Formulario di Sistemi Energetici

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Questa pagina raccoglie formule e strategie di soluzione per il calcolo e la progettazione di specifici problemi.

Fisica dei gas

• x: frazione volumica
• y: frazione massica

• Portata molare e massica
  • ${\dot {n}}_{i}={\frac {{\dot {m}}_{i}}{W_{i}}}={\frac {y_{i}}{W_{i}}}\cdot {\dot {m}}_{tot}=x_{i}\cdot {\dot {n}}_{tot}$
  • ${\dot {m}}_{i}=y_{i}\cdot {\dot {m}}_{tot}$

• Costante dei gas perfetti:
  • R_u = 8,31 kJ/kmol = 8310 J/kmol
  • R*_i = R_u / W_i
  • R_aria = R_u / (X_i W_i + ...) = R_u / ( 0,77 W_N2 + 0,2022,414 W_O2 + ... )

• Calori specifici:
  • Cp = Cv + R = R γ / (γ-1)
  • γ = Cp/(Cp-R)
  • Calore specifico di una miscela di gas (ad esempio gas naturale):

$c_{p,i}={\frac {1}{W_{mix}}}\cdot \sum _{i}x_{i}\cdot W_{i}\cdot (\alpha +\beta \cdot T_{mix})$

con T in kelvin [K].

• Trasformazioni dei gas perfetti:
  • Trasformazione adiabatica iso-entropica:

${\frac {p_{2}}{p_{1}}}=\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\qquad pv^{\gamma }=cost\qquad pT^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}=cost\qquad \rho T^{\frac {1}{\gamma -1}}=cost$

• Temperatura di rugiada (stima):

T_rug,i = T_ev,i(p_parz,i) = T_ev(x_i p)

• Conversione da portate in Standard metricubi [Sm3/s]: metri cubi in condizioni standard (25°C = 298,15 K ; 1atm = 101300 Pa)

${\dot {m}}={\dot {V}}\left[{\frac {Sm^{3}}{s}}\right]\cdot \rho ={\dot {V}}\left[{\frac {Sm^{3}}{s}}\right]\cdot {\frac {R^{*}\cdot T_{std}}{p_{std}}}$

Proprietà dell'aria in condizioni ambiente:

• R* = 287,05 J/(kg K)
• Cp = 1005 J/(kg K) = 1,005 kJ/(kg K)
• W = 28,96 g/mol [= kg/kmol]

Proprietà dell'acqua in condizioni ambiente:

• c = 4186 J/(kg K) = 4,186 kJ/(kg K)
• ρ = 1000 kg/m³ (condizioni ambiente)
• ν = 0,001 m³/kg (condizioni ambiente)

Combustione

Calcolo del Potere Calorifico

Il PCI si può calcolare con semplici considerazioni di chimica e con una buona affidabilità solo per la combustione dei gas. Ecco un esempio per il calcolo del PCI din un gas naturale:

Il PCI di una miscela di gas corrisponde alla media dei PCI dei componenti pesati sulle proprie frazioni massiche:

$PCI_{gn}={\frac {x_{i}\cdot PCI_{i}+...}{x_{i}\cdot MM_{i}+...}}$

Il PCI di ogni gas è stimabile conoscendo la formulazione del comburente e quella dei prodotti stabili (per gli idrocarburi tipicamente solo CO₂ e H₂O), in questo caso:

CH4 → CO2 + 2 H2O

Dunque il PCI vale come l'entalpia molare di formazione dei reagenti meno quella dei prodotti:

$PCI_{CH_{4}}={\tilde {\Delta H}}_{f,CH_{4}}^{o}-({\tilde {\Delta H}}_{f,CO_{2}}^{o}+2\cdot {\tilde {\Delta H}}_{f,H_{2}O}^{o})$

Nota: Per compiere questi calcoli è necessario bilanciare la reazione di combustione e conoscere le entalpie di formazione di reagenti e prodotti.

Prodotti di combustione

Per gas e per combustibili solidi (carbone) si utilizzano procedure piuttosto differenti.

Combustione di Gas

Consideriamo a titolo di esempio la combustione di un certo gas naturale con composizione %vol (ovvero frazione molare),
massa molare (W) e entalpia di formazione standard (ovvero 25°C):
CH4: 90%, W=16,043 kg/kmol, ΔH°f=-74.872 MJ/kmol
C2H6: 6%, etc...
N2: 4%
In aria considerata come:
N2: 77,3%
O2: 20,7%
H2O: 1,03%
Ar: 0,97%
e note le entalpie di formazione dei gas prodotti (CO2, H2O, N2, etc...)

La reazione coinvolge combustibile (miscela di gas CH4, ...), aria (miscela di gas, scritta in riferimento alle moli di O2 e con l' eccesso d'aria ε impostato:

$\beta _{O_{2}}=(1+\epsilon )\cdot \beta _{O_{2}}^{st}$ )

• Si scrive la reazione con le relative frazioni molari della miscela gassosa di combustibile, con β_O2 reale

$x_{CH_{4}}\cdot CH_{4}\quad +\quad ...\quad +\quad \beta _{O_{2}}\cdot \left(O_{2}\quad +\quad {\frac {x_{N_{2}}}{x_{O_{2}}}}\cdot N_{2}+...\right)\quad \rightarrow \quad a\cdot CO_{2}\quad +\quad b\cdot H_{2}O\quad +\quad c\cdot N_{2}\quad +\quad d\cdot Ar\quad +\quad e\cdot O_{2}$

con β_O2 calcolabile come:

${\begin{aligned}\beta _{O_{2}}=(1+\epsilon )\cdot \beta _{O_{2}}^{st}&=(1+\epsilon )\cdot (n_{C}+{\frac {n_{H}}{4}}-{\frac {n_{O}}{2}})=\\&=(1+\epsilon )\cdot \left[(0,9\cdot 1+0,06\cdot 2)+{\frac {0,9\cdot 4+0,06\cdot 6}{4}}\right]=...\end{aligned}}$

né l'umidità del combustibile, né le ceneri, né i composti dell'aria vengono contati in β_O2.

