Relazioni tra punti e rette con grafici su P.C.

Il presente esercizio consente, tramite il file eseguibile contenuto in geo1, il :

• calcolo rapido e presentazione dati delle interdipendenze tra rette e punti nel piano cartesiano date le coordinate dei punti stessi.

• tracciamento grafico sul P.C. dei punti e delle rette nel piano cartesiano

Gli elementi calcolati sono:

• distanza tra due punti
• area del triangolo formato da tre punti
• equazione retta generica passante per due punti
• retta perpendicolare ad una retta data

Gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati per via matematica ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica.

Il pannello di presentazione dati e grafica è mostrato nell'ultima sezione.

La relazione tra i punti e le rette

Uno tra i più semplici problemi di geometria analitica riguarda la relazione tra i punti tracciati nel piano cartesiano e le rette che possono intercettarli; un file applicativo per la soluzione grafica e numerica di uno tra gli innumerevoli proponibili è disponibile cliccando su il file geo1 scaricabile all'indirizzo riportato nei collegamenti esterni.

Gli algoritmi implementati nel file eseguibile Sito1.exe sono:

• coordinate singoli punti: $(x_{1}\ ;\ y_{1})\ ,\ (x_{2}\ ;\ y_{2})\ ....\ (x_{n}\ ;\ y_{n})$

• distanza tra due punti $d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$

• area del triangolo formato da tre punti: $A={\sqrt {[p\cdot (p-dist.\ 1;2)\cdot (p-dist.\ 1;3)\cdot (p-dist\ 2;3)]}}$

dove $p=(dist.\ 1;2+dist.\ 1;3+dist.\ 2;3)/2$ (semiperimetro)

• equazione retta generica passante per due punti $P_{1}(x_{1}\ ;\ y_{1})\ ,\ P_{2}(x_{2}\ ;\ y_{2})$

$y=m\cdot x+n$

dove:

$m=(y_{2}-y_{1})/(x_{2}-x_{1})$

$n=y_{1}-m\cdot x_{1}$

• retta perpendicolare ad una retta data di coeff. angolare $m:$

$yp=(-1/m)\cdot x+n$

Esempio d'impiego del file eseguibile Sito1.exe

Calcolo automatico e presentazione grafica di:

• distanza tra due punti
• area del triangolo formato da tre punti
• equazione retta generica passante per due punti
• equazione retta perpendicolare alla prima

Stabilite e digitate le coordinate di tre punti, presi ad esempio, e il valore di fondo scala nella parte inferiore destra di figura in alto si ha:

$P_{1}\ (-3\ ;\ 7)\ \ P_{2}\ (9\ ;\ -1)\ \ P_{3}\ (7\ ;\ 3)$

fondo scala = 10 (pari a 1 unità / divisione)

-premendo il pulsante "I punti e le distanze" la comparsa nel reticolo dei 3 punti, diversamente colorati ( rosso - blu - verde ), e i segmenti che ne identificano le distanze relative (si genera un triangolo).

Compaiono, vedi figura in alto, inoltre i valori delle distanze calcolate e l'area del triangolo compreso tra i 3 punti.

$dist.\ P_{1}-P_{2}=14.42$

$dist.\ P_{1}-P_{3}=10.77$

$dist.\ P_{2}-P_{3}=4.47$

Area triangolo $A=16.00$

Premendo successivamente i pulsanti nella parte inferiore sinistra di figura "Retta per .." compaiono le rette passanti per i punti dati; per la prima, nell'ordine, anche la sua perpendicolare.

Per ciascuna retta, ad esclusione della perpendicolare alla prima, ne viene visualizzata l'equazione con i valori di $m\ ed\ n$ espressi con numeri decimali.

Per la retta passante per $P_{1}-P_{2}$ l'equazione risultante è : $y=-0.67\ x+5$

Si deve osservare che il tracciamento di rette parallele all'asse Y non è fattibile su P.C. essendo $m=\infty$ , nel caso che i calcoli portino a tale condizione le rette non vengono presentate sullo schermo.

Bibliografia

R.Ferrauto, Il problema geometrico e la geometria analitica, Editrice Dante Alighieri, Roma, 1980

C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.

N. Clemet Shmmas, Visual basic 6, Editrice Apogeo Milano, 1999

Don Inmann -B. Albrecht, Programmare in QuickBasic Editrice McGraw-Hill Italia , 1989

Collegamenti esterni

Deposito del file exe: geo2