Metodo di Cramer

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lezione
Metodo di Cramer
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare


Il metodo di Cramer è una procedura piuttosto semplice e macchinoso per risolvere sistemi lineari di due o più equazioni e incognite. Viene largamente impiegato, proprio perchè è una procedura che segue uno schema preciso, nella costruzione di algoritmi per risolvere sistemi in modo automatico e ci permette di capire velocemente se le soluzioni possono essere reali, indeterminate o impossibili. Sia dato il seguente sistema

{ ax + by = c

 dx + ey = f

Raggruppiamo i coefficienti delle variabili in una tabella quadrata che viene chiamata matrice dei coefficienti. In una matrice di questo tipo si individuano due diagonali: quella principale (direzione NE-SW) e quella secondaria.

|a b|

|d e|

Ad ogni matrice di forma quadrata si può associare un numero che viene chiamato determinante che risulta essere il prodotto tra i valori termini sulla diagonale principale meno quelli della diagonale secondaria. Chiameremo tale primo determinante D.

D= ae - db

Prendiamo in esame ora un'altra matrice avente nella prima colonna i termini noti e nella seconda i coefficienti di y. Chiamiamo il determinante che se ne ricava Dx.

|c b|

|f e|

Dx= ce - fb

Consideriamo ora una terza matrice che nella prima colonna presenta i coefficienti di x e nella seconda i termini noti. Battezziamo dunque il determinante Dy

|a c|

|d f|

Dy= af - dc

Le soluzioni del sistema x e y saranno dunque il rapporto tra:


X= __Dy____ Y=___Dx____

    D                 D

Da ciò ne consegue che

- se D=0 e Dx e Dy son diversi da zero le soluzioni del sistema sono impossibili 
- se D=0 e Dx=0 e Dy=0 le soluzioni sono indeterminate
- Se D è diverso da zero le soluzioni sono determinate
- Se Dx e Dy sono uguali a zero le soluzioni sono nulle
Il metodo vale anche per sistemi a tre e più equazioni ed incognite risolvendo però matrici 3x3 o 4x4 o nxn