• Si trovano le moli prodotte (a, b, c, ...) tramite il bilancio di tutte le specie atomiche (C,H,O,N, Ar):

${\begin{cases}C:\qquad 0,9\cdot 1+0,06\cdot 2=a&\rightarrow a=1,020\qquad {\mbox{(CO2)}}\\H:\qquad 0,9\cdot 4+0,06\cdot 6+\beta _{O_{2}}\cdot {\frac {1,03}{20,7}}\cdot 2=b\cdot 2&\rightarrow b=2,096\qquad {\mbox{(H2O)}}\\O:\qquad \beta _{O_{2}}\cdot (2+{\frac {1,03}{20,7}}\cdot 1)=2\cdot a+1\cdot b+2\cdot e&\rightarrow e=0,321\qquad {\mbox{(O2)}}\\N:\qquad \beta _{O_{2}}\cdot {\frac {0,773}{0,207}}\cdot 2=2\cdot c\\Ar:\qquad \beta _{O_{2}}\cdot {\frac {0,0097}{0,207}}=d\end{cases}}$

• Trovati a, b, c, ... (n° di moli di gas prodotti per 1 mole di combustibile), è semplice trovare le frazioni molari x_i e massiche y_i:

${\begin{cases}\chi _{CO_{2}}={\frac {a}{a+b+c+...}}&\qquad \rightarrow y_{CO_{2}}={\frac {\chi _{CO_{2}}\cdot W_{CO_{2}}}{W_{f}}}\\\chi _{H_{2}O}={\frac {b}{a+b+c+...}}&\qquad \rightarrow y_{H_{2}O}={\frac {\chi _{H_{2}O}\cdot W_{H_{2}O}}{W_{f}}}\\\chi _{N_{2}}=...&\qquad \rightarrow ...\\\chi _{Ar}=...\\\chi _{O_{2}}=...\end{cases}}$

con Wgn massa molare della miscela di gas costituente i fumi in questione:

$W_{f}=x_{i}\cdot W_{i}+...=0,9\cdot W_{CH_{4}}+0,06\cdot W_{C_{2}H_{6}}+...$

Combustione di combustibile solido

Per il combustibile solido non si conosce la formulazione chimica esatta perché tipicamente è un materiale chimicamente non omogeneo. Tuttavia materiali da combustione come carbone, legna, etc. possono essere sottoposti ad un'analisi che riporti i valori medi dei componenti della frazione volatile del combustibile (CHOSN), dell'umidità e della frazione di ceneri.

 Ad esempio, noto che un tale carbone contenga come percentuale in peso:
C 61%
H 4%
O 9%
S 1%
N 3%
Ceneri 8%
Umidità 12%
 In aria considerata come:
N2: 77,3%
O2: 20,7%
H2O: 1,03%
Ar: 0,97%

• Si scrive la reazione con i componenti del combustibile in relazione ad una mole di carbonio e per l'aria in relazione ad β_O2 moli di ossigeno molecolare (contando l'umidità - che è inerte ma è anche un prodotto - ma NON le ceneri, inerti e mai coinvolte):

$CH_{\gamma }O_{\delta }S_{\phi }N_{\rho }\;+\;\theta \cdot H_{2}O\;+\;\beta _{O_{2/C}}\cdot \left(O_{2}\;+\;{\frac {x_{N_{2}}}{x_{O_{2}}}}N_{2}+...\right)\rightarrow a\cdot CO_{2}\;+\;b\cdot H_{2}O\;+\;c\cdot N_{2}\;+\;d\cdot SO_{2}\;+\;e\cdot Ar\;+\;f\cdot O_{2}$

con le frazioni molari normalizzate rispetto al carbonio calcolate come:

${\begin{cases}\gamma =\chi _{H_{/C}}={\frac {n_{H}}{n_{C}}}={\frac {y_{H}}{y_{C}}}\cdot {\frac {W_{C}}{W_{H}}}\\\delta =\chi _{O_{/C}}={\frac {y_{O}}{y_{C}}}={\frac {n_{O}}{n_{C}}}=\cdot {\frac {W_{C}}{W_{O}}}\\\phi =...\\\rho =...\\\theta =...\end{cases}}$

e β_O2/C calcolabile come:

${\begin{aligned}\beta _{O_{2/C}}=(1+\epsilon )\cdot \beta _{O_{2/C}}^{st}&=(1+\epsilon )\cdot {\frac {1}{n_{C}}}\cdot (n_{C}+{\frac {n_{H}}{4}}+n_{s}-{\frac {n_{O}}{2}})=\\&=(1+\epsilon )\cdot \left(1+{\frac {\gamma }{4}}+\phi -{\frac {\delta }{2}}\right)=...\end{aligned}}$

né l'umidità del combustibile, né le ceneri, né i composti dell'aria vengono contati in β_O2/C.

• Si trovano le moli prodotte (a, b, c, ...) tramite il bilancio di tutte le specie atomiche (C,H,O,S,N,Ar):

${\begin{cases}C:\qquad 1=a&\rightarrow a=1\qquad {\mbox{(CO2)}}\\H:\qquad \gamma +\theta \cdot 2+\beta _{O_{2}/C}\cdot {\frac {x_{H_{2}O}}{x_{O_{2}}}}=b\cdot 2&\rightarrow b=...\qquad {\mbox{(H2O)}}\\O:\qquad \delta +\beta _{O_{2/C}}\cdot 2+2\cdot \theta =a\cdot 2+b+f\cdot 2\\N:\qquad ...\\Ar:\qquad ...\end{cases}}$

• Trovati a, b, c, ... (n° di moli di gas prodotti per 1 mole di combustibile) - contando contando la frazione di umidità ma non di ceneri - è semplice trovare le frazioni molari x_i e massiche y_i:

${\begin{cases}\chi _{CO_{2}}={\frac {a}{a+b+c+...}}&\qquad \rightarrow y_{CO_{2}}={\frac {\chi _{CO_{2}}\cdot W_{CO_{2}}}{W_{f}}}\\\chi _{H_{2}O}={\frac {b}{a+b+c+...}}&\qquad \rightarrow ...\\\chi _{N_{2}}=...\\\chi _{Ar}=...\\\chi _{O_{2}}=...\end{cases}}$

Nota:

il β_O2 usato per calcolare α NON è β_O2/C, come anche NON si usano γ, θ, Φ, etc. ma semplici frazioni molari (x_i = y_i / W_i ) (vedi Rapporto stechiometrico)

Emissioni e concentrazione

• Emissione: portata massica di un certo prodotto.

