Introduzione alle variabili statistiche

In tutti i casi ove si debbano studiare o descrivere dei fenomeni a carattere aleatorio, che diano cioè luogo a variabili od a funzioni aleatorie, l'analisi deterministica deve essere sostituita da un tipo di analisi a carattere statistico; si veda ad esempio in figura 1 un fenomeno aleatorio sotto forma di tensione di rumore rilevata con oscilloscopio.

figura 1

L'impiego di questo tipo di segnali è indirizzato prevalentemente per lo studio delle strutture sonar, si veda la pagina del Corso Applicazioni tecniche sul sonar

Nei fenomeni di tipo aleatorio non è possibile conoscere esattamente il valore che la variabile o la funzione assumeranno ad osservazioni successive t ma è solo possibile predire il loro valore probabile.

Tale predizione è basata sulla assunzione della regolarità del fenomeno in esame.

Se questo viene osservato un numero grande (infinìto) di volte ed, in base a tali osservazioni, è possibile ottenere la frequenza di ricorrenza dei vari valori possibili assunti dalla variabile o dalla funzione aleatoria.

A maggior frequenza di ricorrenza di un dato valore nelle osservazioni dovrà corrispondere maggior probabilità, assunta la regolarità. del fenomeno, che tale valore si ripeta in una osservazione successiva.

Il concetto di probabilità viene quindi introdotto onde assegnare alla variabile od alla funzione aleatoria una misura quantitativa, con un numero compreso tra $0\ ed\ 1$, della frequenza di ricorrenza di un dato valore in un numero grande di eventi.

Si noti che la conoscenza delle probabilità relative ad un determinato fenomeno aleatorio può derivare sia dalla conoscenza a priori derivante dalle proprietà. del fenomeno, sia da misurazioni empiriche su di un numero grande di esperienze.

Si esaminano di seguito alcune definizioni e proprietà. delle variabili aleatorie.

Si passerà poi a trattare le funzioni aleatorie o processi aleatori.

Le variabili aleatorie

Si consideri di operare una osservazione $\epsilon$ di un fenomeno aleatorio; sia $X$ il risultato ad essa associabile, rappresentabile con un valore numerico.

I valori $X=x(\epsilon )$ costituisco la una variabile aleatoria.

La $X$ può essere una variabile continua, discontinua o mista.

Variabile aleatoria discontinua

Nel caso di variabile discontinua si definisce la probabilità $\ p_{i}$ che la $X$ assuma il valore $X_{i}$ come la frequenza relativa di tale valore, con il seguente simbolismo:

$p_{i}=P[X=X_{i}]$

dove $0\leq p_{i}\leq 1$

Esempio

Un esempio di variabile discontinua si ha nel lancio di un dado che può mostrare casualmente una delle sei facce con i valori $X_{i}$:

$X_{1}=1\ ;\ X_{2}=2\ ;\ X_{3}=3\ ;\ X_{4}=4\ ;\ X_{5}=5\ ;\ X_{6}=6$

figura 2

La probabilità che una qualsiasi di queste $i$ facce sia mostrata é:

$p_{i}=P[X=X_{i}]=1/6$

Se si considera l'insieme $[X_{1}\ ,\ X_{2}\ ,\ \cdot \cdot \cdot \ ,\ X_{6}]$ di possibili valori, la probabilità che $X$ assuma uno di questi valori è data dalla somma delle probabilità di ogni valore, ovvero:

$P[X=X_{1}]$ oppure $P[X=X_{2}]$ oppure $\cdot \cdot \cdot P[X=X_{6}]\cdot =p_{1}+p_{2}+p_{3}+\cdot \cdot \cdot +p_{6}$

Dato che l'insieme sopra considerato racchiude tutti i possibili valori si ha la certezza che la $X$ assuma uno di questi valori, ovvero:

$\sum _{n=1}^{6}p_{n}=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1$

Variabile aleatoria continua

Nel caso di variabile aleatoria $X$ continua, la probabilità che essa assuma un valore stabilito $x$ è nulla.

Si tratterebbe infatti di stabilire che probabilità può avere una data ampiezza nell'insieme delle infinite ampiezze mostrate ad esempio in figura 1.

Si può invece parlare della probabilità che $X$ sia compreso in un intervallo di valori: $x\leq X\leq x+dx.$

Per questo si ricorre alla funzione densità di probabilità $p(x)$ mediante la quale la probabilità suddetta è esprimibile come:

$p(x)\ \ dx=P[x\leq X\leq x+dx]$

Si definisce poi la funzione di distribuzione della probabili­tà, o funzione di probabilità cumulativa, come:

$F(x)=P[X\leq x]=\int _{-\infty }^{x}p(x)\ dx$

ovvero:

$\int _{-\infty }^{+\infty }p(x)\ dx=1$

Esempio

Si prenda in esame la funzione $X(t)$, ad esempio il segnale elettrico di forma triangolare di figura 3, ove le pendenze dei tratti rettilinei siano aleatorie:

figura 3

Si consideri la variabile aleatoria associabile alla misurazione dell'ampiezza della $X(t)$ a vari istanti di tempo.

La probabilità che sia $x\leq X\leq x+\$dx è uguale alla probabilità che l'istante di misurazione cada in uno degli intervalli dt corrispondenti.

Essendo poi ognuno di questi intervalli dt indipendente dal valore di $x$, ne consegue che ogni valore $0\leq X\leq 1$ ha la stessa probabilità.