Successioni di Cauchy e limiti superiori-inferiori

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Successioni di Cauchy

Sia $(a_n)$ una successione reale. $(a_n)$ si dice che è una successione di Cauchy se

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }p\in \mathbb{N}:|a_n-a_m|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{N},n,m>p$

In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.

Proposizione

Una successione è convergente se e solo se è una successione di Cauchy.

Dimostrazione

Sia $(a_n)$ convergente a $\lambda$. Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha (anche per ripetere la definizione di limite fino a che non ce la ricordiamo più del nostro nome... :D )

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }p\in \mathbb{N}:|a_n-\lambda |<\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>p$ (*)

Ora un trucchetto: se è vera la (*), allora varrà anche se al posto di $\epsilon$ prendo $\frac{\epsilon }{2}$, tanto $\epsilon$ è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }p\in \mathbb{N}:|a_n-\lambda |<\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>p$ (**)

Dunque

$|a_n-a_m|\le |a_n-\lambda |+|\lambda -a_m|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$

ed infine

$|a_n-a_m|<\epsilon$

e questo prova la proposizione.

$◻$

Teorema (completezza sequenziale di $ℝ$)

Se $(a_n)$ è una successione reale di Cauchy, allora è convergente.

Dimostrazione

Dobbiamo provare che esiste $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\lambda \in ℝ$. Consideriamo una successione di Cauchy $(a_n)$. Abbiamo che $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }p\in \mathbb{N}:|a_n-a_m|<\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>p$.

Fissiamo ora un numero $k\in ℝ$ e otteniamo $|a_n-a_m|<k,\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{N},n,m>p$. Allora

$|a_n|\le |a_n-a_{p+1}|+|a_{p+1}|<k+|a_{p+1}|$

e dunque, per ogni $n$ si ha che

$|a_n|\le max\{|a_1|,\dots ,|a_p|,k+|a_{p+1}|\}$

dunque $(a_n)$ è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di $(a_n)$ $(a_{k_n})$ convergente a $\lambda \in ℝ$. Dunque $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{p}_1:|a_{k_n}-\lambda |<\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>p_1$. Poniamo poi $P=max\{p,p_1\}$ e se $n>P$ (e dunque $k_n>P$ perché $k_n\ge P$) abbiamo

$|a_n-\lambda |\le |a_n-a_{k_n}|+|a_{k_n}-\lambda |<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$

Dunque $(a_n)$ converge a $\lambda$.

$◻$