Gruppo delle permutazioni su tre elementi

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lezione
Gruppo delle permutazioni su tre elementi
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Matematica discreta

Costruisco , il gruppo delle permutazioni su tre elementi:

[i] [a] [b] [c] [x] [y]
[i] i a b c x y
[a] a i y x c b
[b] b x i y a c
[c] c y x i b a
[x] x b c a y i
[y] y c a b i x

Come si può vedere, non vale la proprietà commutativa. Per esempio,

Definisco inoltre i sottoinsiemi

Questi sottoinsiemi sono strutture chiuse, sono dei sottogruppi di . Si ha


Laterali[modifica]

Fisso . L'insieme dei laterali sinistri di è

dove:

Quindi, si può dividere in 3 sottoinsiemi. Questi sono i laterali sinistri di , , e sono una partizione di . Analogamente, si possono costruire i laterali destri:


dove:

Anche l'insieme dei laterali destri , come l'insieme dei laterali destri, è una partizione di .

Sottogruppo normale[modifica]

Considero il sottoinsieme

Si ha:

Si ottiene che il sottogruppo di è normale , quindi le partizioni dei laterali destro e sinistro coincidono.

Operazione indotta[modifica]

Prendendo in considerazione gli insiemi e , si ha

Cambiando i rappresentanti ho trovato due soluzioni diverse, quindi l'operazione di partenza non può essere indotta.