Un sistema di coordinate
in uno spazio euclideo tale che
sia una base ortonormale si chiama sistema di riferimento cartesiano ed è di solito il sistema di riferimento preferito negli spazi euclidei in quanto semplifica notevolmente i calcoli.
Funzione metrica[modifica]
Si dice metrica in un insieme
una funzione

che gode delle seguenti proprietà:



tutto questo per ogni
.
Utilizzando l'operazione di prodotto scalare, è possibile definire in uno spazio euclideo
nozioni metriche quali distanze, angoli, aree.
La metrica
si dice distanza di
da
, definita come

La distanza in uno spazio numerico
di due punti
e
è

e se
, dove
è uno spazio vettoriale euclideo si ha

Infatti, per le proprietà della norma,
e 


Definiamo a questo punto lo spazio metrico
, cioè un insieme non vuoto su cui è definita una metrica che gode delle proprietà sopra annunciate. In altri termini, uno spazio metrico è un insieme su cui è definita una distanza.
Le proprietà della distanza indicate precedentemente ci dicono che ogni spazio euclideo è uno spazio metrico. Infatti è sufficiente considerare le proprietà del prodotto scalare per vedere che sono le stesse della distanza, tenendo però bene a mente (anche se non lo dimostreremo ora e prenderemo per buona questa affermazione) che in generale non vale il viceversa, cioè non tutti gli spazi metrici sono anche spazi euclidei.
Isometrie, omomorfismi di spazi euclidei e operatori unitari[modifica]
Siano
sua spazi metrici. Una applicazione
si dice isometria.
Un omomorfismo da uno spazio
ad un altro spazio euclideo
è un'applicazione lineare

tale che

Se l'applicazione
appena definita è un endomorfismo, cioè è
, si dice che è un operatore unitario su
.