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Limiti

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Limiti
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Matematica per le superiori 5
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 25%

Richiami agli insiemi di numeri reali

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Dato che esiste per ogni punto della retta orientata (detta retta reale) un elemento dell'insieme , possiamo identificare ogni sottoinsieme di , cioè un insieme numerico di punti della retta .

Intervalli

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Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta (intervallo illimitato) o un segmento (intervallo limitato) della retta reale.

Intervalli limitati

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Un intervallo può essere chiuso o aperto. Possono differire a seconda che gli estremi appartengano o meno all'intervallo.

Un intervallo chiuso nella retta dei numeri reali (Fig. 1).)
  • L'intervallo chiuso contiene tutti i valori inclusi tra a e b. (Fig. 1)
Un intervallo aperto nella retta dei numeri reali (Fig. 2).
  • L'intervallo aperto contiene tutti i valori tra a e b esclusi. (Fig. 2)
Un intervallo aperto a sinistra nella retta dei numeri reali (fig. 3).
Un intervallo aperto a destra nella retta dei numeri reali (fig. 4).
  • L'intervallo aperto a sinistra contiene tutti i valori tra a e b con a escluso. (Fig. 3)
  • L'intervallo aperto a destra contiene tutti i valori tra a e b con b escluso. (Fig. 4)

Gli intervalli limitati sono segmenti della retta reale con estremi a e b, con a < b e lunghezza b - a, chiamata ampiezza dell'intervallo.

I valori e sono rispettivamente il raggio e il centro dell'intervallo.


Intervalli illimitati

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Un intervallo illimitato corrisponde a una semirettta di origine a; pertanto uno degli estremi dell'intervallo è il numero a, mentre l'altro è (più o meno infinito). Essi non sono numeri reali, quindi sono sempre esclusi dall'intervallo.

L'insieme dei numeri reali è definito dall'intervallo .

  • L'intervallo aperto illimitato a sinistra contiene tutti i valori maggiori di a. (Fig. 5)
  • L'intervallo chiuso illimitato a sinistra contiene tutti i valori maggiori o uguali ad a. (Fig. 6)
  • L'intervallo aperto illimitato a destra contiene tutti i valori minori di a. (Fig. 7)
  • L'intervallo aperto illimitato a destra contiene tutti i valori minori od uguali ad a. (Fig. 8)
Un intervallo aperto illimitato a sinistra. (Fig. 5)
Un intervallo chiuso illimitato a sinistra. (Fig. 6)
Intervallo aperto illimitato a destra. (Fig. 7)
Intervallo chiuso illimitato a destra. (Fig. 8)

Intorni di un punto

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«Dato un numero reale , un intorno completo di , è un qualsiasi intervallo tale che »

Quando , si parla di intorno completo circolare di . In particolare, è l'intorno sinistro, mentre è l'intorno destro di Intorno sinistro e destro di un punto '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"' (Fig. 9)

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Consideriamo la funzione , definita nell'insieme D, e studiamo il suo comportamento quando assume valori prossimi a , ma non proprio quest'ultimo perché è fuori dall'insieme D.

In base al grafico, possiamo dire che più ci avviciniamo a , più si avvicina ad L.

Consideriamo, per esempio, la funzione , cui dominio è 3

Non avrebbe senso calcolare , perchè la funzione non è definita in quel punto. Nonostante ciò, possiamo sempre studiare il comportamento della funzione vicino al punto .

Notiamo che la funzione più si avvicina ad , più si avvicina al valore .

Definizione con gli intorni circolari

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Esprimiamo lo stesso concetto in un altro modo: considerato un qualunque intorno circolare di ampiezza , che indicheremo con , esiste sempre un intorno i cui punti x, con , hanno immagine contenuta in .

Nei punti di quell'intorno infatti ci sono quei valori di x che soddisfano la disequazione:

Raccogliamo 2x nel numeratore della frazione, ed essendo , semplifichiamo:

Notiamo il caso particolare del valore assoluto, quindi:

Le soluzioni della disequazione sono i punti dell'intorno

Interpretazione geometrica

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Osserviamo il seguente grafico di , che è uguale a quella per , e consideriamo degli intorni di 3 assegnando ad alcuni valori sempre più piccoli.


Possiamo notare che i valori di si trovano sempre più vicini a 6.

Possiamo dunque dire che "per x che tende a 3, ha limite 6" e scriviamo:

Definizione generale

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«La funzione definita nel dominio D, ha per limite il numero reale il numero per x che tende a , qualunque sia il numero reale scelto, si avrà un intorno completo di , di , tale che »

Limite destro e sinistro

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Limite destro

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Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo:

Si legge "limite di x che tende a da destra". Significa che x si avvicina a ma rimanendo sempre maggiore di

La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola differenza che la disuguaglianza deve essere verificata per ogni intorno appartenente a un intorno destro di , ossia a un intorno del tipo , che indichiamo con

Limite sinistro

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Analogamente, il limite sinistro di una funzione viene indicato con il simbolo:

Si legge "limite di x che tende a da sinistra". Significa che x si avvicina a ma rimanendo sempre minore di

La definizione del limite destro è analoga a quella già data di limite, con la sola differenza che la disuguaglianza deve essere verificata per ogni intorno appartenente a un intorno sinistro di , ossia a un intorno del tipo , che indichiamo con

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Se per certi valori di x che si avvicinano ad un certo , i valori di una funzione cresce sempre di più, si dice che la funzione ha limite .

Definizione

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«Limite per x che tende a : Sia una funzione definita in un intervallo . tende a per x che tende a quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo di tale che: per ogni x appartenente ad e diverso da

Se , si dice che la funzione diverge positivamente.

Interpretazione geometrica

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Osserviamo il seguente grafico generico di e consideriamo degli intorni di sempre più piccoli, assegnando ad valori sempre più grandi.

Possiamo notare che i valori di sono sempre più grandi, fino a raggiungere . Possiamo dunque dire che "per x che tende a , ha limite " e scriviamo:

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Esistono anche funzioni che decrescono sempre di più all'avvicinarsi di x al punto . In questo caso si dice che la funzione ha limite . per x che tende a . In generale vale la seguente definizione:

«Limite per x che tende a : Sia una funzione definita in un intervallo . tende a per x che tende a quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo di tale che: per ogni x appartenente ad e diverso da

Se , si dice che la funzione diverge negativamente.