Le quattro operazioni (scuola media)

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lezione
Le quattro operazioni (scuola media)
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Matematica per la scuola media 1





Le quattro operazioni fondamentali sono: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Le quattro operazioni servono per trovare rispettivamente la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente.[1]

Addizione[modifica]

L’addizione è l’operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, ottenuto contando di seguito al primo tante unità quante ne indica il secondo. I numeri da sommare si chiamano addendiVK mentre il risultato si chiama sommaVK o totaleVK. Lo zero è l'elemento neutro dell'addizione, perché qualunque numero addizionato a 0 dà sempre il numero di partenza.

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle 12+0=12</mathDico == Sottrazione == La sottrazione è l'operazione che permette di togliere una quantità da un'altra, o di calcolare la differenza tra due quantità. <br/> <math> 12-2 =10 }
12 si chiama minuendoVK e 2 si chiama sottraendoVK; il risultato cioè 10 si chiama restoVK o' differenzaVK. La sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione, lo zero sottratto a un numero non lo modifica.

Moltiplicazione[modifica]

La moltiplicazione è l'operazione per trovare il prodotto fra due numeri. I due numeri da moltiplicare si chiamano fattoriVK e il risultato si chiama prodottoVK. Il numero neutro è l'1: qualsiasi numero moltiplicato per 1 è sempre uguale alla quantità che viene moltiplicata.[1]

Divisione[modifica]

La divisione è l’ operazione che si utilizza per raggruppare o distribuire una quantità in parti uguali.

Il dividendoVK è il numero che verrà diviso per il divisoreVK, ottenendo così il quozienteVK. La divisione può essere rappresentata anche con la frazione. La divisione è l’ operazione inversa alla moltiplicazione.


Non è possibile dividere un numero per 0.[1]

Divisioni con il resto[modifica]

Il risultato di una divisione con il restoVK si compone di:

  • quozienteVK che è il numero che indica le volte per le quali si deve moltiplicare il divisoreVK per raggiungere il suo multiploVK minore e più vicino al dividendoVK
  • resto che è la differenza tra il dividendo ed il multiplo trovato, ed è strettamente minore del divisore.

Schematicamente:

con


e quindi


Per trovare il quoziente, e di conseguenza il resto, possiamo procedere in diversi modi a seconda degli strumenti che abbiamo a disposizione.

La regola manuale[modifica]

La regola, l'algoritmoVK, per fare le divisioni con il restoVK la si impara a scuola, anche se, dopo l'avvento delle calcolatriciVK, lo si dimentica piuttosto velocemente.

Per maggiore chiarezza cominciamo con lo scrivere un esempio che commentiamo

Si scelgono dal dividendo partendo da sinistra un numero di cifre adeguate a rappresentare un numero maggiore del divisore, nel nostro esempio le prime due poichè .

Si esegue la divisione del numero rappresentato per il divisore ottenendo così la prima cifra del quoziente, nel nostro caso poichè , si sottrae dal numero rappresentato dalle prime due cifre il multiplo del divisore ottenuto moltiplicandolo per la prima cifre del quoziente e si scrive questo primo resto in basso. Nel nostro caso in questo modo abbiamo scoperto che il divisore sta volte nel dividendo

A questo punto di abbassa la successiva cifra del dividendo ottenendo un numero che rappresenta una quantità nella quale il divisore è contenuto meno di una decina di volte. Si procede a alla divisione dalla quale, nel nostro esempio, si ottiene la cifra delle unità del divisore. Si calcola il resto come fatto per la cifra delle decine il resto ottenuto è il resto della divisione, incidentalmente osserviamo che il resto è, come deve essere, strettamente minore del divisore. ...e ci mancherebbe!

Trovare il resto con una calcolatrice[modifica]

La calcolatrice ci permette di fare tutti i calcoli che vogliamo purtroppo però se volgiamo svolgere la divisione con il resto non abbiamo un risultato così immediato, infatti la clacolatrice esegue la divisione e ci restituisce come quozienteVK un numero decimale con la virgola, ovviamente nel caso in cui il dividendo non sia una multiplo del divisore.
E' possibile però facendo due altri veloci calcoli ricavare il Quoziente intero ed il Resto.
Una volta eseguita per ottenere il resto la divisione basta sottrarre dal dividendo la moltiplicazione del divisore per il quoziente calcolato senza decimali, troncato alle unità. [2]

Ad esempio[modifica]

Eseguiamo
ed otteniamo

17per4


.


a questo punto per calcolare il resto moltiplichiamo' dapprima il divisore per la parte intera del quoziente

17per3



e poi troviamo il resto sottraendo dal dividendo il prodotto trovato e .

17per5



e quindi
e .

Usare il computer (Scratch)[modifica]

Per trovare il quoziente in una divisone con il resto si può procedere anche per tentativi, ma facendo i calcoli a mano questa maniera potrebbe rivelarsi troppo dispendiosa in tempo ed energia. Vero è che si può sempre cominciare da una stima per poi approssimarla fino a renderla corretta.
Avendo a disposizione un computer che può fare molti calcoli, anche complessi, in poco tempo. Possiamo provare a programmalo in modo da eseguire la divisione con resto per tentativi.

