Spazi metrici

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lezione
Spazi metrici
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare




Un sistema di coordinate in uno spazio euclideo tale che sia una base ortonormale si chiama sistema di riferimento cartesiano ed è di solito il sistema di riferimento preferito negli spazi euclidei in quanto semplifica notevolmente i calcoli.

Funzione metrica[modifica]

Si dice metrica in un insieme una funzione

che gode delle seguenti proprietà:

tutto questo per ogni .

Utilizzando l'operazione di prodotto scalare, è possibile definire in uno spazio euclideo nozioni metriche quali distanze, angoli, aree.

Distanza[modifica]

La metrica si dice distanza di da , definita come

La distanza in uno spazio numerico di due punti e è

e se , dove è uno spazio vettoriale euclideo si ha

Infatti, per le proprietà della norma,

e

Spazio metrico[modifica]

Definiamo a questo punto lo spazio metrico , cioè un insieme non vuoto su cui è definita una metrica che gode delle proprietà sopra annunciate. In altri termini, uno spazio metrico è un insieme su cui è definita una distanza.

Le proprietà della distanza indicate precedentemente ci dicono che ogni spazio euclideo è uno spazio metrico. Infatti è sufficiente considerare le proprietà del prodotto scalare per vedere che sono le stesse della distanza, tenendo però bene a mente (anche se non lo dimostreremo ora e prenderemo per buona questa affermazione) che in generale non vale il viceversa, cioè non tutti gli spazi metrici sono anche spazi euclidei.

Isometrie, omomorfismi di spazi euclidei e operatori unitari[modifica]

Siano sua spazi metrici. Una applicazione

si dice isometria.

Un omomorfismo da uno spazio ad un altro spazio euclideo è un'applicazione lineare

tale che

Se l'applicazione appena definita è un endomorfismo, cioè è , si dice che è un operatore unitario su .