Spazi di omomorfismi

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lezione
Spazi di omomorfismi
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 75%.

Spazi di omomorfismi[modifica]

Siano e due spazi vettoriali e un'applicazione lineare. Definiamo l'insieme degli omomorfismi di da in

In questo insieme sono definite la somma e la moltiplicazione per uno scalare. Per esercizio, dimostrate che è effettivamente uno spazio vettoriale.

Equazioni di [modifica]

Sia un'applicazione lineare e siano basi ordinate rispettivamente di e .

Sappiamo che ogni elemento di è combinazione lineare dei della base, cioè è il prodotto scalare di due vettori .

Ora, un omomorfismo porta in dunque ogni appartiene a e si potrà scrivere . Per quanto osservato prima, non si tratta altro che di un prodotto riga per colonna del un vettore riga e di un opportuno vettore colonna . Se raggruppiamo tutti gli vettori colonna (tanti quanti sono gli ) in una matrice , otteniamo dunque la seguente matrice:

.

Possiamo allora scrivere ogni come oppure

, con .

La matrice ha una notevole proprietà: contiene nella j-esima colonna le coordinate nella base dell'immagine del j-esimo vettore di . . Questa matrice la denotiamo con .

Equazioni scalari[modifica]

Ricapitolando, abbiamo dunque che , e . Allora:

Dunque le coordinate di un qualunque vettore sono date da .

L'equazione è detta equazione scalare di relativa a e .

Equazioni matriciali[modifica]

Poniamo ora e . Allora

è l'equazione matriciale di relativa a e .

Esempio[modifica]

, , e infine . Consideriamo poi la base canonica di .

Abbiamo allora , cioè la matrice che ha come colonne le coordinate di e in base . Per ottenere le coordinate di un generico vettore usiamo l'equazione matriciale (dove rappresenta il vettore colonne delle coordinate in base ), cioè:

.

Ora, per esempio mettiamo di voler trovare le coordinate del vettore nella base canonica. Troviamo dapprima le coordinate di in base :

. Dunque

Le coordinate di in base sono quindi .

È a questo punto evidente l'estrema importanza della funzione che associa un vettore alle sue coordinata rispetto ad una base che scegliamo.