Spazi metrici

Un sistema di coordinate $O\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\dots \mathbf {e} _{n}$ in uno spazio euclideo tale che $\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}$ sia una base ortonormale si chiama sistema di riferimento cartesiano ed è di solito il sistema di riferimento preferito negli spazi euclidei in quanto semplifica notevolmente i calcoli.

Funzione metrica

Si dice metrica in un insieme $X\neq \emptyset$ una funzione

$d:X^{2}\to \mathbb {R} ,\ \ (x,y)\mapsto d(x,y)$

che gode delle seguenti proprietà:

1. $d(x,y)\geq 0{\text{ e }}d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
2. $d(x,y)=d(y,x)\,\!$
3. $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$

tutto questo per ogni $x,y,z\in X$.

Utilizzando l'operazione di prodotto scalare, è possibile definire in uno spazio euclideo ${\mathcal {E}}$ nozioni metriche quali distanze, angoli, aree.

Distanza

La metrica $d(x,y)\in \mathbb {R} ^{+}$ si dice distanza di $x$ da $y$, definita come

$d(x,y)=\rVert {\vec {xy}}\rVert$

La distanza in uno spazio numerico ${\mathcal {E}}^{n}$ di due punti $X=(x_{1},\dots ,x_{n})$ e $Y=(y_{1},\dots ,y_{n})$ è

${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-x_{i})^{2}}}$

e se ${\mathcal {E}}=V$, dove $V$ è uno spazio vettoriale euclideo si ha

$d(\mathbf {v,w} )=\rVert \mathbf {w-v} \rVert$

Infatti, per le proprietà della norma,

$\rVert \mathbf {v-w} \rVert \geq 0$ e $\rVert \mathbf {v-w} \rVert =0\Leftrightarrow \mathbf {v=w}$

$\rVert \mathbf {v-w} \rVert =\rVert \mathbf {-(w-v)} \rVert =|-1|\rVert \mathbf {w-v} \rVert ,\ \forall \mathbf {v,w} \in V$

$\rVert \mathbf {u-w} \rVert =\rVert \mathbf {(u-v)+(v-w)} \rVert \leq \rVert \mathbf {u-v} \rVert +\rVert \mathbf {v-w} \rVert ,\ \forall \mathbf {v,w} \in V$

Spazio metrico

Definiamo a questo punto lo spazio metrico $(X,d)$, cioè un insieme non vuoto su cui è definita una metrica che gode delle proprietà sopra annunciate. In altri termini, uno spazio metrico è un insieme su cui è definita una distanza.

Le proprietà della distanza indicate precedentemente ci dicono che ogni spazio euclideo è uno spazio metrico. Infatti è sufficiente considerare le proprietà del prodotto scalare per vedere che sono le stesse della distanza, tenendo però bene a mente (anche se non lo dimostreremo ora e prenderemo per buona questa affermazione) che in generale non vale il viceversa, cioè non tutti gli spazi metrici sono anche spazi euclidei.

Isometrie, omomorfismi di spazi euclidei e operatori unitari

Siano $X,X'$ sua spazi metrici. Una applicazione

$j:X\to X'\ |\ d(x,y)=d'(j(x),j(y)),\ \ \forall x,y\in X$

si dice isometria.

Un omomorfismo da uno spazio $(V,<,>)$ ad un altro spazio euclideo $(V',<,>')$ è un'applicazione lineare

$f:V\to V'$ tale che $<\mathbf {v,w} >=<f(\mathbf {v} ),f(\mathbf {w} )>'$

Se l'applicazione $f$ appena definita è un endomorfismo, cioè è $f:(V,<,>)\to (V,<,>)$, si dice che è un operatore unitario su $(V,<,>)$.