Noto che n_i = # · n_reag:

$E_{i}={\dot {m}}_{i}={\dot {m}}_{f}\cdot y_{i}={\dot {m}}_{comb}\cdot y_{reag}\cdot {\frac {W_{i}\cdot {\mbox{n.atomiReagInProdotto}}}{W_{reag}}}$

Oppure a partire dalla portata dei fumi:

$E_{i}={\dot {n}}_{i}\cdot W_{i}=({\dot {n}}_{f}\cdot x_{i})\cdot W_{i}=\left({\frac {{\dot {m}}_{f}}{W_{f}}}\cdot x_{i}\right)\cdot W_{i}$

Ad esempio, per SO2 prodotto da combustione di carbone ( nS = 1· nSO2 ):

$E_{SO2}={\dot {m}}_{SO_{2}}={\dot {m}}_{f}\cdot y_{SO2}={\dot {m}}_{carbone}\cdot y_{S,carbone}\cdot {\frac {W_{SO2}\cdot 1}{W_{S}}}$

oppure CO2 prodotto per combustione di gas naturale ( nC = 1· nCO2 ):

$E_{CO2}={\dot {m}}_{CO_{2}}={\dot {m}}_{f}\cdot y_{CO2}={\dot {m}}_{gn}\cdot y_{C,gn}\cdot {\frac {W_{CO2}\cdot 1}{W_{C}}}={\dot {m}}_{gn}\cdot {\frac {n_{C,gn}\cdot W_{C}}{W_{gn}}}\cdot {\frac {W_{CO2}\cdot 1}{W_{C}}}={\dot {n}}_{CO_{2},f}\cdot W_{CO_{2}}\cdot 1$

Note:

• a questa quantità prodotta dal carbonio del gas combusto, va sommata quella eventualmente già presente nell'aria in ingresso
• con, ad esempio con un gas naturale composto da 0,9 CH4 + 0,075 C2H6 + 0,015 CO2 ---> n_C,gn = 0,9 + 2*0,075 + 0,015

Oppure ad esempio nota la portata di fumi e la loro composizione molare:

$E_{CO2}={\dot {n}}_{CO2}\cdot W_{CO2}=({\dot {n}}_{f}\cdot x_{CO2})\cdot W_{CO2}=\left({\frac {{\dot {m}}_{f}}{W_{f}}}\cdot x_{CO2}\right)\cdot W_{CO2}$

• Emissione specifica: portata massica di un certo prodotto per ogni unità di energia utile prodotta

${\tilde {E}}_{i}={\frac {{\dot {m}}_{i}\cdot 3600{\frac {s}{h}}}{P_{el}\cdot 1h}}$

• Concentrazione:

$C_{i}\left[{\frac {kg}{Nm^{3}}}\right]={\frac {{\dot {m}}_{i}}{\dot {V}}}={\frac {{\dot {n}}_{i}\cdot W_{i}}{{\dot {n}}_{f}\cdot 22,414m^{3}/kmol}}={\frac {({\dot {n}}_{f}\cdot X_{i})\cdot W_{i}}{{\dot {n}}_{f}\cdot 22,414m^{3}/kmol}}$

Note:

• se si intende avere il risultato in [mg/Nm3] allora il risultato va moltiplicato per 10⁶.
• $1Nm^{3}=44,615\cdot 10^{3}kmol$ quindi ${\dot {n}}_{f}={\dot {V}}_{[Nm^{3}]}\cdot 44,615\cdot 10^{3}{\frac {kmol}{Nm^{3}}}$

Trattamento fumi: Essiccamento, diluizione e desolforazione

La composizione dei fumi, per essere confrontata in modo obiettivo, viene espressa solitamente sotto forma di fumi secchi (senza H2O) e normalizzati (ovvero con una definita frazione di ossigeno, indipendente dall'eccesso d'aria). Inoltre, i fumi prodotti da combustibili contenenti zolfo e altri inquinanti ricevono un trattamento di rimozione di tali inquinanti. In particolare per combustibili come il carbone si effettua la rimozione dell'SO2 con un desolforatore, che è uno dei pochi inquinanti presenti in quantità significative dal punto di vista massico.

Il sistema fittizio-reale viene qui considerato con questa notazione:

CALDAIA -- f+z (fumi umidi con zolfo) --> DESOLFORATORE -- f (fumi desolforati) --> ESSICCATORE -- fs (fumi secchi) --> DILUITORE -- fs,N (fumi secchi normalizzati) --> Misurazione al CAMINO

• Normalizzatore

Il normalizzatore è un componente fittizio che aggiunge o sottrae aria secca ai fumi, in modo da portarla al tenore di O₂ voluto:

$X_{NO_{X}}^{fs,N}=X_{NO_{X}}^{fs}\cdot \left({\frac {X_{O_{2}}^{fs,N}-X_{O_{2}}^{dil,S}}{X_{O_{2}}^{fs}-X_{O_{2}}^{dil,S}}}\right)$

con:

$x_{O2}^{fs}=x_{O_{2}}^{f}/(1-x_{H_{2}O}^{f})$

$x_{O2}^{dil,s}=x_{O_{2}}^{ar.um.}/(1-x_{H_{2}O}^{ar.um.})$

• Essiccatore

L'essiccatore è un componente fittizio che sottrae la frazione umida ai fumi:

$X_{NO_{X}}^{f}=X_{NO_{X}}^{fs}\cdot \left(1-X_{H_{2}O}^{f}\right)$

oppure, talvolta può essere vantaggioso calcolare la frazione molare secca come:

$X_{SO_{2}}^{fs}={\frac {{\dot {n}}_{S}^{f+z}}{{\dot {n}}_{CO_{2}}^{f+z}+{\dot {n}}_{N_{2}}^{f+z}+{\dot {n}}_{O_{2}}^{f+z}+{\dot {n}}_{SO_{2}}^{f+z}+{\dot {n}}_{H_{2}O}}}^{f+z}$

dove tuttavia nH2O è nullo visto che si cercano fumi secchi e nO2 può essere nullo se la combustione è stechiometrica o se poi la concentrazione di ossigeno verrà normalizzata ad un valore predefinito.

con:

• $n_{CO_{2}}^{f+z}={\frac {{\dot {m}}_{c}\cdot x_{SO_{2}}\cdot 1}{W_{C}}}$ come esempio per i composti dovuti solo alla combustione
• $n_{N_{2}}^{f+z}={\frac {{\dot {m}}_{c}\cdot x_{N}\cdot {\frac {1}{2}}}{W_{N}}}+{\dot {m}}_{c}\cdot \beta _{O_{2}}\cdot {\frac {0,79}{0,21}}$ come esempio per i composti anche già presenti nel comburente.

• Desolforatore

Il desolforatore è un componente reale che sottrae la frazione di SO₂ dai fumi:

$X_{O_{2},f}=X_{O_{2},f+z}/\left(1-X_{SO_{2},f}\right)$

oppure:

$X_{O_{2}}^{f}={\frac {X_{O_{2}}^{f+z}}{1-X_{SO_{2}}^{f+z}\cdot \eta _{DES}}}$

oppure ancora:

$\%abbatt=1-{\frac {{\dot {m}}_{SO_{2}}^{fs}}{{\dot {m}}_{SO_{2}}^{fs+z}}}=1-{\frac {X_{SO_{2}}^{fs,N}}{X_{SO_{2}}^{f+z,N}}}$

Temperatura al camino

La temperatura al camino (intesa come all'ingresso del camino) può essere limitata inferiormente dalla necessità di evitare eccessive condense acide, mantenendo la temperatura superiore ai 60-100 °C. Più esattamente la temperatura minima può essere individuata come la temperatura del punto di rugiada (dew point) di acidi derivanti dalla dissoluzione di SO₂ in H₂O, come H₂SO₂, H₂SO₄.

