end{cases}}$
(vi)$a_{n}\to +\infty (-\infty ),a_{n}\neq 0\forall n\in \mathbb {N} \Longrightarrow {\frac {1}{a_{n}}}\to 0$
(vii)$a_{n}\to 0,a_{n}>0(<0)\forall n\in \mathbb {N} \Longrightarrow {\frac {1}{a_{n}}}\to +\infty (-\infty )$

(viii)$a_{n}\to \pm \infty ,\Longrightarrow |a_{n}|\to +\infty$.

Dimostrazione

Nota:
fare le dimostrazioni