Rette e Piani nello spazio

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lezione
Rette e Piani nello spazio
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 50%.
Rette e Piani nello spazio


Un piano nello spazio (quindi in 3 dimensioni) è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori indipendenti aventi entrambi l'origine in un punto P.

Un esempio è il piano qui sotto.

Piano nello spazio.png

Equazione cartesiana di un piano nello spazio[modifica]

L'equazione cartesiana di un piano (che chiameremo ) si ricava in maniera simile all'equazione (cartesiana) della retta.

Sia un vettore applicato di ortogonale al piano e un punto appartenente a . Ogni punto di dovrà anch'esso essere perpendicolare a v, perciò anche qui ogni dovrà essere zero.

Abbiamo quindi che un punto P appartiene al piano se e solo se

è l'equazione cartesiana del piano .

Parallelismo, coincidenza e ortogonalità di piani[modifica]

Siano : due piani nello spazio rispettivamente ortogonali ai vettori . Essi sono paralleli (cioè non si intersecano in nessun punto) se e solo se

Un esempio di piani paralleli molto semplice che aiuta anche a capire quanto detto sopra è illustrato nella seguente figura;

Parallel planes - piani paralleli.png

Se consideriamo come vettore v di ogni piano un vettore che sta sull'asse z (quello verticale), allora si vede chiaramente che ogni genera un piano uguale agli altri, ma di "livello" diverso, in totale accordo con quanto detto sopra.

Se ad essere proporzionali non sono solo i vettori v ma anche i termini noti d, allora i piani sono coincidenti, cioè le varie equazioni descrivono lo stesso piano. Infatti:

L'equazione in forma implicita aiuta ulteriormente a capire questo concetto;

Infine, l'ortogonalità di due piani e è verificata se e solo se sono ortogonali i vettori v e v' , cioè:

Piano per tre punti non allineati[modifica]

Siano punti distinti dello spazio. Essi sono allineati se e solo se:

. Infatti 3 punti sono allineati se i vettori e sono paralleli e quindi se i vettori sono linearmente dipendenti.

Se , per trovare l'equazione di un piano possiamo trovare un vettore ortogonale al piano generato da facendone il prodotto vettoriale ed ottenendo quindi un vettore ortogonale al piano. Sia , allora

è l'equazione del piano cercato. Sviluppando i calcoli in termini di componenti si trova che l'equazione è data da

Rette nello spazio[modifica]

Due rette si dicono parallele se hanno vettori direttori paralleli, incidenti se si incontrano in un punto, coincidenti se sono la stessa retta e sghembe se non sono né parallele né incidenti.

Le due rette sono parallele (o in particolare coincidenti) se e solo se i vettori direttori linearmente dipendenti, cioè se

.

Le due rette si intersecano in un punto quando è possibile scriverlo come elemento di e elemento di , cioè ammette soluzione, in altri termini

Se , il sistema ammette infinite soluzioni, cioè una "retta" di punti di intersezione. Quindi ed sono coincidenti.