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Porte logiche di base e Algebra di Boole

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Porte logiche di base e Algebra di Boole
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Reti logiche

In generale con n ingressi si possono creare funzioni.

Porte logiche unarie

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Le porte logiche unarie operano su un solo segnale. In base alla regola specificata prima esistono quindi solamente 4 funzioni che operano su un solo ingresso.

Ingressi
0 0 1 0 1
1 0 0 1 1

Solamente una di queste funzioni è però utile:

  • La prima porta qualsiasi ingresso nell'uscita 0.
  • La seconda nega l'ingresso.
  • La terza porta ogni ingresso in se stesso (funzione identica).
  • La quarta porta qualsiasi ingresso nell'uscita 1.

La seconda funzione è infatti quanto realizzato da una delle porte logiche di base, il gate NOT.

Porta Logica: NOT
Espressione:
Tabella della verità:
X0 Z
0 1
1 0

Descrizione:
L'operatore/porta NOT restituisce il valore inverso di quello in entrata.

Porte logiche binarie

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Con 2 ingressi, seguendo la regola sopra specificata, è possibile ottenere 16 funzioni. Di queste soltanto Le porte logiche di base sono 3: NOT AND OR.

Porta Logica: AND
Espressione:
Tabella della verità:
X1 X0 Z
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Descrizione:
L'operatore/porta AND (letteralmente e in inglese) restituisce 1 (vero) se e solo se tutti gli operandi hanno valore 1 (vero), altrimenti restituisce 0 (falso). Tale operazione è anche detta prodotto logico.

 
Porta Logica: OR
Espressione:
  • Z = X0 + X1
  • Z = X0 OR X1
  • Z = X0 ? X1
Tabella della verità:
X1 X0 Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Descrizione:
L'operatore/porta OR (letteralmente o in inglese) restituisce 1 (vero) se almeno uno degli operandi è 1 (vero); ovvero restituisce 0 (falso) se e solo se tutti gli operandi sono 0 (falso). Tale operazione è anche detta somma logica.

 

Altre Porte logiche

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Utilizzando le 3 porte logiche di base si può descrivere il comportamento di qualsiasi rete più o meno complessa. Nella pratica esistono altre porte logiche che vengono utilizzate in sostituzione alle più frequenti operazioni logiche.

Porta Logica: NAND
Espressione:
  • Z = X0X1
Tabella della verità:
X1 X0 Z
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Descrizione:
L'operatore NAND (cioè la negazione del risultato dell'operazione AND) restituisce 0 (falso) se e solo se tutti gli elementi sono 1, mentre restituisce 1 (vero) in tutti gli altri casi.

 
Porta Logica: NOR
Espressione:
  • Z = X0+X1
Tabella della verità:
X1 X0 Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0

Descrizione:
L'operatore NOR, (cioè la negazione del risultato dell'operazione OR) restituisce 1 (vero) se e solo se tutti gli elementi sono 0, mentre restituisce 0 (falso) in tutti gli altri casi.

 
Porta Logica: XOR
Espressione:
  • Z = X0 ⊕ X1
Tabella della verità:
X1 X0 Z
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

Descrizione:
L'operatore XOR (detto anche OR esclusivo o somma modulo 2) restituisce 1 (vero) se e solo se un unico dei due operandi è 1, mentre restituisce 0 (falso) in tutti gli altri casi. Osservando la tabella della verità dell'operatore XOR, si può riscrivere lo stesso XOR utilizzando le porte logiche di base:
Z = X0 ⊕ X1 = X0X1+X0X1

NB:esistono altri modi equivalenti per scrivere l'espressione
 
Porta Logica: XNOR
Espressione:
  • Z = X0 ⊕ X1
Tabella della verità:
X1 X0 Z
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Descrizione:
L'operatore XNOR (cioè la negazione del risultato dell'operazione XOR) restituisce 0 se e solo se un unico elemento dei due è uguale a 1 e tutti gli altri elementi sono 0 Osservando la tabella della verità dell'operatore XNOR, si può riscrivere lo XNOR stesso utilizzando le porte logiche di base:
Z = X0 ⊕ X1 = X0 X1+X0X1

NB:esistono altri modi equivalenti per scrivere l'espressione
 

Ancora sullo XOR

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Nella figura sottostante è sono riportate tre "reti logiche" equivalenti che implementano l'operatore xor. In particolare si noti che la seconda e la terza rete differiscono esclusivamente per la notazione grafica, infatti per comodità spesso si preferisce sostituire l'operatore NOT semplicemente con il pallino vuoto all'ingresso/uscita delle altre porte logiche (come avrete già notato nei simboli grafici nel NAND, NOR o XNOR).

Algebra di Boole

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Operazioni con le Costanti

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a)

b)

c)

d)

Dimostrazioni:
X0 VERO FALSO Za Zb Zc Zd
0 1 0 0+1 = 1 0* 0 = 0 0+0 = 0 0* 1 = 0
1 1 0 1+1 = 1 1* 0 = 0 1+0 = 1 1* 1 = 1
X0 VERO FALSO VERO FALSO X0 X0
 

Proprietà base di AND e OR

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a)

b)

Dimostrazioni: Aiutandosi con la tabella della verità a fianco si ha:

  • Proprietà a):
X0 è condizione sufficiente ma non necessaria per X0+X1;
se X0 è vera sicuramente X0+X1 è vera (sufficiente), ma X0+X1 potrebbe essere vera anche se X0 è falsa (non necessaria)
X0 + X1 è condizione necessaria ma non sufficiente per X0;
Sapere che X0 + X1 è vera (oppure falsa) è necessario per sapere se X0 è vera (oppure falsa) ma non è sufficiente perché occorre conoscere anche X1
  • Proprietà b):
X0X1 è condizione sufficiente ma non necessaria per X0;
X0 è condizione necessaria ma non sufficiente per X0X1;
Tabella della verità:
X1 X0 X0 + X1 X0X1
0 0 0 0
0 1 1 0
1 0 1 0
1 1 1 1
 

c)

d)

dimostrazione:
X0 X0 X0 + X0 X0X0
0 0 0+0 = 0 0* 0 = 0
1 1 1+1 = 1 1* 1 = 1
 

Proprietà Commutativa:
e)

f)

dimostrazione:
X1 X0 X0 + X1 X1 + X0 X0* X1 X1X0
0 0 0+0 = 0 0+0 = 0 0* 0 = 0 0* 0 = 0
0 1 1+0 = 1 0+1 = 1 1* 0 = 0 0* 1 = 0
1 0 0+1 = 1 1+0 = 1 0* 1 = 0 1* 0 = 0
1 1 1+1 = 1 1+1 = 1 1* 1 = 1 1* 1 = 1
 

Proprietà Associativa:
g)

h)

Proprietà Distributiva:
i)

j)

dimostrazione:
X2 X1 X0 X0X1 X0X2 X1X2 X0+X1 X0+X2 X1+X2 (X0+X1)+X2 X0+(X1+X2) (X0X1)X2 X0(X1X2) X0(X1+X2) (X0X1)+(X0X2) X0+(X1X2) (X0+X1)(X0+X2)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 

Leggi di De Morgan

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a)

b)

Approfondimento

dimostrazione:
X1 X0 X1 X0 X0X1 X0+X1 (X0X1) X0+X1 (X0 + X1) X0 X1
0 0 1 1 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
 

Proprietà base di NOT

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Doppia negazione

Implicazione ed Equivalenza

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a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

l)

Equivalenza:
m)