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Divisibilità e fattorizzazione: mcm e MCD (scuola media)

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Divisibilità e fattorizzazione: mcm e MCD (scuola media)
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Matematica per la scuola media 1
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 50%

Mappa della lezione per chi vuole leggere poco

Si può fruire di questa lezione in forma di mappa mentale su wiki2map

Divisioni e divisioni con il resto[modifica]

La divisione nei numeri naturali genera un solo risultato solo se il dividendo è divisibile per il divisore, altrimenti, la divisione ci restituisce un quoziente ed un resto come nell'esempio qui sotto dove il quoziente è ed il resto è :

Nella lezione sulle quattro operazioni trovate il paragrafo dedicato alla spiegazione della [divisione con il resto]

Divisibilità[modifica]

Un numero naturale n è divisibile per un altro numero naturale, m, se la divisione del primo, n il dividendo, per il secondo, m il divisore, da come resto 0. Usando la moltiplicazione il primo numero n risulta un multiplo del numero m. Ad esempio 72 è divisibile per 9 poiché


notiamo che come scritto sopra è un multiplo di infatti

.



Divisori[modifica]

Video per chi non ama leggere: Filmato audio Matteo Ruffoni, Divisori nei naturali(1), su YouTube, 28 gen 2019.

Criteri di divisibilità[modifica]

In questo paragrafo vengono riportate in breve e regole utili a verificare la divisibilità tra i numeri. In genere ci si chiede se un numero, grande, scritto con più di tre cifre, è divisibile per un altro numero, piccolo, entro i primi 20 numeri della sequenza dei numeri naturali. Per comprendere il perché questi criteri funzionano è possibile approfondire lo studio alla pagina Criteri di divisibilità

Numeri divisibili per 2[modifica]

Tutti i numeri pari sono divisibili per . Il criterio afferma, ovviamente, che se un numero ha come ultima cifra oppure o o o , essendo pari, allora è divisibile per 2.

Numeri divisibili per 3[modifica]

Un numero è divibile per se la somma delle sue cifre è un numero a sua volta divisibile per .
Ad esempio è divisibile per infatti e è divisibile per

Numeri divisibili per 4[modifica]

è un divisore di un numero se le ultime due cifre del numero sono 00 oppure un multiplo di 4.

Multipli di :


Sono elencati solo alcuni dei multipli di con due cifre, compresi i primi due evidenziando lo .

Numeri divisibili per 5[modifica]

Tutti i multipli di devono obbligatoriamente avere l'ultima cifra uguale a o a .

Numeri divisibili per 6[modifica]

Non è un criterio vero e proprio ma per essere un multiplo di un numero deve essere pari e divisibile per , quindi il controllo si rivela piuttosto semplice.

Numeri divisibili per 7[modifica]

Non esiste un criterio semplice per verificare se un numero è divisibile per 7: spesso il sistema più semplice è fare direttamente la divisione. Un metodo non eccessivamente complicato consiste nel partire dalla cifra più a sinistra, triplicarla, sommarla a quella successiva, e togliere eventuali multipli di 7. Continuando così fino all'ultima cifra, se il risultato finale è 0 (oppure 7) allora il numero è multiplo di 7, altrimenti no.

Prendiamo per esempio 31416. Al primo passo si calcola , e togliendo i multipli di 7 rimane 3. Il secondo passo è , e togliendo i multipli di 7 rimane 6. Il terzo passo è , che togliendo 14 lascia 5. Infine che è un multiplo di 7; pertanto 31416 è multiplo di 7.

Numeri divisibili per 9[modifica]

La divisibilità per si verifica in un modo simile a quella per .
Se la somma delle cifre di un numero è divisibile per allora lo sarà anche il numero.
Ad esempio è divisibile per infatti e è divisibile per .

Numeri divisibili per 11[modifica]

Esercizi per capire la divisibilità[modifica]

12 è divisibile per

2, 3, 4 e 6
5 e 5 e 2
2, 4 e 7


Esercizi per imparare la divisibilità[modifica]

Questi esercizi vanno svolti su un quaderno e fatti correggere dall'insegnante o confrontati con i propri compagni.


