Teoria dei gruppi

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lezione
Teoria dei gruppi
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Matematica discreta


Definizione: Gruppo
Una struttura è un gruppo se:
  1. l'operazione è associativa;
  2. l'elemento neutro ;
  3. ogni elemento è simmetrizzabile, .



Definizione: Sottogruppo
Dato un gruppo , un sottoinsieme è un sottogruppo quando:



Definizione: Permutazione
Una permutazione è una biiezione da un insieme in se stesso.


Su un insieme con , ci sono possibili permutazioni:


Teorema: '
L'insieme delle permutazioni su , con , è un sottogruppo di ordine , , dove
  1. la composizione di permutazioni è ancora una permutazione;
  2. l'operazione è associativa;
  3. il neutro è la funzione identità;
  4. ogni permutazione è invertibile.


Vedere l'esempio sul gruppo delle permutazioni su tre elementi

Laterali[modifica]


Definizione: Laterale sinistro (destro)
Dato un gruppo e il suo sottogruppo, si dice laterale sinistro individuato da l'insieme

Analogamente, si dice laterale destro individuato da l'insieme


Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni .


Teorema: '
Dato , sia l'insieme dei laterali sinistri di in . Allora, è una partizione di . Analogamente, l'insieme dei laterali destri di in è una partizione per .



Teorema: '
I laterali sinistri hanno (tra loro) lo stesso numero di elementi e, dato che anche è un laterale,

Analogamente per i laterali destri.


Dimostrazione, prima parte: '
  1. , non è un insieme vuoto, visto che ;
  2. l'insieme dei laterali sinistri (destri) è una partizione di , quindi è tutto ;
  3. l'intersezione tra i laterali è nulla, essendo una partizione. Infatti, siano e sia

Allora, esistono tali che

A questo punto, si ha

da cui si ottiene

Analogamente per il contrario.



Dimostrazione, seconda parte: '
Vogliamo dimostrare che laterali sinistri di , . Si deve quindi dimostrare che esiste la biiezione
il che è banale.



Definizione: '
Sia una corrispondenza da in che restituisce un qualunque sottoinsieme di . Questa corrispondeza:
  1. è ovunque definita,
  2. è funzionale,
  3. è suriettiva,
  4. è iniettiva,


Dimostrazione: '
Se per assurdo

allora si ha:

il che è assurdo.



Definizione: Immagine di f
Si dice immagine di l'insieme
Immagine (insieme tratteggiato) all'interno del codominio


  • una funzione è suriettiva sse , cioè tutto l'immagine è tutto il codominio.
  • è una funzione, perché è univocamente determinato .
  • è iniettiva, infatti


Teorema: Teorema di Lagrange
Dato un gruppo finito, l'ordine di un suo sottogruppo divide l'ordine di .


Dimostrazione: '
Sia e sia . Se indico con il numero dei laterali sinistri, ho dimostrato che ogni laterale sinistro ha elementi e che i laterali sinistri costituiscono una partizione di elementi, quindi . è anche il numero di laterali destri di in e di definisce l'indice di in .



Definizione: Sottogruppo normale
Un sottogruppo di un gruppo si dice normale se


Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni .


Teorema: '
L'operazione del gruppo di partenza può essere indotta nel sottogruppo quozioente solo se è ininfluente il valore del rappresentante.


Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni .


Teorema: '
L'operazione del gruppo di partenza si trasmette al quoziente sse è un sottogruppo normale.


Dimostrazione: '
Sia un gruppo, sia un suo sottogruppo normale e sia l'insieme dei laterali sinistri (vale anche per i destri). Si ha

All'interno del quoziente si ha

Siccome è normale, allora è verificate l'equazione



Omomorfismi tra gruppi[modifica]