Teoria dei gruppi

Definizione: Gruppo

Una struttura $(G,\cdot )$ è un gruppo se:

1. l'operazione $\cdot$ è associativa;
2. $\exists$ l'elemento neutro $1$;
3. ogni elemento è simmetrizzabile, $x\cdot x^{-1}=1$.

Definizione: Sottogruppo

Dato un gruppo $G$, un sottoinsieme $H\subseteq G$ è un sottogruppo quando:

1. $\forall h_{1},h_{2}\in H,\ h_{1}\cdot h_{2}\in H$
2. $\exists 1\in H$
3. $\forall h\in H,\ \exists h'\in H|h\cdot h'=1$

Definizione: Permutazione

Una permutazione è una biiezione da un insieme in se stesso.

$f=\left({\begin{matrix}1&2&\cdots &n\\f(1)&f(2)&\cdots &f(n)\end{matrix}}\right)$

Su un insieme $A$ con $|A|=n$, ci sono $n!$ possibili permutazioni:

$n(n-1)(n-2)\cdots 1=n!$

Teorema:

L'insieme delle permutazioni ${\mathit {P}}$ su $A$, con $|A|=n$, è un sottogruppo di ordine $n!$, $(P,\cdot )$, dove

1. la composizione di permutazioni è ancora una permutazione;
2. l'operazione è associativa;
3. il neutro è la funzione identità;
4. ogni permutazione è invertibile.

Vedere l'esempio sul gruppo delle permutazioni su tre elementi

Laterali

Definizione: Laterale sinistro (destro)

Dato $(G,\cdot )$ un gruppo e $H\subseteq G$ il suo sottogruppo, si dice laterale sinistro individuato da $g\in G$ l'insieme

$gH=\{gh,\ \forall h\in H\}$

Analogamente, si dice laterale destro individuato da $g\in G$ l'insieme

$Hg=\{hg,\forall h\in H\}$

Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni $S_{3}$.

Teorema:

Dato $H\subseteq G$, sia ${\mathcal {S}}$ l'insieme dei laterali sinistri di $H$ in $G$. Allora, ${\mathcal {S}}$ è una partizione di $G$. Analogamente, l'insieme dei laterali destri ${\mathcal {D}}$ di $H$ in $G$ è una partizione per $G$.

Teorema:

I laterali sinistri hanno (tra loro) lo stesso numero di elementi e, dato che anche $H$ è un laterale,

$|H|=|gH|\ \forall g\in G$

Analogamente per i laterali destri.

Dimostrazione, prima parte:

1. $\forall g\in G$, $gH$ non è un insieme vuoto, visto che $1\in G\Rightarrow 1\in H$;
2. l'insieme dei laterali sinistri (destri) è una partizione di $G$, quindi è tutto $G$;
3. l'intersezione tra i laterali è nulla, essendo una partizione. Infatti, siano $g,g_{1},g_{2}\in G$ e sia

$g\in g_{1}H\cap g_{2}H$

Allora, esistono $h_{1},h_{2}\in H$ tali che

$g_{1}h_{1}=g_{2}h_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}h_{2}{h_{1}}^{-1}$

A questo punto, $\forall h\in H$ si ha

$g_{1}h=g_{2}h_{2}{h_{1}}^{-1}h=g_{2}h_{2}{h_{1}}^{-1}H=g_{2}H$

da cui si ottiene

$g_{1}H\subseteq g_{2}H$

Analogamente per il contrario.

Dimostrazione, seconda parte:

Vogliamo dimostrare che $\forall gH$ laterali sinistri di $G$, $|H|=|gH|$. Si deve quindi dimostrare che esiste la biiezione

${\begin{matrix}f:H&\rightarrow &gH\\h&\rightarrow gh\end{matrix}}$

il che è banale.

Definizione:

Sia $C:A\rightarrow B$ una corrispondenza da $A$ in $B$ che restituisce un qualunque sottoinsieme di $A\times B$. Questa corrispondenza:

1. è ovunque definita, $\forall a\in A\ \exists b\in B|(a,b)\in C$
2. è funzionale, $\forall a\in A\ \exists {\text{ al piu un }}b\in B|(a,b)\in C$
3. è suriettiva, $\forall (a,b)\in C\ \exists a\in A,b\in B|f(a,b)=(a,b)$
4. è iniettiva, $\forall (a,b)\in C\ \exists {\text{ al piu un }}a\in A,b\in B|f(a,b)=(a,b)$

Dimostrazione:

Se per assurdo

$\exists x_{1}\neq x_{2}\in A|f(x_{1},b)=f(x_{2},b)=(a,b)$

allora si ha:

$\left.{\begin{matrix}f(x_{1},b)=(x_{1},b)\\f(x_{2},b)=(x_{2},b)\end{matrix}}\right\}\Rightarrow (x_{1},b)=(x_{2},b)\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$

il che è assurdo.

Definizione: Immagine di f

Si dice immagine di $f$ l'insieme

$Im(f)=\left\{b\in B|\exists a\in A|f(a)=b\right\}$

Immagine (insieme tratteggiato) all'interno del codominio

• una funzione $f$ è suriettiva sse $Im(f)=B$, cioè tutto l'immagine è tutto il codominio.
• $f$ è una funzione, perché $\forall h\in H$ è univocamente determinato $g\in G|f(h)=g$.
• $f$ è iniettiva, infatti $f(h_{1})=f(h_{2})\Rightarrow gh_{1}=gh_{2}\Leftrightarrow h_{1}=h_{2}$

Teorema: Teorema di Lagrange

Dato un gruppo $G$ finito, l'ordine di un suo sottogruppo divide l'ordine di $G$.

Dimostrazione:

Sia $|G|=n$ e sia $|H|=k$. Se indico con $i$ il numero dei laterali sinistri, ho dimostrato che ogni laterale sinistro ha $k$ elementi e che i laterali sinistri costituiscono una partizione di $i$ elementi, quindi $n=ki$. $i$ è anche il numero di laterali destri di $H$ in $G$ e di definisce l'indice di $H$ in $G$.

Definizione: Sottogruppo normale

Un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ si dice normale $(H\triangleleft G)$ se

$\forall g\in G,\ gH=Hg$

Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni $S_{3}$.

Teorema:

L'operazione del gruppo di partenza $(G,\cdot )$ può essere indotta nel sottogruppo quozioente solo se è ininfluente il valore del rappresentante.

Vedere ancora l'esercizio sulle permutazioni $S_{3}$.

Teorema:

L'operazione del gruppo di partenza $(G,\cdot )$ si trasmette al quoziente $G/N$ sse $N$ è un sottogruppo normale.

Dimostrazione:

Sia $(G,\cdot )$ un gruppo, sia $N\triangleleft G$ un suo sottogruppo normale e sia ${\mathcal {S}}$ l'insieme dei laterali sinistri (vale anche per i destri). Si ha

${\frac {G}{N}}=\left\{g_{1}N,g_{2}N,\cdots \right\}=\{Ng_{1},Ng_{2},\cdots \}$

All'interno del quoziente si ha

• $g_{1}N={\bar {g_{1}}}N$
• $g_{2}N={\bar {g_{2}}}N$

Siccome $N$ è normale, allora è verificate l'equazione

$g_{1}Ng_{2}N={\bar {g_{1}}}N{\bar {g_{2}}}N$

Omomorfismi tra gruppi