Rendimento di caldaia

Il rendimento di caldaia è indipendente dalla temperatura di fiamma.

$\eta _{cald}={\frac {{\dot {Q}}_{ut}}{{\dot {m}}_{comb}\cdot PCI}}$

La portata massica può facilmente essere stimata con un bilancio energetico.

Bilancio energetico in caldaia

${\dot {m}}_{a}\cdot \int _{Trif}^{Tamb}c_{Paria}\cdot dT\;+\;{\dot {m}}_{comb}\cdot \int _{Trif}^{Tcomb}c_{Pcomb}\cdot dT\;+\;{\dot {m}}_{comb}\cdot (1-\xi )\cdot PCI\;=\;{\dot {Q}}_{ut}\;+\;{\dot {m}}_{cen}\cdot c_{cen}\cdot (T_{cen}-T_{rif})\;+\;{\dot {m}}_{fumi}\cdot \int _{T_{rif}}^{T_{fumi}}c_{Pfumi}\cdot dT$

La temperatura di riferimento è 25°C.

Portate di combustibile e aria

La portata di combustibile e di aria si possono calcolare dal bilancio in caldaia più il calcolo di β_O2 da cui si ricava α, noto il lavoro utile (o da bilancio adiabatico nota T_{ad, fiamma}) isolando m_comb.

Temperatura adiabatica di fiamma

Per calcolare la temperatura adiabatica di fiamma si esegue un bilancio energetico considerando che tutto il calore sviluppato dalla reazione vada a scaldare i fumi (quindi no Qut)

${\dot {m}}_{a}\cdot \int _{Trif}^{Tamb}c_{Paria}\cdot dT\;+\;{\dot {m}}_{comb}\cdot \int _{T_{rif}}^{T_{comb}}c_{Pcomb}\cdot dT\;+\;\cdot PCI\;=\;{\dot {m}}_{fumi}\cdot \int _{T_{rif}}^{T_{fumi}}c_{Pfumi}\cdot dT$

In particolare la temperatura adiabatica di fiamma è espressa nella precedente equazione dal termine T_fumi. Tale valore corrisponde pertanto alla temperatura in uscita dei fumi, ottenuta a seguito del calore fornito rispettivamente nel preriscaldamento dell'aria comburente, del combustibile e del calore rilasciato durante la combustione, senza considerare il calore latente di vaporizzazione dell'acqua presente al termine della combustione stessa allo stato di vapore (potere calorifico inferiore), come indicato, per la prima volta, dallo studioso giapponese Ada Nascelo.

Eccesso d'aria ε (e rapporto α)

Nota la temperatura adiabatica di fiamma, è calcolabile l'eccesso d'aria e/o il rapporto stechiometrico α. Si procede con un bilancio adiabatico, elidendo in entrambi i termini dell'equazione il termine m_comb (questa operazione è possibile solo in un bilancio adiabatico, in cui non è presente il termine Q_ut e dunque tutti i termini dipendono da m_comb).

Rapporto stechiometrico

Il rapporto stechiometrico α è calcolabile a partire dalla conoscenza del combustibile e di conseguenza da β_O2.

$\beta _{O_{2}}=(1+\epsilon )\cdot \beta _{O_{2}}^{st}=(1+\epsilon )\cdot (n_{c}+{\frac {n_{H}}{4}}-{\frac {n_{O}}{2}}+n_{S})=\beta _{O_{2/C}}\cdot n_{C}$

$\alpha _{gas}={\frac {\beta _{O2}}{X_{O2}}}\cdot {\frac {W_{aria}}{W_{gas}}}\qquad oppure\qquad \alpha _{carbone}={\frac {\beta _{O2}}{X_{O2}}}\cdot W_{aria}$

con Xo2 = %vol di O₂ in aria

con β_{O2, carbone} calcolato a partire dalle frazioni NON normalizzate al carbonio: nH = y_H / W_H, etc.

Cicli: generalità

• Primo principio applicato al ciclo:

${\dot {Q}}_{in,Evap}-{\dot {W}}_{out,Turb-Pompe}=Q_{out,Cond}\,{\mbox{ per cicli diretti}}$

${\dot {Q}}_{in,Evap}+{\dot {W}}_{in,Compr}=Q_{out,Cond}\,{\mbox{ per cicli inversi}}$

• Diagramma di Mollier:
  • L'entalpia del fluido in fase liquida è minimamente influenzata dalla pressione, motivo per cui è realistico approssimare l'entalpia del liquido a qualunque pressione a quella del liquido saturo (fintantoché la differenza non sia elevata, Δp_i-sat>10 bar).

Tuttavia per il computo corretto si usa:

$h_{i}=h_{ls}(T_{i})+\nu \cdot (p_{i}-p_{sat}(T_{i}))$

(si ricordi di moltiplicare per 10² il termine in pressione se espresso in bar e l'entalpia espressa in kJ/kg)

Cicli a vapore

Per individuare le condizioni termodinamiche nei vari punti di un ciclo a vapore si utilizzano differenti strategie a seconda dei dati a disposizione e dello schema del ciclo.

Per condizioni termodinamiche si intendono pressione (p in [MPa]), temperatura (T in [K]), entalpia specifica (h in [kJ/kg]), entropia specifica (s in [kJ/(kg K)]) ed eventualmente anche titolo di vapore (se vapore bifasico, frazione di vapore / liquido [0-1]), volume massico (ν in [m3/kg] oppure ρ in [kg/m3]).

