Un insieme di vettori
appartenenti ad un qualsiasi campo formano uno spazio vettoriale se
è un gruppo abeliano e
, con
prodotto per uno scalare, gode della proprietà distributiva, associativa, esistenza dell'elemento neutro e dello 0. In altri termini, esplicitando le proprietà:











Un sottospazio vettoriale di
è un insieme
con la proprietà di chiusura per le operazioni di somma e prodotto per uno scalare, cioè:

e si indica scrivendo
Esempi di spazi e sottospazi vettoriali
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è uno spazio vettoriale. Infatti soddisfa tutte le proprietà descritte sopra.
Combinazioni lineari di vettori
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Definizione: si definisce
combinazione lineare di

vettori

con coefficienti

il vettore
.
Si definisce inoltre il sottospazio generato dai
l'insieme delle combinazioni lineari dei
, cioè:

Dunque, dato
uno spazio vettoriale e
sottospazio vettoriale, diremo che i vettori
generano il sottospazio
se tutti gli elementi di
possono essere scritti come combinazione lineare dei vettori
.
È facilmente verificabile che esso è effettivamente un sottospazio di
e potete provare a farlo come esercizio.
Si osservi che dalla sola definizione data non è necessario che tali generatori siano "necessari" per generare lo spazio. Non è escluso cioè che togliendo dall'insieme un vettore, il sottospazio vettoriale così generato resti lo stesso.
- Dato un vettore non nullo
si ha che il sottospazio generato da
(spesso indicato con
o anche come
o come
) è l'insieme di tutti i multipli di
. La verifica delle proprietà di sottospazio è immediata.
- (solo per studenti con nozioni di geometria analitica) Consideriamo il sottospazio vettoriale di
con equazioni cartesiane
nell'usuale sistema di coordinate. Si osserva facilmente che un insieme di generatori di tale sottospazio è dato dai vettori
definiti nell'esempio successivo.
Infatti un generico punto del sottospazio ha la forma
e può quindi essere scritto come
.
Questo dimostra che il sottospazio generato da
e
contiene
. Il viceversa è banalmente vero unicamente osservando che i due generatori appartengono entrambi al sottospazio
.
- Rispetto all'esempio appena considerato si può osservare che qualsiasi coppia di vettori della forma
con
, genera lo stesso sottospazio
.
Dipendenza e indipendenza lineare
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Definizione: un insieme di vettori
si dicono linearmente dipendenti se esistono degli
non tutti nulli tali che
.
Viceversa, i vettori si dicono linearmente indipendenti, ovvero se
.
Vedremo più avanti, quando studieremo i sistemi lineari, metodi più efficaci per determinare la dipendenza o indipendenza lineare di un insieme vettori.
In ogni caso, facciamone comunque qualche esempio utile a chi ha già nozioni di sistemi lineari e rango di una matrice.
Consideriamo lo spazio vettoriale reale
. Verifichiamo che i vettori
,
sono linearmente indipendenti.
Prendiamo in esame una generica combinazione lineare a coefficienti reali dei due vettori e mostriamo che essa è il vettore nullo se e soltanto se entrambi i coefficienti sono nulli.
Una generica combinazione lineare dei due vettori è il vettore della forma

Analizziamo ora le implicazioni che derivano dal supporre che una tale combinazione risulti essere il vettore nullo

riscrivendo tale condizione si ottiene il seguenti sistema

il quale ha solo la soluzione banale
.
Abbiamo dunque mostrato che ogni combinazione lineare dei due vettori è il vettore nullo se e soltanto se i coefficienti di tale combinazione lineare sono nulli. Questo dimostra che i due vettori sono linearmente indipendenti.
Analogamente all'esempio 1 si può mostrare che i versori di
:

sono linearmente indipendenti. Daremo di seguito una dimostrazione alternativa allo scopo di mostrare un altro approccio all'indipendenza lineare basato sulle matrici.
Dalla definizione di indipendenza lineare segue che, se
e
non fossero linearmente indipendenti, esisterebbero tre coefficienti scalari non nulli
e
tali che
.
Questa condizione si può banalmente riscrivere come
, il che significa che se
non sono linearmente indipendenti uno di essi (nel nostro caso
) appartiene al sottospazio vettoriale generato dagli altri due.
Possiamo quindi dire che la matrice costituita dai tre vettori non avrà rango massimo, in particolare in questo caso sarà:
ma questo è assurdo essendo la matrice esattamente la matrice identica.
Questo ragionamento dà una caratterizzazione equivalente dell'indipendenza lineare, ovvero:
I vettori

sono
linearmente indipendenti se e solo se la matrice

che ha come colonne tali vettori ha rango massimo