Multipli, divisori e scomposizione in fattori[modifica]

Tutti i numeri hanno multipli infiniti. Prendiamo ad esempio il 7 e vediamo che l'insieme dei multipli di 7 è


la sequenza continua all'infinito comprendendo tutti i multipli di 7.

Non è infinito invece l'insieme dei divisori di un numero, ad esempio 24


Esistono numeri per i quali l'insieme dei divisori si riduce a due soli elementi, 1 e il numero stesso ad esempio 13



per semplicità si dice che questi numeri non hanno divisori.

Numeri primi[modifica]

I numeri primi sono che non hanno divisori, per essere maggiormente precisi, come abbiamo visto sopra, si possono dividere soltanto per 1 o per se stessi.

I primi numeri primi sono:


La sequenza è infinita, lo aveva dimostrato già Euclide.

Scomposizione in fattori primi[modifica]

Se si esaminano tutti i numeri si scopre che o sono primi, oppure hanno divisori, e se hanno divisori si possono ottenere attraverso la moltiplicazione di alcuni dei loro divisori scelti tra numeri primi, anche se ripetuti. Questa moltiplicazione si chiama scomposizione in fattori primi, ed ha la particolarità di essere unicaVK. Ad esempio


Come si può trovare la scomposizione in fattori primi di un numero?

Partiamo dall'esempio qui sopra e scomponiamo 24 in una moltiplicazione di due fattori


a loro volta 4 e 6 possono essere scomposti

  e   

e sono numeri primi che non possono essere scomposti in moltiplicazioni.
Quindi





Esercizi per capire la scomposizione in fattori primi[modifica]

Qule è la corretta scomposizione in fattori primi di 12?


Esercizi per imparare la scomposizione in fattori[modifica]

Scomposizione ad albero

Massimo Comun Divisore[modifica]

Il Massimo Comun Divisore è il divisore più grande tra i divisori comuni di due o più numeri, ed ovviamente i numeri di partenza risulteranno essere multipli del MCD. Ad esempio cerchiamo il MCD tra e .

I divisori di sono : ; ed i divisori di sono : .

Non è difficile individuare che è il divisore più grande presente in entrambi gli insiemi e concludere .

Usando una scrittura simbolica

mcm e MCD
mcm e MCD


Incidentalmente osservando l'insieme intersezione dei divisori comuni di due numeri notiamo che non potrà mai essere vuoto. Il numero che comparirà sempre come elemento dell'intersezione degli insiemi dei divisori è il numero
.

Quindi se anche due numeri non avessero nessun fattore diverso da in comune, avrebbero sempre come MCD il numero .

Ad esempio :


Ma come calcolare il MCD quando i numeri diventano più grandi?


Trovare MCD con la scomposizioni in fattori primi[modifica]

Video per chi non ama leggere: Filmato audio Matteo Ruffoni, mcm e MCD scomposizione, su YouTube, 5feb 2020.

Ripetiamo, con scelta un po' noiosa, la ricerca del MCD tra e usando la scomposizione in fattori.

 

La scomposizione in fattori di è:

,

e quella di è:

.

Riscriviamo le scomposizioni senza usare le potenze mettendo in evidenza la presenza dei fattori comuni

 e  .

Ed ecco evidente che la moltiplicazione

 

è presente in tutte e due le fattorizzazioni ed è la moltiplicazione più grande in comune, non ci sono altri fattori in comune che possono essere aggiunti.
Quindi:

  


Trovare MCD in casi particolarmente facili[modifica]

Video per chi non ama leggere: Filmato audio Matteo Ruffoni, MCD a mente, su YouTube, 28 gen 2020.

Multipli[modifica]

MCD 6 18
MCD 6 18

Se uno dei due numeri è multiplo dell'altro il MCD è ovviamente il numero più piccolo, il sottomultiplo, il divisore.

Ad esempio se cerco


noto che tutti i divisori di , esso compreso, sono divisori di ,

quindi il MCD è .


Multipli di un fattore comune evidente[modifica]

Se cerco il MCD tra e

è evidente che è un fattore comune tra i due numeri,

inoltre che


posso facilmente concludere che

.

Trovare MCD con le divisioni successive[modifica]

Video per chi non ama leggere: Filmato audio Matteo Ruffoni, MCD con divisioni successive, su YouTube, 31 gen 2020. Il metodo delle divisioni per trovare il MCD successive si basa sul fatto che dati due numeri, ad esempio e , si può sempre fare la divisione, con il resto, del più grande per il più piccolo e quindi scrivere questa uguaglianza:

,

infatti il ci sta volte nel e il resto è .