Scambiatori di calore

• Perdite di pressione:

$p_{out}=p_{in}\cdot \left(1-{\frac {\Delta p_{SC}}{p_{in}}}\right)$

• Approach point: differenza di temperatura tra i fumi e l'uscita del surriscaldatore (SH)
• Pinch point: differenza di temperatura tra i fumi e la temperatura di evaporazione in caldaia (EVA) (sub-cooling escluso, sebbene i bilanci si effettuino a sub-cooling compreso nell'evaporatore)
• Se multi-livello, a.p. e p.p. valgono per tutti gli SH e EVA del sistema

• Banchi in parallelo:
  • Stessa quantità di calore ceduta ai due scambiatori (dunque stesso salto entalpico del fluido vettore. Vedi grafico T-Q)
  • Senza informazioni più precise si può assumere che due scambiatori paralleli abbiano la stessa temperatura di ingresso (ma normalmente diverse temperature di uscita)

Evaporatori

• Temperatura e pressione costanti
• Tipicamente riceve il fluido ad una temperatura di sub-cooling
• Sistemi a più livelli di evaporazione hanno circuiti con diverse pressioni, diverse pompe di alimento, diversi ingressi in turbina

Condensatori

• Il fluido entra nel condensatore in forma di vapore, vapore saturo o miscela bifase (tipicamente x > 80%), nelle proporzioni:

$x_{v}={\frac {s_{in}-s_{ls|p_{cond}}}{s_{vs|p_{cond}}-s_{ls|p_{cond}}}}={\frac {h_{in}-h_{ls|p_{cond}}}{h_{vs|p_{cond}}-h_{ls|p_{cond}}}}$

• Temperatura e pressione costanti
• Il fluido esce in forma di liquido saturo (Tev,pev). Non esiste sub-cooling, sarebbe inutile e dannoso.
• È tipicamente seguito da una pompa di raccolta del condensato (perciò è utile già calcolare il ν all'uscita)

Turbine

Per le turbine, noto il rendimento isoentropico, vale:

$h_{out}=h_{in}-\eta _{is}(h_{in}-h_{out,is})$

con:

$s_{in}=s_{out,is}\Rightarrow h_{out,is}=f_{Moll}(s_{out,is},p_{out})$

Un fenomeno che si verifica comunemente all' ingresso turbina è il blocco della portata, che rende costante la frazione:

${\frac {{\dot {m}}{\sqrt {T}}}{p}}=cost$

Di conseguenza se rimangono invariati la temperatura d'ingresso turbina (Tin), le perdite di carico tra compressore e turbina (Δp_comb) e le condizioni di aspirazione (p,T)_amb, allora rimangono invariati anche portata (m_a), pressioni (p tra compressore e turbina), rapporto di compressione (β)

La potenza alle pale di una turbina P_pale è uguale all'entalpia ΔH ceduta al fluido (W = ΔH):

P_pale = m Δh

mentre la potenza elettrica generata:

P_el = m Δh η_el.mecc.

Pompe

• L'incremento di entalpia agli estremi di una pompa è dato dall'incremento di pressione più l'energia trasmessa come attriti-calore al fluido:

$h_{in}=h_{out}+{\frac {\nu _{in}\cdot (p_{out}-p_{in})}{\eta _{idr}}}=h_{out}+{\frac {P_{pale}}{\dot {m}}}$

Nota: si ricordi che h_out è espresso in kJ/kg mentre la frazione seguente è in J/kg con le unità del S.I. (Pa, m³/kg), quindi anche qui tipicamente si moltiplica per 10² il secondo termine.

• In un grafico T-s una pompa allontana lo stato del fluido dalla linea di saturazione
• L'entalpia di un fluido allo stato sotto-raffreddato è approssimabile a quella del liquido saturo alla stessa temperatura (vedi Generalità)
• L'incremento di temperatura è derivabile dall'incremento di entropia tramite un grafico di Mollier
• La potenza alle pale di una pompa P_pale è uguale all'entalpia ΔH ceduta al fluido (W = ΔH)

P_pale = m Δh

mentre la potenza elettrica:

P_el = m Δh / η_el.mecc.

• Il rendimento idraulico risulta anche:

$\eta _{idr}={\frac {\nu \cdot \Delta p[bar]\cdot 10^{2}}{P[kW]/{\dot {m}}}}$

Degasatore

Il degasatore non varia il contenuto energetico del fluido ma lo degasa mantenendo la temperatura di ebollizione. Per ottenere ciò il degasatore è composto da un boiler che in ingresso necessita di vapore (proveniente da uno spillamento oppure prodotto da un apposito scambiatore di calore in caldaia) che mantenga a temperatura di ebollizione il fluido che arriva dal condensatore ed esce degasato verso la caldaia.

Proprietà:

• Temperatura in ingresso ed uscita sono quella di ebollizione (stato di acqua satura)
• È necessario un apporto di calore alla temperatura di ebollizione: recuperabile con scambiatore in caldaia o da spillamento infra-turbina
• Tipicamente riceve il fluido ad una temperatura di sub-cooling

Valvole

In genere le valvole si considerano come valvole di laminazione iso-entalpica, quindi l'entalpia specifica del fluido rimane invariata.

h_IN = h_OUT

Tuttavia temperatura e pressione variano: sono calcolabili conoscendo le condizioni d'ingresso (o di uscita) tramite un diagramma di Mollier seguendo l'orizzontale (h costante) fino alle pressione (o temperatura) nota.

Per correlare titolo di vapore e grandezze di stato come entalpia e entropia si utilizza la relazione:

$x_{v_{i}}={\frac {h_{i}-h_{ls}|_{p_{i}}}{h_{vs}|_{p_{i}}-h_{ls}|_{p_{i}}}}={\frac {s_{i}-s_{ls}|_{p_{i}}}{s_{vs}|_{p_{i}}-s_{ls}|_{p_{i}}}}$

e la sua equivalente inversa:

$h_{i}=h_{ls}|_{p_{i}}+x_{v_{i}}\cdot (h_{vs}|_{p_{i}}-h_{ls}|_{p_{i}})$

Miscelazione, attemperamento

Per calcolare le condizioni dei punti di miscelazione si possono usare diverse strategie, a seconda dei dati noti:

        _______
1 ---> | |---> 3
       | mix |
2 ---> |_______|---> 4

• Bilancio delle portate massiche in entrata e uscita:

m1 + m2 = m3 + m4

• Bilancio delle entalpie (H = m · h) in entrata e uscita:

m1 · h1 + m2 · h2 = m3 · h3 + m4 · h4

oppure:

m1 · h1 + m2 · h2 = (m1 + m2) · h_mix

Potenza consumata dai ventilatori dell'aria

$P_{Vent}={\dot {V}}\cdot \Delta p=({\dot {m}}_{ar}\cdot \nu _{ar})\cdot \Delta p$

con

$\nu _{ar}={\frac {R_{ar}\cdot T_{ar}}{p_{ar}}}\qquad {\mbox{ con }}R_{ar}={\frac {R_{u}}{W_{ar}}}$

Torri evaporative

Fluidi in ingressi ed uscita da una torre:

• IN da tubo: Liquido refrigenrante caldo nebulizzato da condensare e raffreddare, proveniente dallo scambiatore
• IN da tubo: Acqua di reintegro
• IN da ambiente: Aria ambiente fredda
• OUT verso tubo: Liquido refrigerante freddo liquido condensato, diretto allo scambiatore
• OUT verso ambiente: Aria calda e satura di vapore acqueo (φ = 100%) (non esce vapore puro)
• OUT verso ambiente: Acqua trascinata in ambiente in stato liquido nebulizzato (talvolta trascurabile)
• IN/OUT: eventuale sistema di drenaggio residui solidi

La portata di aria da insufflare nella torre dipende dal calore da smaltire:

${\dot {Q}}={\dot {m}}_{ar}\cdot c_{p,ar}\cdot (T_{OUT,ar}-T_{IN,ar})\rightarrow {\dot {m}}_{ar}={\frac {Q}{c_{p,ar}\cdot (T_{OUT,ar}-T_{IN,ar})}}$

Nota: nel caso di un condensatore con circuito chiuso a torre evaporativa, il calore Q da smaltire corrisponde a quello ceduto dal ciclo tramite il condensatore:

${\dot {Q}}={\dot {m}}_{vap}\cdot (h_{IN,cond}-h_{OUT,cond})\;$ (non sempre m·Δh_ev !)

