Successioni di Cauchy e limiti superiori-inferiori

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Successioni di Cauchy

Sia $(a_{n})$ una successione reale. $(a_{n})$ si dice che è una successione di Cauchy se

$\forall \varepsilon >0\ \exists p\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon ,\ \forall n,m\in \mathbb {N} ,\ n,m>p$

In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.

Proposizione

Una successione è convergente se e solo se è una successione di Cauchy.

Dimostrazione

Sia $(a_{n})$ convergente a $\lambda$. Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha (anche per ripetere la definizione di limite fino a che non ce la ricordiamo più del nostro nome... :D )

$\forall \varepsilon >0\ \exists p\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-\lambda |<\varepsilon ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>p$ (*)

Ora un trucchetto: se è vera la (*), allora varrà anche se al posto di $\varepsilon$ prendo ${\frac {\varepsilon }{2}}$, tanto $\varepsilon$ è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora

$\forall \varepsilon >0\ \exists p\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-\lambda |<{\frac {\varepsilon }{2}},\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>p$ (**)

Dunque

$|a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-\lambda |+|\lambda -a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$

ed infine

$|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon$

e questo prova la proposizione.

$\Box$

Teorema (completezza sequenziale di $\mathbb {R}$)

Se $(a_{n})$ è una successione reale di Cauchy, allora è convergente.

Dimostrazione

Dobbiamo provare che esiste $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lambda \in \mathbb {R}$. Consideriamo una successione di Cauchy $(a_{n})$. Abbiamo che $\forall \varepsilon >0\exists p\in \mathbb {N} \ :\ |a_{n}-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}},\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>p$.

Fissiamo ora un numero $k\in \mathbb {R}$ e otteniamo $|a_{n}-a_{m}|<k,\ \forall n,m\in \mathbb {N} ,\ n,m>p$. Allora

$|a_{n}|\leq |a_{n}-a_{p+1}|+|a_{p+1}|<k+|a_{p+1}|$

e dunque, per ogni $n$ si ha che

$|a_{n}|\leq \max\{|a_{1}|,\dots ,|a_{p}|,k+|a_{p+1}|\}$

dunque $(a_{n})$ è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di $(a_{n})$ $(a_{k_{n}})$ convergente a $\lambda \in \mathbb {R}$. Dunque $\forall \varepsilon >0\exists p_{1}\ :\ |a_{k_{n}}-\lambda |<{\frac {\varepsilon }{2}},\ \forall n\in \mathbb {N} ,n>p_{1}$. Poniamo poi $P=\max\{p,p_{1}\}$ e se $n>P$ (e dunque $k_{n}>P$ perché $k_{n}\geq P$) abbiamo

$|a_{n}-\lambda |\leq |a_{n}-a_{k_{n}}|+|a_{k_{n}}-\lambda |<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$

Dunque $(a_{n})$ converge a $\lambda$.

$\Box$