Probabilità discreta

lezione Probabilità discreta
	Tipo: lezione
	Materia: Matematica Applicata
	Avanzamento: lezione completa al 25%

Definizioni preliminari

Siano $A, B \subset S$ , definiamo

Unione di eventi

$A \cup B$ : evento di S che contiene tutti gli esiti di A e/o di B.

Intersezione di eventi

$A \cap B$ : evento di S che contiene tutti gli esiti presenti sia in A che in B.

Insieme vuoto

$\emptyset$ : evento che non contiene esiti.

Eventi mutuamente esclusivi (o disgiunti)

Se $A \cap B = \emptyset$

Eventi complementari

Sia $A \subset S, A^{C} = \overline{A} = S - A$

Nota bene: $S^{C} = \emptyset$

Proprietà

Siano $A, B \subset S$

$A^{C} \cap B^{C} = (A \cup B)^{C}$
$A^{C} \cup B^{C} = (A \cap B)^{C}$

Unione di eventi

Siano $A_{1}, A_{2}, ..., A_{m} \subset S$

$⋃_{k = 1}^{m} A_{k} = A_{1} \cup A_{2} \cup ... \cup A_{m}$

Definizione assiomatica di probabilità

Assiomi di Kolmogorov

Dato un esperimento che preveda più esiti possibili e a cui è associato uno spazio campione $S$ , e dato un evento $E \subset S$ , si definisce probabilità di $E$ :

$P (E) \in ℝ$

Assioma 1

$0 \leq P (E) \leq 1$

Assioma 2

$P (S) = 1$

Assioma 3

Dati $E_{1}, E_{2}, ..., E_{m} \in S$ mutuamente esclusivi (o disgiunti), la probabilità dell'unione degli eventi è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi.

In formule:

$P (⋃_{k = 1}^{m} E_{k}) = \sum_{k = 1}^{m} E_{k}$

Probabilità condizionata

Problema della rovina del giocatore

Descrizione del problema

A e B giocano lanciando una moneta. Se esce testa (T), B da una moneta ad A. Viceversa se esce croce (C).

Il gioco continua fino a quanto uno dei due giocatori rimane senza monete.

Sia $k, 0 < k < n$ il numero di monete posseduto inizialmente da A e $(n - k)$ il numero di monete possedute da B.

Qual è la probabilità che vinca A, cioè che B resti senza monete?

Senza fare un'analisi approfondita, è abbastanza intuitivo pensare che chi inizialmente ha più monete abbia più probabilità di vincere. Dipenderà inoltre dal numero di tutte le monete presenti in gioco.

Analisi del problema

Sia l'evento A = 'A vince', $P_{k} = P (A)$ , al turno $k$ -esimo.

Per sussistere il problema, è necessario che venga effettuato almeno un lancio $(1 \leq k \leq n)$ .

Siano inoltre:

$P (T) = p$
$P (C) = 1 - p = q$

T e C sono una partizione dello spazio campione, quindi è possibile applicare il teorema della probabilità totale.

$\begin{matrix} P (A) & = P (A | T) P (T) + P (A | C) P (C) \\ P_{k} & = P_{k + 1} p + P_{k - 1} q \end{matrix}$

$P (A | T) \to P_{k + 1}$ poiché se è uscito testa A riceve una moneta, ha quindi $k + 1$ monete

Stesso ragionamento si applica con $P (A | C)$ .

Osservazione: $P_{0} = 0, P_{n} = 1$

Dall'equazione di prima riprendiamo che

$\begin{matrix} 1 \cdot P_{k} & = P_{k + 1} \cdot p + P_{k - 1} \cdot q \\ (p + q) \cdot P_{k} & = P_{k + 1} \cdot p + P_{k - 1} \cdot q \\ q (P_{k} - P_{k - 1}) & = p (P_{k + 1} - P_{k}) \\ P_{k + 1} - P_{k} & = (P_{k} + P_{k - 1}) \frac{q}{p} \end{matrix}$

con $p \neq 0$ , altrimenti A non può mai vincere.