Analisi matematica > Successioni di Cauchy e limiti superiori-inferiori
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Sia
una successione reale.
si dice che è una successione di Cauchy se

In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.
Una successione è convergente se e solo se è una successione di Cauchy.
Sia
convergente a
. Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha (anche per ripetere la definizione di limite fino a che non ce la ricordiamo più del nostro nome... :D )
(*)
Ora un trucchetto: se è vera la (*), allora varrà anche se al posto di
prendo
, tanto
è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora
(**)
Dunque

ed infine

e questo prova la proposizione.

Teorema (completezza sequenziale di
)
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Se
è una successione reale di Cauchy, allora è convergente.
Dobbiamo provare che esiste
.
Consideriamo una successione di Cauchy
. Abbiamo che
.
Fissiamo ora un numero
e otteniamo
. Allora

e dunque, per ogni
si ha che

dunque
è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di
convergente a
. Dunque
.
Poniamo poi
e se
(e dunque
perché
) abbiamo

Dunque
converge a
.

Limite superiore e limite inferiore
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Teorema (esistenza del limite di una successione)
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