Analisi matematica > Funzioni monotone
- Indice delle lezioni di:
- Torna al corso:
Si dice che una funzione è monotona
- crescente quando
- strettamente crescente quando
- decrescente quando
- strettamente decrescente quando
nota
|
Per indicare una funzione monotona crescente o decrescente, a volte scriveremo e .
|
Esistenza del limite per le funzioni monotone
[modifica]
Sia . Allora:
- e
- e
- e
- e
In conclusione: ogni funzione monotona ha limite in ogni punto del suo dominio.
Dimostriamo solo la prima come titolo di esempio.
Supponiamo dapprima .
Per definizione di estremo inferiore, se è l'estremo inferiore, allora è il più grande dei minoranti (in , non dimentichiamolo) di . Dunque, se aggiungiamo qualcosa a , non è più un minorante e dunque esiste in un qualche valore che chiamiamo tale che sia minore di , cioè
- .
D'altra parte, per la monotonia (crescente) di ,
- ed in particolare se . Conseguentemente
- e questo vale quindi, per ogni tale che .
D'altra parte, poiché , abbiamo che
- e conseguentemente
- .
Dunque abbiamo visto che è compresa tra e per degli opportuni e sentiamo già odore di definizione di limite!
Infatti
Volendo trovare una definizione più simile a quella a cui siamo abituati, poniamo (che è maggiore di zero) si ha
che è la definizione di questo limite:
Se invece , abbiamo che
- .
Poiché è monotona crescente, si ha (e naturalmente . Dunque, ponendo anche qui , abbiamo:
che è la definizione di questo limite:
La funzione logaritmo è monotona crescente strettamente in quanto se , si ha che perché .
Dunque, per il Teorema visto prima, dovremmo avere esiste ed è uguale al .
d'altra parte, che diverge, dunque non ci può essere estremo superiore reale (visto che non converge) e . Dunque, per il precedente Teorema,
come si voleva dimostrare.
Per quanto visto prima, la funzione logaritmo è strettamente crescente, dunque ci aspettiamo che il limite che vogliamo dimostrare sia effettivamente (sempre per il Teorema).
Per il Teorema precedente, dovremmo avere esiste ed è uguale al . Ora, come abbiamo fatto prima, notiamo che e siccome è una successione divergente a , allora certamente sarà anche lui . Dunque, per il Teorema precedente, .
Altri progetti