La portata di vapore emessa in atmosfera invece dipende dalla portata d'aria e dalle condizioni dell'aria IN/OUT:

${\dot {m}}_{vap}=m_{ar}\cdot (X_{H_{2}O,OUT}-X_{H_{2}O,IN})$

con Xv calcolabili con un diagramma psicrometrico a partire da φ e T IN/OUT.

Per calcolare il consumo di acqua, dispersa in atmosfera e anche drenata (per mantenere la concentrazione salina) e di conseguenza da reintegrare, si può effettuare un bilancio. Va tenuto conto che:

• I sali non vengono dispersi in atmosfera insieme alla porzione d'acqua che evapora e si diffonde in aria, ma si accumulano progressivamente nel liquido circolante.
• Per mantenere la concentrazione di sali entro certi limiti è sempre necessario un drenaggio (mentre il reintegro è necessario già soltanto per bilanciare l'acqua evaporata).
• Vale la relazione: m_reint = m_evap + m_trasc + m_dren
• Vale la relazione: m_reint=ini C_reint = (m_drift + m_dren) Cm_fin, che può essere accoppiata a scelte costruttive come C_fin = 3 C_ini

Note:

• la T_BU (temperatura di bulbo umido, wet bulb) deve essere inferiore alla temperatura di uscita dell'aria dalla torre, per permettere lo scambio termico dall'acqua calda all'aria che fluisce.

Cicli Turbo-Gas

Bilanci

• Bilancio alla camera di combustione:

${\dot {m}}_{a}\cdot c_{Paria}\cdot (T_{OUT,Compr}-T_{rif})\;+\;{\dot {m}}_{gn}\cdot c_{Pgn}(T_{gn}-T_{rif})\;+\;{\dot {m}}_{gn}\cdot (1-\xi )\cdot PCI\;=\;{\dot {m}}_{fumi}\cdot c_{Pfumi}\cdot (T_{IN,Turb}-T_{rif})$

La temperatura di riferimento è 25°C e i cp sono considerati costanti (altrimenti uso forma integrale, vedi Bilancio in caldaia).

• Bilancio meccanico:

$P_{ut,mecc}=P_{Turb}-P_{Compr}=[({\dot {m}}_{f}\cdot \Delta h_{Turb})\cdot \eta _{T}-({\dot {m}}_{a}\cdot \Delta h_{Compr})/\eta _{C}]\cdot \eta _{albero}$

• Bilancio energetico ciclo e lavoro utile specifico:

$l_{ut}=l_{Turb}-l_{Compr}\,=\,\Delta h_{Turb}-\Delta h_{Compr}$

Condizioni IN/OUT Compressore e Turbina

Noto β o le pressioni IN/OUT di una macchina e il suo η_is, accoppiando le espressioni di rendimento isoentropico e relazione T-p della trasformazione isoentropica, è possibile trovare le condizioni di temperatura e entalpia:

$\eta _{is,c}={\frac {{\dot {m}}_{a}\cdot c_{P,a}(T_{OUT,is}-T_{IN})}{{\dot {m}}_{a}\cdot c_{P,a}(T_{OUT}-T_{IN})}}\qquad {\mbox{ e }}\qquad \eta _{is,t}={\frac {{\dot {m}}_{f}\cdot c_{P,f}(T_{IN}-T_{OUT})}{{\dot {m}}_{a}\cdot c_{P,a}(T_{IN}-T_{OUT,is})}}$

con (temperature in K):

$T_{OUT,is}=\left({\frac {p_{out}}{p_{in}}}=\beta \right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\cdot T_{IN}$

Note:

• Le definizioni di rendimento isoentropico compressore e turbina sono inversi
• β_turb < β_compr solo se c'è perdita di carico nel combustore (e non ci sono perdite di carico in aspirazione e/o scarico)

Rendimenti

• Rendimento di primo principio:

$\eta _{I\,Pr}={\frac {energia\;utile}{spesa\;energetica}}={\frac {P_{el,NET}}{{\dot {m}}_{comb}\cdot LHV}}$

Note:

• m_comb · LHV = Q_comb (ricavabile anche conoscendo solo la potenza elettrica netta e il rendimento del ciclo oppure il calore generato da una caldaia e il rendimento della caldaia)
• Per un impianto di cogenerazione l'energia utile include anche il calore ceduto all'utenza termica (P_U.T.)

Cicli combinati, HSRG/GRV, cogenerazione: ricerca di portate e temperature

Tipicamente per ottenere portate o temperature dei fumi al camino o in altri punti, si effettua un bilancio termodinamico del tipo:

$-(1-\xi )\cdot Q_{fumi}|_{a}^{b}\;=\;Q_{H_{2}O}|_{scambiatori\;tra\;\mathbf {a} \;e\;\mathbf {b} }$

ovvero:

$(1-\xi )\cdot {\dot {m}}_{fumi}\cdot \int _{Tb}^{Ta}c_{Pfumi}\cdot dT\;=\;{\dot {m}}_{HP}\cdot (h_{1}-h_{2})+{\dot {m}}_{LP}\cdot (h_{3}-h_{4})+...$

Note:

• il salto entalpico va accoppiato con la giusta portata (salto entalpico del surriscaldatore di alta pressione HP con la portata della linea di alta pressione, etc.)
• nel lato vapore si includono tutti gli scambiatori (surriscaldatori, evaporatori, economizzatori, degasatori) che assorbono calore

Fattore di recupero

Il fattore di recupero indica quanto calore viene recuperato rispetto a quello disponibile ai fumi (da T_ingresso a T_ambiente)

$f_{R}={\frac {Q_{REC}}{Q_{DISP}}}={\frac {(1-\xi )\cdot {\dot {m}}_{f}\cdot \int _{Tcam}^{Tin}c_{Pf}\cdot dT}{{\dot {m}}_{f}\cdot \int _{Tamb}^{Tin}c_{Pf}\cdot dT}}$

• Noto il fattore di recupero (e le proprietà del gas di scarico) è semplice calcolare il calore recuperato, che è la fonte energetica del ciclo a vapore, da cui dipende il rendimento.

