Il Modello di fluido

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Nell'idraulica un fluido è visto come un aggregato rigorosamente continuo di particelle interagenti tra loro, dotate di volume e forma dipendenti dalla particolare situazione oggetto di studio. In ogni caso alle particelle è attribuita una dimensione sempre trascurabile rispetto alle dimensioni dello spazio sede del fluido. Tale modello non è in contrapposizione al modello di fluido inteso come aggregato di molecole situate a distanza reciproca grande, bensì una semplificazione in quanto in un mezzo discontinuo non ha senso parlare di grandezze come la velocità, la densità, la pressione che varierebbero con discontinuità nello spazio. Si giunge al modello di sistema continuo prendendo un volume di particelle né troppo piccolo né troppo grande di molecole. Infatti con un volume troppo piccolo si avrebbero grandi fluttuazioni di N, numero di molecole, con conseguente grande variazione di densità; al contrario, prendendo un volume troppo grande, si perderebbero informazioni significative di grandezze. Questo volume prende il nome di particella fluida.

Densità

Adottando questa impostazione ogni particella è caratterizzata da un volume $dv\;$ e da una massa $dm\;$; la densità altro non è che il rapporto, sempre finito e positivo: $\rho ={\frac {dm\;}{dv\;}}$. Poiché tale valore di densità generalmente varia sia in funzione della posizione del punto P, centro di massa della particella fluida considerata e sia dal tempo, allora è possibile individuare una funzione continua: $\rho =\rho ({\vec {r}},t)$.

Il sistema di riferimento

La posizione del punto P della generica particella fluida è definita rispetto ad un sistema di riferimento costituito da tre assi mutuamente perpendicolari aventi origine in un punto $O$ fissato. Il centro di massa P è, quindi, definito da tre numeri $x_{k}$(coordinate), con $k=1,2,3$, che rappresentano le distanze di $P$ dai piani coordinati $(x_{i},x_{j})$. Le tre coordinate $x_{k}$ possono essere combinate per definire un segmento orientato di retta (il raggio vettore) passante per l'origine e per il punto indicato dalle coordinate. Quindi le coordinate $x_{k}$ altro non sono che le misure delle proiezioni del raggio vettore ${\vec {r}}=x_{k}{\widehat {e_{k}}}$ sugli assi del sistema di riferimento dove $e_{k}$ è il versore dell'asse $x_{k}$. Spostando l'origine o ruotando gli assi avviene la trasformazione del sistema di coordinate $S(0,x_{k})$ nel sistema $S'(0',x_{k}')$ e le componenti di ${\vec {r}}$ si trasformano secondo la regola di trasformazione delle proiezioni di segmenti geometrici:

${\begin{Bmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\\x_{3}'\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}\cdot {\begin{Bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{Bmatrix}}$

dove ${\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}$ è la matrice di rotazione ortogonale avente come elementi i coseni degli angoli tra gli assi corrispondenti nei due sistemi di coordinate.

Le forze agenti

Sulla generica particella $i$ di massa $\rho dv$, interna al fluido ed individuata dal raggio vettore ${\vec {r}}_{i}$ agiscono due tipi di forze: le forze esterne e le forze interne.