Partiamo dall'osservare che il risultato della divisione con il resto si compone di un quoziente e del resto, altrimenti non si chiamerebbe così;-)
Il quoziente rappresenta il fattoreVK per il quale si deve moltiplicare il divisore per ottenere il suo multiplo più piccolo e più vicino possibile al dividendo.
Grazie alla capacità del computer troveremo il quoziente con tentativi ripetuti, avendo l'accortezza di mantenerli ordinati, facendo incrementare il quoziente, cosa che di conseguenza farà diminuire il resto fino a che diventerà più piccolo del divisore, cosa che completa la ricerca del multiplo.
In altre parole il quoziente (risultato) della divisione è uno dei due fattori di quel multiplo del divisore


tale che la differenza che chiamiamo resto


diventa più piccola del divisore, ed la più piccola possibile.

Se tutto funziona a dovere possiamo in generale scrivere


espressione che è vera anche nel caso in cui il dividendo è minore del divisore, caso nel quale il quoziente è uguale a 0.


Per fare questo lavoro programmando con Scratch non faremo altro che costruire un ciclo ripeti fino a che una condizione non diventi vera, dove la condizione sarà appunto il fatto che il resto calcolato per differenza tra dividendo e ipotetici multipli del divisore diventerà minimo, il più piccolo, quello più piccolo del divisore.

Facendo un esempio:


osservo che quindi il mio primo ipotetico e calcolando il il primo resto è più grande del divisore ,

quindi procedo

secondo tentativo e calcolando il il primo resto è più piccolo del divisore ,

ho trovato il risultato

 e .

Un tutorial per Scratch lo trovate Divisioni con il resto (scuola media)

Divisibilità[modifica]

Un numero naturale n è divisibile per un altro numero naturale, m, se la divisione del primo, n il dividendo, per il secondo, m il divisore, da come resto 0. Usando la moltiplicazione il primo numero n risulta un multiplo del numero m. Ad esempio 72 è divisibile per 9 poichè


notiamo che come scritto sopra è un multiplo di infatti

.




Esercizi per capire la divisione con il resto e la divisibilità[modifica]


Esercizi per imparare la divisibilità[modifica]

Questi esercizi vanno svolti su un quaderno e fatti correggere dall'insegnante o confrontati con i propri compagni.

Proprietà[modifica]

Commutativa
Se cambio l’ ordine dei termini, il risultato non cambia (addizione, moltiplicazione)





Associativa
In un' operazione con più termini , se sommo o moltiplico fra di loro due numeri, il risultato non cambia (addizione, moltiplicazione)



Dissociativa
Scomponendo un termine in due numeri, il risultato non cambia (addizione, moltiplicazione)


Invariantiva
Solo la sottrazione e la divisione hanno la proprietà invariantiva; se aggiungi o togli la stessa quantità al minuendo e al sottraendo il risultato non cambia.
  • sottrazione: se sommo o sottraggo lo stesso numero al minuendo e al sottraendo, il risultato non cambia.
  • divisione: se moltiplico o divido lo stesso numero al divisore e al dividendo, il risultato non cambia.
Distributiva
  • moltiplicazione: se devo moltiplicare un' addizione o una sottrazione per un numero, posso moltiplicare i termini per quel numero; il risultato non cambia.
  • divisione: se devo dividere un'addizione o una sottrazione per un numero, posso dividere i termini per quel numero. Il risultato non cambia.[1]

Lo zero[modifica]

Zero significa niente o nullo. Se la differenza tra il numero di oggetti in due insiemi è zero, significa che i due insiemi contengono lo stesso numero di elementi. Zero va però distinto da "assenza di valore" poiché si tratta di due concetti diversi: per esempio se la temperatura è zero, l'acqua ghiaccia (nel caso della gradazione Celsius della temperatura); se invece manca il dato della temperatura (assenza del valore) nulla si può dire.

Note[modifica]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 la grande avventura,autori:L.Alievi,M.Cappelletti,A.Degianni,caseditrice:la spiga
  2. http://www.aiutodislessia.net/come-trovare-il-resto-nella-divisione-usando-la-calcolatrice/

Bibliografia[modifica]

  • La grande avventura,autori:L.Alievi,M.Cappelletti,A.Degianni,Casa editrice:La spiga

Collegamenti esterni[modifica]

Quiz[modifica]

  

14+2 il 14 che cos'è?

addendo
prodotto
minuendo
quoziente


  

Come si chiama il risultato della moltiplicazione?

totale
sottraendo
prodotto
differenza


  

(23+11)+(34+14)-(11-10)

56
81
123
45


  

90+10+50+40+50+60

410
300
290
250-


  

La divisione ha l'elemento neutro??

falso
vero


  

7:0 è impossibile

falso
vero


  

0:0 e indeterminata<quiz> {90+10+50+40+50+60

410
300
290
250


  

50+50-100+2+80-79

2
3
4
5


  

23+27+22+28+24+26)=

120
150
130
140


  

Un numero diviso se stesso fa 1

vero
falso


  

Quali sono le proprietà dell'addizione?

invariantiva,associativa
dissociativa,invariantiva
associativa,dissociativa
commutativa,associativa,dissociativa


  

100+100-200+3+300-200

306
103
207
300


  

20000:1000

200
20
2
2000


  

La proprietà della sottrazione è la commutativa?

falso
vero


  

Che cosa dice la proprietà commutativa?

Cambiando l'ordine degli addendi il risultato non cambia
Se a due o più addendi si sostituisce la loro somma,la loro somma non cambia
se si somma o si sottrae uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo, la differenza non cambia.