Introducendo un po' di nomenclatura:

  • è il dividendo
  • è il divisore
  • è il quoziente
  • è il resto

quindi il dividendo è uguale al divisore moltiplicato il quoziente più il resto.

In una formula molto più generale dati e :

.

Tornando all'esempio numerico

,

notiamo che se un numero è sottomultiplo, divisore, di allora dovrà esserlo per forza anche del divisore e del resto .

Prendiamo ad esempio dal fatto che

 

si deduce che

 

cioè che se il dividendo ha un sottomultiplo, anche divisore e resto sono multipli dello stesso sottomultiplo.

Infatti:

e questo vale anche per il MCD dei tre numeri, che nel nostro esempio è , infatti:

concludendo si può affermare che il MCD di e anche il MCD di e

[1].

In termini più generali possiamo dire che per trovare il MCD di due numeri si può procedere alla divisione del più grande per il più piccolo e cercare poi il MCD tra il numero più piccolo e il resto delle divisione appena effettuata.
Procedimento che si può ripetere fino a raggiungere la divisione che dà resto zero, in quel caso il MCD è il divisore di quest'ultima divisione. [2]

Esempio numerico:


dalla divisione con resto


ottengo


quindi



e allora



e dunque


e poiché


cioè è la divisione con resto zero,

posso concludere che


.

Esercizi per capire il MCD[modifica]

Esercizi per imparare il MCD[modifica]

Video per chi non ama leggere: Filmato audio Matteo Ruffoni, MCD problema semplice, su YouTube, 28 gen 2020.

Minimo Comune Multiplo[modifica]

Video per chi non ama leggere: Filmato audio Matteo Ruffoni, MCD e mcm, su YouTube, 15 feb 2019.

Il minimo comune multiplo è il multiplo più piccolo tra i multipli comuni di due o più numeri, ed ovviamente i numeri di partenza risulteranno essere divisori del mcm.


L'insieme dei multipli di un numero è un insieme infinito:


che ha come primo elemento il numero dato, nel nostro caso, e cresce poi con moltiplicazioni successive.

La ricerca del mcm comune multiplo di due numeri consiste nel trovare il più piccolo multiplo che compare in entrambi gli insiemi.

Ad esempio cerchiamo



già dopo aver prodotto pochi multipli individuiamo il , come mcm, quindi

.
Mcm M12 M18
Mcm M12 M18


Trovare il con la scomposizione in fattori[modifica]

Per trovare il di due numeri dobbiamo procedere con le scomposizioni in fattori e comporre poi la moltiplicazione con il minor numero di fattori che sia abbastanza grande per contenere le scomposizioni dei numeri iniziali.



quindi

.


I fattori del sono tutti quelli che compaiono nelle scomposizioni presi con l'esponente più grande.

Prendendo un altro esempio calcoliamo il


le scomposizione sono



quindi

.
.

È questo secondo esempio conferma la regola generale.



Trovare mcm se si conosce MCD[modifica]

mcm in casi particolari[modifica]

Test riassuntivo su fattorizzazione, mcm e MCD[modifica]

  

1 La scomposizione in fattori primi di è?

2 La scomposizione in fattori primi di è?

3 La scomposizione in fattori primi di è?

4 La scomposizione in fattori primi di è?

5 La scomposizione in fattori primi di è?

6 La scomposizione in fattori primi di è?

7 La scomposizione in fattori primi di è?

8 La scomposizione in fattori primi di è?

9 La scomposizione in fattori primi di è?

10 La scomposizione in fattori primi di è?



Note[modifica]

  1. Scratch - Tutorial per programmare una calcolatrice di MCD
  2. [https://scratch.mit.edu/projects/363718438/fullscreen/ Scratch - Calcolatrice per MCD

Bibliografia[modifica]

  • Contaci! - Clara Bertinetto, Arja Metiainen, Johannes Paasonen, Eija Voutilainen - Zanichelli - 2013- ISBN 978.88.08.06443.1

Voci correlate[modifica]

Altri progetti[modifica]

Collegamenti esterni[modifica]