Esercitazione 1: Dinamica della macchina a un grado di libertà

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In questa esercitazione analizzeremo a fondo le possibilità dinamiche di moto di un veicolo semplice lungo una direzione.

Descrizione del veicolo

Consideriamo un modello semplificato di automobile composto da una scocca rigida e quattro ruote di raggio R e momento d'inerzia baricentrico J_R, di cui le due posteriori sono motrici mentre le anteriori sono libere (o condotte). Le due ruote motrici sono collegate al motore M tramite due trasmissioni T₁ e T₂ (di tipo cinematico, ovvero che trasmettono il moto senza variare il rapporto di trasmissione). Tra le due trasmissioni è interposto un volano J_T, che rappresenta l'inerzia delle due trasmissioni. Le trasmissioni hanno rapporti di trasmissione τ₁ e τ₂ e rendimenti diretti e retrogradi η_1d, η_1r e η_2d, η_2r. A lato motore invece è presente un altro volano di inerzia J_M. Il motore, in dipendenza della velocità di rotazione dell'albero, ha una curva di coppia:

$C_{M}=C_{0}\cdot (1-{\frac {\omega _{M}^{2}}{\omega _{0}^{2}}})$

Le ruote a contatto con la strada presentano un coefficiente di attrito statico $f_{s}$, dinamico $f_{d}$ e volvente $f_{v}$.

L'auto ha una massa totale M_a (che comprende anche le quattro ruote) e il baricentro in G. La superficie frontale è invece S_a e ha un coefficiente aerodinamico C_x.

Caso 1: moto orizzontale, a regime

Quesito: Determinare la velocità del veicolo in funzionamento a regime, con l'auto in avanzamento.

Per ottenere la velocità di avanzamento a regime andiamo a costruire gli elementi necessari a comporre il bilancio energetico (derivante dal teorema dell'enegia cinetica).

$W_{m}+W_{r}+W_{p}={\frac {dE_{c}}{dt}}$

con

$W_{m}$ la potenza prodotta (o eventualmente assorbita) dal motore

$W_{r}$ la potenza resistente assorbita (o eventualmente prodotta) dal lato dell'utilizzatore

$W_{p}$ la potenza persa per dissipazione dalle trasmissioni tra motore e utilizzatore

Quindi, dalla definizione di potenza come:

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}$ per le forze

$W={\vec {C}}\cdot {\vec {\omega }}_{m}$ per le coppie motrici (o frenanti)

vediamo che è necessario individuare tutte le forze agenti sul corpo. Tuttavia, vista la potenza come il prodotto scalare di forza e velocità, possiamo trascurare tutte le forze che agiscono in punti a velocità nulla o con velocità perpendicolare alla direzione di azione della forza.

Individuazione delle forze esterne

Diagramma delle forze esterne agenti sul veicolo

Si individuano dunque:

• forza peso: è trascurabile per il computo delle potenze perché - vista l'orizzontalità del piano stradale - essa è perpendicolare alla velocità del veicolo, perciò il prodotto :$W_{g}={\vec {F}}_{g}\cdot {\vec {v}}=0$.
• attrito volvente: noto il coefficiente d'attrito volvente $f_{v}$, l'attrito volvente si può identificare sotto forma di una coppia frenante applicata sull'asse di rotazione della ruota. Questa coppia vale come il prodotto vettoriale della reazione normale al terreno N per la distanza u della forza normale dall'asse della ruota. La distanza u dipende dal prodotto di raggio e coefficiente di attrito volvente:

$u=f_{v}\cdot R$

• forza aerodinamica frontale: la forza di resistenza aerodinamica frontale F_RA dipende da superficie frontale S, coefficiente di resistenza aerodinamica C_x, densità del fluido (aria) ρ e velocità al quadrato:

$F_{RA}={\frac {1}{2}}\rho Sv^{2}C_{x}$

• forza di attrito statico e reazione normale ruote-strada: anche la forza di attrito statico e la reazione normale nel punto di contatto tra ruote e strada si può trascurare, questa volta perché il punto di applicazione ha velocità nulla verticale e orizzontale (il punto è centro di istantanea rotazione delle ruote e ha dunque velocità nulla).

Possiamo quindi scrivere:

$W_{m}=C_{m}\cdot \omega _{m}$, prodotto scalare di coppia e velocità al motore

$W_{r}=4({\vec {N}}\times {\vec {u}})\cdot \omega _{1}+{\vec {F}}_{RA}\cdot {\vec {v}}$, somma di potenza richiesta dall'attrito volvente alle 4 ruote e potenza richiesta dalla forza aerodinamica frontale

${\frac {dE_{c}}{dt}}=0$, la derivata dell'energia cinetica è nulla in quanto nel moto a regime la velocità è costante e perciò l'energia cinetica $E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}$ non varia.

