Successioni di Cauchy e limiti superiori-inferiori

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appunti
Successioni di Cauchy e limiti superiori-inferiori
Tipo di risorsa Tipo: appunti
Materia di appartenenza Materia: Analisi matematica
Avanzamento Avanzamento: appunti completi al 50%.

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Successioni di Cauchy[modifica]

Sia una successione reale. si dice che è una successione di Cauchy se

In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.

Proposizione[modifica]

Una successione è convergente se e solo se è una successione di Cauchy.

Dimostrazione[modifica]

Sia convergente a . Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha (anche per ripetere la definizione di limite fino a che non ce la ricordiamo più del nostro nome... :D )

(*)

Ora un trucchetto: se è vera la (*), allora varrà anche se al posto di prendo , tanto è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora

(**)

Dunque

ed infine

e questo prova la proposizione.


Teorema (completezza sequenziale di )[modifica]

Se è una successione reale di Cauchy, allora è convergente.

Dimostrazione[modifica]

Dobbiamo provare che esiste . Consideriamo una successione di Cauchy . Abbiamo che .

Fissiamo ora un numero e otteniamo . Allora

e dunque, per ogni si ha che

dunque è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di convergente a . Dunque . Poniamo poi e se (e dunque perché ) abbiamo

Dunque converge a .


Limite superiore e limite inferiore[modifica]

Teorema (esistenza del limite di una successione)[modifica]

Dimostrazione[modifica]