Cogenerazione e Indice di Risparmio Energetico (IRE)

Un impianto a cogenerazione produce contemporaneamente energia elettrica e calore per utenze termiche.

• Indice di Risparmio Energetico (IRE): Indice di risparmio energetico del sistema cogenerativo rispetto ad uno ad impianti separati elettrico-termico.

$IRE={\frac {{\dot {m}}_{fuel,separ.}-{\dot {m}}_{fuel,cog}}{{\dot {m}}_{fuel,separ.}}}=1-{\frac {{\dot {Q}}_{th,combust}}{{\frac {P_{el,net}}{\eta _{el,rif}}}+{\frac {P_{th.cog}}{\eta _{th.cog,rif}}}}}$

con:

• η_el,STD : rendimento elettrico di riferimento relativo al tipo di centrale
• η_th.cog.,STD : rendimento termico di riferimento relativo al tipo di centrale

Nota: l'IRE è normalmente negativo per un impianto a generazione separata (ovvero non cogenerazione), visto che non porta risparmio.

Cicli frigo

Laminazione

Vedi valvole cicli a vapore.

ΔT di sub-cooling e di surriscaldamento

Tipicamente è presente un ΔT di sub-cooling al condensatore (pochi gradi) e un ΔT di surriscaldamento all'evaporatore (diversi gradi: l'evaporatore evapora e scalda il vapore)

Separatori liq-sol

I separatori liquido-solido sono tipicamente usati per i cicli a laminazione multipla per effettuare un bypass di una frazione di portata.

Essi mantengono lo stesso stato (entalpia, pressione, temperatura, etc.) in tutti gli ingressi e le uscite, ma separano liquido da vapore.

Noto il titolo di vapore al separatore e una delle tre portate, è possibile ricavare tutte e tre le portate in/out.

m_vap = x m_in

Conoscere il titolo di vapore e la sola pressione è sufficiente per trovare l'entalpia specifica della portata in ingresso. $x_{v}={\frac {h_{i}-h_{ls|_{p_{sep}}}}{h_{v}s|_{p_{sep}}-h_{ls|_{p_{sep}}}}}$

COP

• $COP_{f}={\frac {Q_{refr}}{P_{el,in}}}$
• $COP_{pdc}={\frac {Q_{riscald}}{P_{el,in}}}=1+COP_{f}$

Calcolo degli scambiatori di calore

Per calcolare le temperature e le portate in uno scambiatore, si possono utilizzare in modo indipendente e combinato le equazioni:

• ε-NTU: ε = f(Tin/out) e ε = f(NTU,Cr,Geom)
• Q = U A ΔTml F
• Q = m cp ΔT

In particolare con la stessa geometria e gli stessi coefficienti di scambio (h) di scambiatore si conserva UA.

Inoltre è spesso conveniente considerare i ΔT come incognita singola.

Coefficiente di scambio termico globale

Il coefficiente di scambio termico globale U è calcolato comodamente a partire dalla resistenza termica.

Per un tubo immerso in un liquido, vale:

$R={\frac {1}{U\cdot S_{est}}}={\frac {1}{h_{int}\cdot S_{int}}}+{\frac {C_{s}}{S_{int}}}+{\frac {ln\left({\frac {D_{est}}{D_{int}}}\right)}{2\pi \cdot k\cdot L}}+{\frac {1}{h_{est}\cdot S_{est}}}$

con:

• Cs : fattore di sporcamento/incrostazione (può essere interno, esterno o globale equivalente)
• h : fattore di scambio convettivo
• k : conduttività del materiale del tubo
• S : superficie del tubo ( π x Diam x Lunghezza )

Dunque elidendo la superficie esterna da entrambi i lati, il coefficiente si ottiene dalla seguente equazione:

${\frac {1}{U}}={\frac {1}{h_{int}\cdot {\frac {D_{int}}{D_{e}st}}}}+{\frac {C_{s}}{\frac {D_{int}}{D_{est}}}}+{\frac {ln\left({\frac {D_{est}}{D_{int}}}\right)\cdot D_{est}}{2\cdot k}}+{\frac {1}{h_{est}}}$

La stessa cosa si può esprimere con la resistenza termica, ad esempio quando si intende sommare due resistenze termiche: $\Omega _{th}={\frac {1}{U_{glob}}}+{\frac {1}{U_{H_{2}O}}}$

Fattore di scambio convettivo h

Il fattore di scambio convettivo h in un tubo può essere facilmente individuato a partire dal numero adimensionale di Nusselt, ovvero dai numeri di Reynolds e Prandtl.

$Nu={\frac {h\cdot D}{k_{liq}}}\rightarrow h={\frac {Nu\cdot k_{liq}}{D}}$

con:

$Nu=f(Re,Pr)\quad {\mbox{per esempio per tubi lisci e flusso turbolento:}}\quad Nu=0,023\cdot Re^{0,8}\cdot Pr^{0,4}$

dati:

• $Re={\frac {v_{el}\cdot D\cdot \rho }{\mu }}$
• $Pr={\frac {\mu \cdot c_{p}}{k_{liq}}}$

Nota: se è noto il rapporto tra una grandezza nominale e quella fuori progetto, è possibile - senza conoscere nulla sul fluido - estrarre la variazione di h a partire dalla variazione di una variabile (ad esempio: raddoppio della portata --> raddoppio della velocità --> h' = 2^0,8 h ) perché, per esempio per tubi lisci e flusso turbolento:

$h={\frac {Nu\cdot k_{liq}}{D}}={\frac {(0,023\cdot Re^{0,8}\cdot Pr^{0,4})\cdot k_{liq}}{D}}={\frac {(0,023\cdot \left({\frac {v_{el}\cdot D\cdot \rho }{\mu }}\right)^{0,8}\cdot \left({\frac {\mu \cdot c_{p}}{k_{liq}}}\right)^{0,4})\cdot k_{liq}}{D}}$

Metodo ΔTml

Il metodo si basa sull'uso della relazione indipendente:

$Q=UA\Delta T_{ml}F$

dove:

• $\Delta T_{ml}={\frac {\Delta T_{1}-\Delta T2}{ln({\frac {\Delta T_{1}}{\Delta T2}})}}$
• F è il fattore correttivo minore di 1 per tutti gli scambiatori non equicorrente o controcorrente, dove vale 1, come anche per i condensatori.

