Equilibrio interno alla città

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Esistenza delle città Economia regionale e urbana Equilibrio spaziale tra le città
lezione
Equilibrio interno alla città
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Economia regionale e urbana
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 25%.

Modello di Alonso-Muth-Mills[modifica]

Per tutte le casistiche, salvo diversamente specificato, verranno utilizzate le seguenti notazioni:

  • : reddito reale pro-capite;
  • : funzione che indica quanto costa il trasporto per compiere la distanza ;
  • : è l'area di un ipotetico blocco di terreno minimo dove può essere costruita una casa.
  • : funzione che indica il costo di un terreno localizzato alla distanza dal centro città.
  • : è ciò che rimane del reddito dell'abitante della città per il consumo personale. Posto che un individuo non occupi più di , si ha .
  • funzione di utilità. Nei nostri esempi poniamo , ma potrebbe essere qualsiasi altra forma funzionale.

Modello di città radiale con la sola distanza variabile[modifica]

L'individuo si trova di fronte al problema di scegliere la distanza ottima dal centro in cui collocarsi. Si tratta del problema di massimizzare l'utilità trovando la distanza ottima , dunque . Assunta come premesso si ha

Se ipotizziamo che , cioè che i trasporti siano lineari nella distanza con proporzione pari a 1, allora l'equazione sopra diventa:

Vogliamo ora trovare la funzione della rendita avendo solo la sua derivata. Il problea si risolve integrandola per la sua variabile , dunque:

Dunque è ottimo se rende vera l'equazione della rendita appena ricavata. Posto , cioè la rendita al centro città, l'equazione precedente si può esprimere come . Questa si può anche esprimere in relazione alla rendita al margine della città, . Si avrà allora , che combinato alla prima equazione di questo paragrafo, genera . Perveniamo allora al primo risultato del modello:

In una città a forma circolare, di area , con popolazione e superficie unitaria per abitante valori costanti esogenamente dati, con costi di trasporto lineari nella distanza per un coefficiente , affinché ogni punto della città rappresenti una localizzazione indifferente per l'individuo, la rendita deve essere pari a:

Se ciò si verifica, ogni punto della città massimizza l'utilità dell'individuo ed essa si ritrova in uno stato di equilibrio spaziale interno.


Statica comparata della funzione di utilità[modifica]

Con la rendita d'equilibrio, la funzione di utilità diventa , da cui si perviene ai seguenti risultati:

  1. , se tutti i cittadini dispongono dello stesso reddito di partenza, l'utilità cresce linearmente con il reddito.
  2. , dunque l'utilità è ovviamente decrescente (e in modo lineare) alla rendita.
  3. , dunque l'utilità è intuitivamente decrescente (e in modo lineare) al costo unitario di trasporto;
  4. , dunque l'utilità è decrescente rispetto alla popolazione della città.


Modello di città radiale con variabili e [modifica]

La novità è l'introduzione di $N£ come variabile; dunque le città non sono più di dimensione data, ma questa può variare.

Esiste una situazione di equilibrio tra due città a livello di popolazione quando vivere in esse genera nell'individuo il medesimo livello di utilità, che chiamiamo . Ricordando che la rendita in equilibrio è uguale a , si ha . Risolviamo ora per per trovare la popolazione d'equilibrio: da cui si arriva al risultato finale . Per ciò:

In una città a forma circolare, con superficie unitaria per abitante costanti esogenamente dato, con costi di trasporto lineari nella distanza per un coefficiente , affinché ogni punto della città rappresenti una localizzazione indifferente per l'individuo e ogni città rappresenti una localizzazione indifferente per l'individuo rispetto a ogni altra città, la popolazione di ogni città deve essere pari a:


Statica comparata dell'equilibrio della popolazione[modifica]

Se chiamiamo