Gruppi e sottogruppi (algebra)

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lezione
Gruppi e sottogruppi (algebra)
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra

Operazione binaria[modifica]

Una operazione binaria su un dato insieme non vuoto è una funzione

.

Non useremo mai la notazione per indicare l'immagine di mediante la funzione , ma scriveremo più semplicemente .

Inoltre chiameremo magma l'oggetto , dove è detto sostegno del magma.

Semigruppi[modifica]

Un semigruppo è una magma , dove è una operazione binaria associativa, ovvero tale che per ogni si ha

.

Un esempio di semigruppo è dato da ossia dai naturali con l'usuale operazione di somma.

Elemento Neutro & Monoidi[modifica]

Sia un magma; un elemento è detto elemento neutro se e solo se

.

Se un magma ha elemento neutro allora esso è unico. Infatti sia un elemento neutro e lo sia anche . Si ha, essendo entrambi elementi neutri,

.

Chiameremo monoide un semigruppo con elemento neutro; in tal caso scriveremo , dove è l'elemento neutro del magma .

Elementi invertibili & Gruppi[modifica]

Sia un monoide; un elemento si dice invertibile se esiste un , che in seguito verrà denotato con , tale che

indicheremo con

l'insieme degli elementi invertibili del monoide . Un gruppo è un monoide in cui

ovvero un monoide i cui elementi sono tutti invertibili. Un gruppo è detto abeliano se

.

Sottogruppi[modifica]

Sia un gruppo; un sottoinsieme è detto sottogruppo del gruppo , e scriveremo , se valgono

Si noti che la condizione che vi appartenga l'elemento neutro non è necessaria: infatti se allora vi apparterrà anche e il loro prodotto .

Una caratterizzazione[modifica]

Un sottoinsieme , con gruppo, è un sottogruppo se e solo se

Infatti se