Per il calcolo del ΔTml non è necessario conoscere le singole temperature, ma bastano i ΔT (ricavabili da Q = m Cp ΔT).

Metodo ε-NTU

Si utilizza la definizione di efficienza di uno scambiatore:

$\epsilon ={\frac {Q_{trasferito}}{Q_{trasferibile}}}={\frac {\left[{\dot {m}}\cdot c_{p}(T_{hot}-T_{cold})\right]_{Cmin}}{{\dot {m}}\cdot c_{p}(T_{max}-T_{min})}}={\frac {\left[T_{hot}-T_{cold}\right]_{Cmin}}{T_{max}-T_{min}}}$

in accoppiamento con la relazione:

$\epsilon =f(NTU,C_{r},Geometria)$

con:

• $C_{r}={\frac {C_{min}}{C_{max}}}={\frac {({\dot {m}}\cdot c_{p})_{min}}{({\dot {m}}\cdot c_{p})_{max}}}$
• $NTU={\frac {U\cdot S}{({\dot {m}}\cdot c_{p})_{min}}}$

che vale, a seconda del caso trattato:

• $\epsilon =1-e^{-NTU}\qquad \qquad \left[A\right]{\mbox{cambi di fase (condensatore o evaporatore: Cr = Cmin / inf = 0 ), per qualunque geometria}}$
• $\epsilon ={\frac {1-e^{-NTU\cdot (1+Cr)}}{1+C_{r}}}\qquad \left[B\right]{\mbox{flussi equicorrente}}$
• $\epsilon ={\frac {1-e^{-NTU\cdot (1-C_{r})}}{1-C_{r}\cdot e^{-NTU\cdot (1-Cr)}}}\qquad \left[C\right]{\mbox{flussi controcorrente}}$

Nota: non è indicata una formula per flussi perpendicolari o tutte le altre geometrie possibili eccetto queste due particolari.

Dunque imponendo l'eguaglianza delle due formulazioni di ε, per esempio con [A]:

$\left[A\right]=1-e^{-NTU}\quad =\quad \epsilon \quad =\quad {\frac {T_{hot}-T_{cold}}{T_{max}-T_{min}}}$

si ottiene la temperatura ricercata.

Note:

• (m Cp)min è il fluido a temperatura variabile in caso di un fluido in cambio di fase (condensatore)
• può essere utile, conoscendo il calore da scambiare, trovare un delta temperature con:

${\dot {Q}}={\dot {m}}\cdot c_{p}\cdot \Delta T$

• se i ΔT sono identici (o quasi), come tipicamente nei rigeneratori, si può utilizzare comodamente:

${\dot {Q}}=UA\Delta T_{1=2}$

• Casi particolari del valore di ε:

• controcorrente Cr≅1:

ε ≅ NTU/(1+NTU) [tipico rigeneratori]

• controcorrente NTU-->inf:

ε = 1

• equicorrente Cr=1:

ε = 0,5(1-exp[-2 NTU])

• equicorrente NTU-->inf:

ε = 1/(1+Cr)

• correnti incrociate NTU-->inf:

ε = 1

Esempio metodo combinato

Esempio 1

Scambiatore fuori progetto:

• doppia portata di refrigerante (r) ( = doppio calore scambiato)
• stessa portata di fluido caldo (fc), con temperature d'ingresso differenti
• stesso coefficiente di scambio globale U
• note alcune condizioni nominali (temperature, portata di refrigerante, cp del solo refrigenante)

1. Trovo calore scambiato prima e dopo lato refrigerante con Q = m c_p (T_a,r - T_b,r) = m (ha-hb)
2. Trovo UA = (UA)' con metodo ΔT_ml: Q = UA T F
3. Trovo NTU' (e se necessario Cr) dalle definizioni:

   NTU' = UA' / (c_p m)_min

   Cr = (m c_p)_min / (m c_p)_max

   (cp m) se ignoti, individuabili come (c_p m) = Q / (T_a,fc - T_b,fc)

4. Trovo ε con ε-NTU per il caso in questione (condensatore, equicorr., controcorr., altri)
5. Trovo ΔT_fc da calore scambiato lato fluido caldo: Q' = (m c_p) ΔT: ΔT=Q'/(m cp)
6. Trovo Ta da definizione di ε (usando il ΔT_fc trovato): ε = (Thot-Tcold)_Cmin / (Tmax-Tmin)
7. Di conseguenza trovo Tb ed eventualmente la portata massica fc

Analisi entropica

• Entropia:

  $\Delta s=\int {\frac {dq}{T}}=\int dh-v\cdot dp=c_{p}\cdot ln{\frac {T_{1}}{T_{0}}}-R\cdot ln{\frac {p_{1}}{p_{0}}}$

Definita T₀ la temperatura dello stato morto (tipicamente corrispondente alla temperatura ambiente):

• Exergia:

  $ex_{i}=\Delta h-T_{0}\cdot \Delta s$

  L'exergia è la porzione di energia realmente trasformabile in lavoro

• Potenza reversibile persa:

  ${\dot {W}}_{p}={\dot {W}}_{rev}-{\dot {W}}_{out}={\dot {m}}\cdot \int T_{0}\cdot ds={\dot {m}}\cdot T_{0}\cdot \Delta s$

Potenza persa per irreversibilità nei componenti

• Valvole o turbine: ${\dot {W}}_{p}={\dot {m}}\cdot T_{0}\cdot (s_{out}-s_{in})$
• Miscelatori (e degasatori): ${\dot {W}}_{p}=\sum _{i}{\dot {m}}_{out,i}\cdot T_{0}\cdot s_{out,i}-\sum _{i}{\dot {m}}_{in,i}\cdot T_{0}\cdot s_{in,i}$
• Scambiatori di calore: ${\dot {W}}_{p}={\dot {Q}}_{trasf}\cdot \left({\frac {T_{0}}{T_{ml,cold}}}-{\frac {T_{0}}{T_{ml,hot}}}\right)$

  ma in caso di cambi di fase (condensatori ed evaporatori):

  • Condensatori: W_rev = W_persa

  ${\dot {W}}_{p}={\dot {Q}}_{cond}\cdot \left({\frac {T_{0}}{T_{ml,cold}}}-{\frac {T_{0}}{T_{cond}}}\right)$

  se il liquido refrigerante è a temperatura ambiente e anche T0 è fissato a temperatura ambiente, allora T0 / Tml,cold = 1

  • Evaporatori: ${\dot {W}}_{p}={\dot {m}}\cdot T_{0}\cdot \Delta s$

  in caso di scambio con ambiente (termostato) T_ml,cold = T_amb

• Separatori (cicli frigo): W_p = 0