Rette nel piano

Da Wikiversità, l'apprendimento libero.
Jump to navigation Jump to search
lezione
Rette nel piano
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 75%.

Equazione di una retta[modifica]

L'equazione cartesiana di una retta è la ben nota , con . Vediamo come si ottiene questa equazione per costruzione con i vettori.

Consideriamo il seguente grafico

Equazione di una retta.png

Abbiamo che u = ai+bj (con a, b non nulli) e B-A è ortogonale a u. Quindi il prodotto scalare deve essere nullo, cioè

che è appunto l'equazione cartesiana che conosciamo bene, ponendo .

Parallelismo e coincidenza di due rette[modifica]

Siano due rette del piano e u, v i rispettivi vettori direttori.

Sappiamo che se r ed s sono ortogonali, anche u e v sono ortogonali tra loro. La stessa relazione che intercorre per l'ortognalità vale anche per il parallelismo delle rette. Quindi se due rette sono parallele, anche u e v sono paralleli, cioè , con .

Rette parallele.png

Dalla figura stessa è evidente come i vettori u e v ortogonali rispettivamente alle rette a e b siano proporzionali. Quello della figura è solo un esempio, u e v possono avere anche verso differente. La cosa che li accomuna è la direzione, e se allora anche le rette r ed s sono proporzionali, cioè

Diciamo che due rette r ed s sono coincidenti se

cioè se sono parallele e sono proporzionali anche i termini noti.

Retta passante per due punti[modifica]

Consideriamo due punti del piano. Riconducendoci al precedente caso dell'equazione di una retta passante per un punto e ortogonale ad un vettore , possiamo ricavare l'equazione della retta passante per i due punti. Facciamo così:

  • troviamo una retta parallela
  • ricaviamo un vettore ortogonale a u, che è
  • ora prendiamo uno dei due punti che conosciamo, ad esempio , e scriviamo l'equazione della retta passante per un punto e ortogonale ad un vettore v.

Quindi,

Ecco quindi ottenuta l'equazione di una retta passante per due punti.

Se otteniamo l'equazione della retta passante per due punti forse già nota dalla scuola superiore, cioè

Intersezione di due rette[modifica]

Siano due rette del piano e come al solito . Se esistono, i punti di intersezione sono dati dalle soluzioni del sistema omogeneo

alle quali sono associate le matrici

e

Per il Teorema di Rouché-Capelli, abbiamo che

  1. se il sistema non ha soluzioni, quindi le rette sono distinte. Questo lo si può dedurre anche dal fatto che se , cioè le rette sono parallele ma non è singolare, per cui c non è proporzionale a c' e quindi le rette sono parallele e non coincidenti, perciò non si intersecano mai e questo può avvenire solo in questa condizione;
  2. se , quindi r ed s sono proporzionali e pertanto sono coincidenti e i punti di intersezione sono infiniti;
  3. se le rette non sono parallele e per cui il sistema ha come unica soluzione il punto di intersezione fra le due rette.

Osservazioni sull'intersezione fra due rette[modifica]

Fascio di rette[modifica]

Siano due rette del piano incidenti in un punto . Tutte le combinazioni lineari di r ed s generano un fascio di rette passanti per rs, come nella figura seguente.

Fascio di rette.png

più esplicitamente,

rappresenta tutte le possibili rette passanti per il punto intersezione di r ed s.

Equazioni parametriche della retta[modifica]

Sia una retta passante per e parallela ad un vettore come nella figura seguente.

Retta formata da due vettori.png

È possibile descrivere completamente la retta r anche in forma parametrica, cioè mediante un sistema di questo tipo:

.

Infatti, notiamo per prima cosa che r è parallela ad u, quindi è parallela a tutti i vari , i multipli di u. Essa sarà perciò ortogonale anche a tutti i multipli del vettore , cioè i vari . Conoscendo un punto appartenente alla retta ed un vettore ad essa parallela, ci siamo ricondotti all'equazione di una retta passante per un punto e ortogonale ad un vettore. Per cui un qualsiasi punto appartiene ad r se e solo se è parallelo ad un qualsiasi multiplo del vettore u, cioè se . Cioè,

che è equivalente a dire

.

Per capire meglio questo concetto è utile osservare la seguente figura;

Equazione parametrica di una retta.png

Ogni vettore che finisce sulla retta è somma di un qualche e di e l'insieme di tutti questi vettori descrive completamente la retta.

Esempio[modifica]

Trovare l'equazione della retta passante per e parallela al vettore .

I punti hanno equazione

ricaviamo t

Quindi l'equazione è o equivalentemente .

Possiamo inoltre ora stabilire se un punto P appartiene alla retta sostituendo le sue coordinate nel sistema sopra. Per esempio, verifichiamo se il punto appartiene alla retta di equazione .

, il sistema non ha soluzioni quindi P non appartiene alla retta.

Equazione parametrica di una retta passante per due punti[modifica]

Analogamente a quanto fatto prima (cioè conoscendo un punto e un vettore parallelo ad r, possiamo ricavare l'equazione parametrica di una retta r passante per due punti . Notiamo però che un vettore parallelo ad r ce lo abbiamo già: esso è infatti . Allora se :

Intersezione di due rette in forma parametrica[modifica]

Siano

due rette in forma parametrica (parallele rispettivamente ai vettori ). Vogliamo ora vedere se r ed s si intersecano in qualche punto.

Dobbiamo risolvere il sistema in t ed s per vedere se esistono dei tali che le coordinate di un eventuale punto intersezione siano uguali.

Ora troviamo questo punto di intersezione , ma osserviamo prima una figura di esempio che ci aiuta a capire in quale situazione siamo:

Intersezione rette paramentriche.png

Il punto di intersezione tra le due rette P è ottenuto da , con t ed s opportuni numeri reali soluzioni del sistema sopra.

Esempio[modifica]

Sia r una retta passante per (0,0) e parallela al vettore (1,-1), s una retta passante per e parallela al vettore (1,+2). Trovarne (se esistono) le intersezioni.

Quindi le due rette si intersecano quando e e per trovare le coordinate del punto di intersezione P possiamo scegliere arbitrariamente di sommare con t (1,-1) oppure considerare l'altra retta e fare la stessa cosa per s che abbiamo trovato. È del tutto ininfluente scegliere uno piuttosto che l'altro perché essendo t ed s soluzioni del sistema, ci assicura che .

Scegliamo di considerare e e abbiamo che

.

Scegliendo di lavorare con ed s (l', m'), si giunge allo stesso risultato. Provare per credere!

Distanza di un punto da una retta[modifica]

Sia una retta, un vettore ortognale ad r, un punto appartenente a r e un punto del piano.

La formula per ottenere la distanza di Q da r è

Dimostriamo questa formula. Siamo in una situazione di questo tipo:

Distanza retta punto.png

Innanzitutto abbiamo che

e e la distanza che cerchiamo è .

Il triangolo è retto e la trigonometria ci dice che possiamo ricavare un cateto moltiplicando l'ipotenusa per il coseno dell'angolo compreso tra ipotenusa e cateto. Quindi

perché u è parallelo a , quindi l'angolo non cambia.

Il coseno lo possiamo ricavare dalla definizione di prodotto scalare

.

Applicando la formula di prima per la distanza, abbiamo: