Introduzione alla nozione di spazio vettoriale

Spazi e sottospazi vettoriali

Un insieme di vettori $V$ appartenenti ad un qualsiasi campo formano uno spazio vettoriale se $(V;+)$ è un gruppo abeliano e $(V;\ast )$, con $\ast$ prodotto per uno scalare, gode della proprietà distributiva, associativa, esistenza dell'elemento neutro e dello 0. In altri termini, esplicitando le proprietà:

$\mathrm{\forall }u,v,w\in V$

1. $(u+v)+w=u+(v+w)$
2. $\mathrm{\exists }O:v+O=v$
3. $\mathrm{\exists }-v:v+(-v)=O$
4. $u+w=w+u$

$\mathrm{\forall }u,v,w\in V,\lambda ,\mu \in ℝ$

1. $\lambda (u+v)=\lambda u+\lambda v$
2. $v(\lambda +\mu )=\lambda v+\mu v$
3. $(\lambda \mu )v=\lambda (\mu v)$
4. $0v=O$
5. $1v=v$

Un sottospazio vettoriale di $V$ è un insieme $U\subseteq V$ con la proprietà di chiusura per le operazioni di somma e prodotto per uno scalare, cioè:

$\mathrm{\forall }u,u^{\prime }\in U,\lambda \in ℝ:u+u^{\prime }\in U,\lambda u\in U$

e si indica scrivendo $U\le V$

Esempi di spazi e sottospazi vettoriali

${ℝ}^3$ è uno spazio vettoriale. Infatti soddisfa tutte le proprietà descritte sopra.

Combinazioni lineari di vettori

Definizione: si definisce combinazione lineare di $n$ vettori $v_1,\dots ,v_n\in V$ con coefficienti $a_1,\dots ,a_n\in ℝ$ il vettore

$\sum _{i=1}^n{a}_i{v}_i=a_1{v}_1+\dots +a_n{v}_n\in V$.

Si definisce inoltre il sottospazio generato dai $v_1,\mathrm{...},v_n$ l'insieme delle combinazioni lineari dei $v_1,\mathrm{...},v_n$, cioè:

$ℒ(v_1,\mathrm{...},v_n)=\{v_i\in V,a_i\in ℝ\mid \sum _{i=1}^n{a}_i{v}_i\}$

Dunque, dato $U$ uno spazio vettoriale e $V\le U$ sottospazio vettoriale, diremo che i vettori $v_1,v_2,\dots ,v_n$ generano il sottospazio $V$ se tutti gli elementi di $V$ possono essere scritti come combinazione lineare dei vettori $v_i$.

È facilmente verificabile che esso è effettivamente un sottospazio di $V$ e potete provare a farlo come esercizio.

Si osservi che dalla sola definizione data non è necessario che tali generatori siano "necessari" per generare lo spazio. Non è escluso cioè che togliendo dall'insieme un vettore, il sottospazio vettoriale così generato resti lo stesso.

Esempi

• Dato un vettore non nullo $v\in V$ si ha che il sottospazio generato da $v$ (spesso indicato con $⟨v⟩$ o anche come $\text{span}(v)$ o come $ℒ(v)$) è l'insieme di tutti i multipli di $v$. La verifica delle proprietà di sottospazio è immediata.
• (solo per studenti con nozioni di geometria analitica) Consideriamo il sottospazio vettoriale di ${ℝ}^3$ con equazioni cartesiane $W:z=0$ nell'usuale sistema di coordinate. Si osserva facilmente che un insieme di generatori di tale sottospazio è dato dai vettori $\hat{i},\hat{j}$ definiti nell'esempio successivo.

Infatti un generico punto del sottospazio ha la forma $w=\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ 0\end{array}\right)$ e può quindi essere scritto come $w=w_1\hat{i}+w_2\hat{j}$.

Questo dimostra che il sottospazio generato da $\hat{i}$ e $\hat{j}$ contiene $W$. Il viceversa è banalmente vero unicamente osservando che i due generatori appartengono entrambi al sottospazio $W$.

• Rispetto all'esempio appena considerato si può osservare che qualsiasi coppia di vettori della forma $k_i\hat{i},k_j\hat{j}$ con $k_i,k_j\ne 0$, genera lo stesso sottospazio $W$.

Dipendenza e indipendenza lineare

Definizione: un insieme di vettori $v_1,\mathrm{...},v_n\in V$ si dicono linearmente dipendenti se esistono degli $a_1,\mathrm{...},a_n\in ℝ$ non tutti nulli tali che

$a_1{v}_1+\mathrm{...}+a_n{v}_n=O$.

Viceversa, i vettori si dicono linearmente indipendenti, ovvero se

$a_1{v}_1+\mathrm{...}+a_n{v}_n=O\Rightarrow a_1=\mathrm{...}=a_n=0$.

Vedremo più avanti, quando studieremo i sistemi lineari, metodi più efficaci per determinare la dipendenza o indipendenza lineare di un insieme vettori. In ogni caso, facciamone comunque qualche esempio utile a chi ha già nozioni di sistemi lineari e rango di una matrice.

Esempi

Consideriamo lo spazio vettoriale reale ${ℝ}^2$. Verifichiamo che i vettori $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$ sono linearmente indipendenti. Prendiamo in esame una generica combinazione lineare a coefficienti reali dei due vettori e mostriamo che essa è il vettore nullo se e soltanto se entrambi i coefficienti sono nulli. Una generica combinazione lineare dei due vettori è il vettore della forma

$x\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)\text{con }x,y\in ℝ$

Analizziamo ora le implicazioni che derivano dal supporre che una tale combinazione risulti essere il vettore nullo

$x\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

riscrivendo tale condizione si ottiene il seguenti sistema

$\{\begin{array}{c}1x+2y=0\\ 1x+3y=0\end{array}$

il quale ha solo la soluzione banale $x=y=0$. Abbiamo dunque mostrato che ogni combinazione lineare dei due vettori è il vettore nullo se e soltanto se i coefficienti di tale combinazione lineare sono nulli. Questo dimostra che i due vettori sono linearmente indipendenti.

Analogamente all'esempio 1 si può mostrare che i versori di ${ℝ}^3$:

$\hat{i}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)\hat{j}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\hat{k}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

sono linearmente indipendenti. Daremo di seguito una dimostrazione alternativa allo scopo di mostrare un altro approccio all'indipendenza lineare basato sulle matrici. Dalla definizione di indipendenza lineare segue che, se $\hat{i},\hat{j}$ e $\hat{k}$ non fossero linearmente indipendenti, esisterebbero tre coefficienti scalari non nulli

$x_i,x_j$ e $x_k$ tali che $x_i\hat{i}+x_j\hat{j}+x_k\hat{k}=0$.

Questa condizione si può banalmente riscrivere come $x_i\hat{i}+x_j\hat{j}=-x_k\hat{k}$, il che significa che se $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$ non sono linearmente indipendenti uno di essi (nel nostro caso $\hat{k}$) appartiene al sottospazio vettoriale generato dagli altri due. Possiamo quindi dire che la matrice costituita dai tre vettori non avrà rango massimo, in particolare in questo caso sarà:

$\mathrm{r}\mathrm{g}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)<3$

ma questo è assurdo essendo la matrice esattamente la matrice identica. Questo ragionamento dà una caratterizzazione equivalente dell'indipendenza lineare, ovvero:

I vettori $v_1,\dots ,v_n\in V$ sono linearmente indipendenti se e solo se la matrice $A$ che ha come colonne tali vettori ha rango massimo