Spazi di omomorfismi[modifica]
Siano
e
due spazi vettoriali e
un'applicazione lineare. Definiamo l'insieme degli omomorfismi di
da
in

In questo insieme sono definite la somma e la moltiplicazione per uno scalare.
Per esercizio, dimostrate che
è effettivamente uno spazio vettoriale.
Equazioni di
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Sia
un'applicazione lineare e siano
basi ordinate rispettivamente di
e
.
Sappiamo che ogni elemento di
è combinazione lineare dei
della base, cioè è il prodotto scalare di due vettori
.
Ora, un omomorfismo porta
in
dunque ogni
appartiene a
e si potrà scrivere
. Per quanto osservato prima, non si tratta altro che di un prodotto riga per colonna del un vettore riga
e di un opportuno vettore colonna
. Se raggruppiamo tutti gli
vettori colonna (tanti quanti sono gli
) in una matrice
, otteniamo dunque la seguente matrice:
.
Possiamo allora scrivere ogni
come
oppure
, con
.
La matrice
ha una notevole proprietà: contiene nella j-esima colonna le coordinate nella base
dell'immagine del j-esimo vettore di
. . Questa matrice la denotiamo con
.
Equazioni scalari[modifica]
Ricapitolando, abbiamo dunque che
,
e
. Allora:


Dunque le coordinate di un qualunque vettore
sono date da
.
L'equazione
è detta equazione scalare di
relativa a
e
.
Equazioni matriciali[modifica]
Poniamo ora
e
. Allora

è l'equazione matriciale di
relativa a
e
.
,
,
e infine
.
Consideriamo poi la base canonica di
.
Abbiamo allora
, cioè la matrice che ha come colonne le coordinate di
e
in base
. Per ottenere le coordinate di un generico vettore
usiamo l'equazione matriciale
(dove
rappresenta il vettore colonne delle coordinate in base
), cioè:
.
Ora, per esempio mettiamo di voler trovare le coordinate del vettore
nella base canonica. Troviamo dapprima le coordinate di
in base
:

. Dunque

Le coordinate di
in base
sono quindi
.
È a questo punto evidente l'estrema importanza della funzione
che associa un vettore
alle sue coordinata rispetto ad una base che scegliamo.