Determinazione del tipo di moto: diretto o retrogrado

A questo punto è necessario definire il termine di potenza persa, per scrivere il quale è necessario prima capire se per ognuna delle due trasmissioni la trasmissione di potenza sia diretta (la potenza si trasferisce da motore a utilizzatore) o, viceversa, retrograda (da utilizzatore a motore), così da usare in un caso o nell'altro il rendimento delle trasmissioni in funzionamento diretto η_d, oppure retrogrado η_r.

Per verificare in quale dei due stati ci si trova è necessario effettuare un bilancio delle potenze delle forze esterne W e delle forze interne Wⁱⁿ (in stato di regime, ${\frac {dE_{c}}{dt}}=0$ ) da uno dei due lati della trasmissione:

$W+W^{in}={\frac {dE_{c}}{dt}}=0$

Bilancio a lato utilizzatore

Andiamo dunque ad effettuare un bilancio a lato utilizzatore, ovvero considerando tutti i contributi di potenza entrante e uscente agenti sull'albero lato utilizzatore della trasmissione. Come convenzione, scegliamo come positiva la potenza W₂ trasmessa dal sistema utilizzatore alla trasmissione (in pratica stiamo dichiarando positivo il verso di trasmissione della potenza utilizzatore --> trasmissione).

Perciò - passaggio fondamentale - se la potenza W₂ incognita, una volta analizzato il bilancio, risulterà positiva, allora avremo un flusso di potenza nella direzione che va dall'utilizzatore alla trasmissione (e di conseguenza, complessivamente dall'utilizzatore al motore) perciò potremo dire che il sistema ha un tipo di moto retrogrado.

Diversamente, se la potenza W₂ risultasse negativa, allora avremo un flusso di potenza dalla trasmissione all'utilizzatore (e di conseguenza dal motore alla trasmissione), perciò potremo dire che il sistema ha un tipo di moto diretto

Nel caso del veicolo analizzato in questo esercizio, il bilancio risulta:

$-W_{2}+W_{RA}+W_{v}=0$

Esplicitando le potenze di attrito aerodinamico W_RA e volvente W_v delle 4 ruote:

$-W_{2}+{\vec {F}}_{RA}\cdot {\vec {v}}+4({\vec {N}}\cdot {\vec {u}})\cdot {\vec {\omega }}_{r}=0$

Quindi

$W_{2}=+{\vec {F}}_{RA}\cdot {\vec {v}}+4({\vec {N}}\cdot {\vec {u}})\cdot {\vec {\omega }}_{r}$

Semplificando i prodotti scalari in prodotti algebrici:

$W_{2}=-{\vec {F}}_{RA}\cdot {\vec {v}}-4({\vec {N}}\cdot {\vec {u}})\cdot {\vec {\omega }}_{r}$

Perciò è evidente in questo caso che la potenza W₂ sia negativa, in quanto entrambi i contributi che la compongono, secondo il bilancio, risultano negativi. Il moto è diretto.

Bilancio al lato motore

In questo caso il bilancio a lato motore, da compiere considerando le potenze sull'albero lato motore della trasmissione, non è sufficiente per stabilire lo stato di moto del sistema e risulta perciò superfluo. Questo perché non abbiamo informazioni sulla direzione di applicazione della coppia del motore: non sappiamo se agisce da motore, immettendo potenza +|W₁|, o da freno (freno motore), assorbendo potenza -|W₁|.

Volendo esplicitare comunque il bilancio, consideriamo - per convenzione, come prima - positiva la potenza W₁ trasmessa nella direzione che va dal motore alla trasmissione.

$-W_{1}+W_{m}=0$

Quindi:

$W_{1}=W_{m}={\vec {C}}_{m}\cdot {\vec {\omega }}_{m}={\mbox{positivo o negativo ?}}$

W₁ risulterebbe positivo ( = moto diretto) se la coppia del motore erogasse potenza (in questo caso il vettore coppia motore sarebbe parallelo e equiverso a quello della velocità) mentre risulterebbe negativo se fungesse da freno motore ( = moto retrogrado) e assorbisse potenza (in questo altro caso il vettore coppia frenante sarebbe parallelo e di verso contrario a quello della velocità).