Rette e Piani nello spazio

Rette e Piani nello spazio

Un piano nello spazio (quindi in 3 dimensioni) è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori indipendenti aventi entrambi l'origine in un punto P.

Un esempio è il piano qui sotto.

Equazione cartesiana di un piano $\pi$ nello spazio

L'equazione cartesiana di un piano (che chiameremo $\pi$) si ricava in maniera simile all'equazione (cartesiana) della retta.

Sia $v=(a,b,c)$ un vettore applicato di $\mathbb {R} ^{3}$ ortogonale al piano e $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ un punto appartenente a $\pi$. Ogni punto di $\pi$ dovrà anch'esso essere perpendicolare a v, perciò anche qui ogni $P\cdot v-P_{0}\cdot v$ dovrà essere zero.

Abbiamo quindi che un punto P appartiene al piano $\pi$ se e solo se

$(P-P_{0})\cdot v=0\Leftrightarrow (x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})\cdot (a,b,c)=0\Leftrightarrow a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow ax+by+cz+(-ax_{0}-by_{0}-cz_{0})=0\Longrightarrow ax+by+cz+d=0$

è l'equazione cartesiana del piano $\pi$.

Parallelismo, coincidenza e ortogonalità di piani

Siano :$\left\{{\begin{array}{l}\pi :ax+by+cz+d=0\\\pi ':a'x+b'y+c'z+d'=0\end{array}}\right.$ due piani nello spazio rispettivamente ortogonali ai vettori $v=(a,b,c),v'=(a',b',c')\in \mathbb {R} ^{3}$. Essi sono paralleli (cioè non si intersecano in nessun punto) se e solo se

$\exists k\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:v'=kv\Leftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}a'=ka\\b'=kb\\c'=kc\end{array}}\right.$

Un esempio di piani paralleli molto semplice che aiuta anche a capire quanto detto sopra è illustrato nella seguente figura;

Se consideriamo come vettore v di ogni piano un vettore che sta sull'asse z (quello verticale), allora si vede chiaramente che ogni $kz$ genera un piano uguale agli altri, ma di "livello" diverso, in totale accordo con quanto detto sopra.

Se ad essere proporzionali non sono solo i vettori v ma anche i termini noti d, allora i piani sono coincidenti, cioè le varie equazioni descrivono lo stesso piano. Infatti:

$\left\{{\begin{array}{l}ax+by+cz+d=0\\a'x+b'y+c'z+d'=k(ax+by+cz+d)\end{array}}\right.\Rightarrow a'x+b'y+c'z+d'=k(0)=0$

L'equazione in forma implicita aiuta ulteriormente a capire questo concetto;

$z=ax+by+d\Leftrightarrow kz=k(ax+by+d)\Leftrightarrow z={\frac {k}{k}}(ax+by+d)\Leftrightarrow z=ax+by+d$

Infine, l'ortogonalità di due piani $\pi$ e $\pi ^{\prime }$ è verificata se e solo se sono ortogonali i vettori v e v' , cioè:

$v\cdot v'=0\Leftrightarrow aa'+bb'+cc'=0$

Piano per tre punti non allineati

Siano $P_{0},P_{1},P_{2}$ punti distinti dello spazio. Essi sono allineati se e solo se:

$P_{1}-P_{0}//P_{2}-P_{0}\Leftrightarrow {\rm {rg}}\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{0}&x_{2}-x_{0}\\y_{1}-y_{0}&y_{2}-y_{0}\\z_{1}-z_{0}&z_{2}-z_{0}\end{matrix}}\right)<2$. Infatti 3 punti sono allineati se i vettori $P_{1}-P_{0}$ e $P_{2}-P_{0}$ sono paralleli e quindi se i vettori sono linearmente dipendenti.

Se $v_{1}=P_{1}-P_{0},v_{2}=P_{2}-P_{0}$, per trovare l'equazione di un piano possiamo trovare un vettore ortogonale al piano generato da $v_{1},v_{2}$ facendone il prodotto vettoriale ed ottenendo quindi un vettore ortogonale al piano. Sia $v=P-P_{0}$, allora

$v\cdot (v_{1}\wedge v_{2})=0$

è l'equazione del piano cercato. Sviluppando i calcoli in termini di componenti si trova che l'equazione è data da

$\det \left({\begin{matrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\x_{1}-x_{0}&y_{1}-y_{0}&z_{1}-z_{0}\\x_{2}-x_{0}&y_{2}-y_{0}&z_{2}-z_{0}\end{matrix}}\right)=0$

Rette nello spazio

Due rette $r_{1},r_{2}$ si dicono parallele se hanno vettori direttori $u_{1},u_{2}$ paralleli, incidenti se si incontrano in un punto, coincidenti se sono la stessa retta e sghembe se non sono né parallele né incidenti.

Le due rette sono parallele (o in particolare coincidenti) se e solo se i vettori direttori linearmente dipendenti, cioè se

${\rm {rg}}\left({\begin{matrix}u_{1}&u_{2}\end{matrix}}\right)=1$.

Le due rette si intersecano in un punto $P$ quando è possibile scriverlo come elemento di $r_{1}$ e elemento di $r_{2}$, cioè $P_{0}+tu_{1}=P_{1}+su_{2}$ ammette soluzione, in altri termini

${\rm {rg}}\left({\begin{matrix}u_{1}&u_{2}\end{matrix}}\right)={\rm {rg}}\left({\begin{matrix}u_{1}&u_{2}&P_{0}-P_{1}\end{matrix}}\right)$

Se ${\rm {rg}}\left({\begin{matrix}u_{1}&u_{2}\end{matrix}}\right)={\rm {rg}}\left({\begin{matrix}u_{1}&u_{2}&P_{0}-P_{1}\end{matrix}}\right)=1$, il sistema ammette infinite soluzioni, cioè una "retta" di punti di intersezione. Quindi $r_{1}$ ed $r_{2}$ sono coincidenti.