Spazi di omomorfismi

Spazi di omomorfismi

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali e $f:V\to W$ un'applicazione lineare. Definiamo l'insieme degli omomorfismi di $f$ da $V$ in $W$

$Hom(V,W):=\{f:V\to W,f\text{ lineare}\}$

In questo insieme sono definite la somma e la moltiplicazione per uno scalare. Per esercizio, dimostrate che $Hom(V,W)$ è effettivamente uno spazio vettoriale.

Equazioni di $f$

Sia $f:V\to V$ un'applicazione lineare e siano $ℬ=(v_1,\dots ,v_n),{ℬ}^{\prime }=(w_1,\dots ,w_m)$ basi ordinate rispettivamente di $V$ e $W$.

Sappiamo che ogni elemento di $W$ è combinazione lineare dei $w_i$ della base, cioè è il prodotto scalare di due vettori $(w_1,\dots ,w_m)\cdot \left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right)=a_1{w}_1+a_2{w}_2+\dots +a_m{v}_m$.

Ora, un omomorfismo porta $ℬ$ in $f(ℬ)=(f(v_1),\dots ,f(v_n))$ dunque ogni $f(v_j)$ appartiene a $W$ e si potrà scrivere $f(v_i)=\sum _{i=1}^m{a}_j{w}_i$. Per quanto osservato prima, non si tratta altro che di un prodotto riga per colonna del un vettore riga ${ℬ}^{\prime }$ e di un opportuno vettore colonna $A$. Se raggruppiamo tutti gli $m$ vettori colonna (tanti quanti sono gli $f(v_j)$) in una matrice $m\times n$, otteniamo dunque la seguente matrice:

$(a_{ij})=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& & & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$.

Possiamo allora scrivere ogni $f(v_j)\in W$ come $f(v_j)=\sum _{i=1}^m{w}_i{a}_{ij}$ oppure

$f(v_j)=\sum _{i=1}^m{a}_{ij}{w}_i$, con $,j=1,\dots ,n$.

La matrice $(a_{ij})\in M_{m\times n}(𝕂)$ ha una notevole proprietà: contiene nella j-esima colonna le coordinate nella base ${ℬ}^{\prime }$ dell'immagine del j-esimo vettore di $ℬ$. . Questa matrice la denotiamo con $M_{{ℬ}^{\prime }ℬ}(f)$.

Equazioni scalari

Ricapitolando, abbiamo dunque che $v\in V,v=\sum _{j=1}^n{x}_j{v}_j$, $w\in W,w=\sum _{i=1}^m{a}_i{w}_i$ e $f(v_j)=\sum _{i=1}^m{a}_{ij}{w}_i$. Allora:

$f(v)\in W\to f(v)=f\left(\sum _{j=1}^n{x}_j{v}_j\right)=\sum _{j=1}^n{x}_{j}f(v_j)=$$\sum _{j=1}^n{x}_j\left(\sum _{i=1}^m{a}_{ij}{w}_i\right)=\sum _{i=1}^m\left(\sum _{j=1}^n{x}_j{a}_{ij}\right)w_i$

Dunque le coordinate di un qualunque vettore $w\in W$ sono date da $\sum _{j=1}^n{x}_j{a}_{ij}$.

L'equazione $x{\text{'}}_i=\sum _{j=1}^n{x}_j{a}_{ij}$ è detta equazione scalare di $f$ relativa a $ℬ$ e ${ℬ}^{\prime }$.

Equazioni matriciali

Poniamo ora $X^{\prime }{=}^t(x{\text{'}}_1,\dots ,x{\text{'}}_n{)}_{{ℬ}^{\prime }}$ e $X{=}^t(x_1,\dots ,x_n{)}_{ℬ}$. Allora

$X^{\prime }=M_{{ℬ}^{\prime }ℬ}(f)\cdot X$

è l'equazione matriciale di $f$ relativa a $ℬ$ e ${ℬ}^{\prime }$.

Esempio

$f:{ℝ}^2\to {ℝ}^4$, $v_1=(3,1),v_2=(-1,2)$, $ℬ=(v_1,v_2)$ e infine $f=\{\begin{array}{c}{v}_1\mapsto 0\\ v_2\mapsto (1,2,3,4)\end{array}$. Consideriamo poi la base canonica di ${ℝ}^4$ $E_4=(e_1,e_2,e_3,e_4)$.

Abbiamo allora $M_{Eℬ}(f)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 2\\ 0& 3\\ 0& 4\end{array}\right)$, cioè la matrice che ha come colonne le coordinate di $f(v_1)$ e $f(v_2)$ in base $E$. Per ottenere le coordinate di un generico vettore $v\in {ℝ}^2$ usiamo l'equazione matriciale $X^{\prime }=M_{{ℬ}^{\prime }ℬ}(f)\cdot X$ (dove $X$ rappresenta il vettore colonne delle coordinate in base $ℬ$), cioè:

$X^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 2\\ 0& 3\\ 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$ .

Ora, per esempio mettiamo di voler trovare le coordinate del vettore $v=(7,0)\in {ℝ}^2$ nella base canonica. Troviamo dapprima le coordinate di $v$ in base $𝔹$:

$v=x_1{v}_1+x_2{v}_2=x_1(3,1)+x_2(-1,2)$

$\{\begin{array}{c}3x_1-x_2=7\\ x_1+2x_2=0\end{array}⟶\{\begin{array}{c}{x}_1=2\\ x_2=-1\end{array}$. Dunque

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 2\\ 0& 3\\ 0& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -3\\ -4\end{array}\right)$

Le coordinate di $v$ in base $E$ sono quindi $(-1,-2,-3,-4)$.

È a questo punto evidente l'estrema importanza della funzione $f$ che associa un vettore $v$ alle sue coordinata rispetto ad una base che scegliamo.