Moto circolare

Lezione 4:
Moto circolare

Un moto circolare è un tipo di moto in cui la traiettoria del corpo forma una circonferenza.

Durante un moto circolare, il corpo percorre un angolo con vertice nel centro della circonferenza, che di solito si indica con la lettera greca theta, ovvero θ. θ, r (raggio della circonferenza) e l (arco percorso sulla circonferenza) sono legati dalla seguente relazione:

θ $={\frac {l}{r}}$.

L'angolo però non si misura in gradi, ma in radianti (indicati con $rad$): per convertire un angolo in gradi α in uno in radianti θ, si moltiplica il suo valore per 2π e si divide per 360.

Moto circolare uniforme

Quando un oggetto si muove lungo una circonferenza di raggio r con velocità scalare v costante compie un moto circolare uniforme.

Come si può vedere dall'immagine, il modulo della velocità rimane costante ma cambia continuamente la sua direzione e questo cambiamento costituisce proprio un'accelerazione (esattamente come lo costituisce il cambio di modulo di velocità). Quindi un oggetto che compie un moto circolare uniforme è costantemente accelerato.

La velocità che un corpo assume in un moto circolare uniforme è detta velocità angolare e si indica con la lettera greca ω (omega). Per calcolarla possiamo effettuare la divisione tra l'angolo percorso, in radianti, e il ${\Delta t}$ (tempo) impiegato. La sua unità di misura è radianti al secondo (indicata con $rad/s$).

L'accelerazione invece l'abbiamo già definita come

$\mathbf {a} ={\frac {\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{0}}{\mathbf {t} _{1}-\mathbf {t} _{0}}}={\frac {\Delta _{v}}{\Delta _{t}}}$.

Se consideriamo un tempo molto piccolo (quindi facciamo tendere $\Delta _{t}$ a 0), allora abbiamo che i due vettori velocità sono quasi paralleli (coincidenti potremmo anche dire, visto che hanno ugual modulo) e la loro differenza $\Delta _{v}$ (che parte dal centro) tende verso la sua origine, cioè il centro. Tale accelerazione si chiama centripeta (o anche radiale, poiché diretta lungo il raggio verso il centro della circonferenza), il suo modulo è dato da

$\mathbf {a} _{c}={\frac {v^{2}}{r}}$ oppure dalla velocità angolare al quadrato moltiplicata per il raggio.

Appare dunque subito che la velocità e il raggio giocano un ruolo determinante per l'accelerazione di un oggetto nel moto circolare uniforme; maggiore è la velocità e maggiore è il cambiamento di direzione della stessa (quindi l'oggetto compirà un maggior numero di "giri"), maggiore è il raggio e più lentamente l'oggetto compirà rivoluzioni. Poiché sia la velocità che il raggio sono costanti, anche l'accelerazione centripeta del corpo rimane invariata.

La frequenza $f$ è il numero di rivoluzioni (giri della circonferenza compiuti) al secondo, mentre il periodo $T$ è il tempo necessario all'oggetto per compiere una rivoluzione, cioè $T={\frac {1}{f}}$.

Moto circolare uniformemente accelerato

Quando un oggetto si muove lungo una circonferenza di raggio r con accelerazione costante γ compie un moto circolare uniformemente accelerato.

Rispetto al moto circolare uniforme, la velocità angolare ω e quella tangenziale v non sono più costanti. Inoltre, la velocità angolare aumenta in maniera direttamente proporzionale al tempo trascorso. L'accelerazione costante, invece, prende il nome di accelerazione angolare ed ha la stessa direzione della velocità angolare. L'accelerazione angolare si calcola effettuando il rapporto tra la variazione della velocità angolare e l'intervallo di tempo (Δt) in cui la variazione si verifica. La sua unità di misura è radianti al secondo quadrato, indicata con $rad/s^{2}$.

Seguendo le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato, possiamo scrivere alcune formule:

• Δω = γ $\times$ Δt, da cui la formula inversa Δt = γ $/$ Δω
• ω$_{f}$$^{2}$ = ω$_{i}$$^{2}$ + 2γΔθ
• ${v_{f}}^{2}={v_{i}}^{2}+2{a_{T}}$Δt ($v_{f}$ e $v_{i}$ indicano le velocità tangenziali iniziali e finali, che si calcolano moltiplicando la velocità angolare e il raggio, mentre $a_{T}$ è l'accelerazione tangenziale e si calcola moltiplicando l'accelerazione angolare per il raggio - è quindi costante)
• Δθ = ω$_{i}$Δt + ${\frac {1}{2}}$γΔt$^{2}$
• Δ$l$ = v$_{i}$Δt + ${\frac {1}{2}}$a$_{T}$Δt$^{2}$ (Δ$l$ è l'arco percorso lungo la circonferenza)

Oltre all'accelerazione angolare γ, su un corpo che si muove di moto circolare uniformemente accelerato agiscono anche l'accelerazione tangenziale a${_{T}}$ e quella centripeta a${_{C}}$. L'accelerazione tangenziale è il prodotto tra l'accelerazione angolare e il raggio (a${_{T}}$ = γ $\times$ r), mentre quella centripeta è il prodotto tra il quadrato della velocità angolare e il raggio (a$_{C}$ = ω$^{2}$ $\times$ r). Queste due accelerazioni sono perpendicolari tra loro. Attraverso il teorema di Pitagora, possiamo quindi calcolare l'accelerazione totale (che non è costante):

$a_{tot}={\sqrt {{a_{T}}^{2}+{a_{C}}^{2}}}$