Conduzione 1

La conduzione è la branca della termodinamica che studia la trasmissione di calore attraverso corpi solidi. Come è noto, ciò avviene esclusivamente se all'interno di questi esiste una distribuzione della temperatura non uniforme, ossia se esistono gradienti termici non nulli.

Definizioni

• Superficie isoterma

Chiamiamo superficie isoterma il luogo dei punti ad egual temperatura T all'interno di un corpo.
Distinguiamo due casi: il primo quando ci troviamo in regime variabile, ossia quando la forma e la distribuzione delle superfici isoterme varia nel tempo; il secondo, quando trascorso un certo intervallo di tempo, il regime transitorio viene sostituito da un regime stazionario, nel quale la temperatura interna al corpo non varia più nel tempo e la forma delle superfici isoterme può essere considerata costante.

• Quantità di calore e flusso termico

(da definire)

• Linee di flusso

Chiamiamo linee di flusso le traiettorie secondo le quali avviene una trasmissione di calore all'interno di un corpo. Il calore come noto si trasmetterà da punti a T maggiore verso punti a T minore, seguendo però una particolare legge: il flusso termico si muove seguendo delle particolari linee, dette appunto linee di flusso, tali che queste risultino ortogonali in ogni punto alle superficii isoterme. Ciò è facilmente spiegabile: se per assurdo così non fosse avremmo una componente di flusso termico lungo una superficie isoterma, cosa impossibile per definizione della stessa (se i suoi punti infatti si trovano ad egual temperatura non può esservi flusso termico). Se ne deduce che due linee di flusso non possono attraversarsi.

• Tubo di flusso

Se immaginiamo di definire una superficie chiusa all'interno di un campo termico e immaginiamo di tracciare per gli infiniti punti del contorno di tale superficie le linee di flusso corrispondenti andiamo a definire quello che viene chiamato tubo di flusso del calore. Tale mantello non potrà essere per definizione attraversato da calore, in quanto questo può essere scambiato solo ortogonalmente alle superfici isoterme lungo proprio le linee di flusso che costituiscono la superficie laterale del solido costruito.

Postulato di Fourier

Il primo a studiare la trasmissione di calore per conduzione fu Fourier che enunciò un suo postulato. Questo si riferisce ad una situazione rappresentata qui in figura:

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Si tratta di una piastra piana di materiale omogeneo sulle cui facce si trova, indipendentemente dalla causa, una differenza di temperatura $T_{2}-T_{1}=\Delta T$; si stabilirà secondo quanto descritto un flusso termico diretto dalla superficie isoterma a temperatura $T_{2}$ verso la superficie isoterma a temperatura $T_{1}$, ortogonale ad entrambe. Sperimentalmente, Fourier ha scoperto che tale quantità di calore trasmessa attraverso la piastra è proporzionale a:

1. una costante $\lambda$ da definire
2. tempo di osservazione $\tau$
3. area interessata dal flusso termico A
4. differenza di temperatura delle due facce $\Delta T$

e inversamente proporzionale a:

1. spessore della piastra n

in definitiva il postulato di Fourier per un elementino infinitesimo si esprime come:

$dQ={\frac {\lambda *dA*dT*d\tau }{dn}}$

Proiettando quanto appena visto lungo le tre componenti normali di un elementino a cui si considera applicato il campo dQ si può ottenere una relazione ancor più significativa che esplica la quantità $dQ_{n}$ (quantità di calore normale ad una faccia dA) in un intervallo di tempo infinitesimo attraverso un materiale di conducibilità termica interna $\lambda$. Più chiaramente:

$dQ=-\lambda *dA*d\tau {\frac {dT}{dn}}$

il segno negativo serve per assorbire il segno della derivata che sarà a sua volta negativo trasmettendosi il calore da punti a T maggiore verso punti a T minore.

La quantità $\lambda$ in particolare è esprimibile concettualmente come la quantità di calore che passa per un'area, un intervallo di tempo, una differenza di temperatura e uno spessore unitari nel mezzo considerato. è quindi una caratteristica del materiale ed è costante per materiali omogenei. Per dare delle quantità tipiche dei vari $\lambda$ riscontrabili in natura possiamo considerare la seguente tabella:

Tipo di materiale	tipologia di $\lambda$	valori di $\lambda$
isolanti	piccoli	0,01-0,09
materiali da costruzione	medi	10-100
metalli	alti	100-999

L'equazione di Fourier

Definiamo innanzitutto la funzione temperatura. Essa varierà sia nel tempo sia nello spazio nel caso più generico e quindi possiamo scrivere:

T = f (x, y, z,$\tau$)

Nel caso del trasferimento di calore per conduzione è possibile ricavare tale funzione attraverso l'equazione di Fourier, direttamente ricavata dall'omonimo postulato. A tal fine si prenda nello spazio un generico punto e un suo intorno opportunamente scelto di forma parallelopipeda, ammettendo che questo sia attraversato da un campo termico. Si veda la figura seguente:

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(Distinguiamo due casi possibili:

• Campo Q stazionario: in questa circostanza il campo entrante e il campo uscente saranno identici e non ci sarà né accumulo né perdita di calore da parte del corpo qui rappresentato dall'elementino;
• Campo Q variabile: in questa circostanza ci sarà accumulo o perdita di calore dell'elementino e il campo entrante risulterà differente da quello uscente).

Possiamo pensare di scomporre il campo termico al quale l'intorno è sottoposto lungo ciascun asse cartesiano, dividendo quindi il campo in ogni sua componente che agirà su una singola faccia dell'intorno così costruito. Ad esempio raffiguriamo ciò che avviene lungo la direzione X:

‎

applichiamo ora il principio di Fourier che definisce il campo termico per un elemento infinitesimo all'ascissa X e a quella X+dX. otterremo

• ascissa X $\Rightarrow dQ_{x}=-dy*dz*{\frac {d\tau }{dx}}$
• ascissa X+dX $\Rightarrow dQ_{x+dx}=-dy*dz*\left[{\frac {d\tau }{dx}}+{\frac {d^{2}\tau }{d^{2}x}}dx\right]$

dove per nel secondo caso il campo T è sviluppato fino al secondo ordine di derivazione approssimando l'andamento del campo stesso a lineare in un intorno dx.

Se andiamo a calcolare l'incremento che avviene dopo un dx otteniamo:

$dQ_{x+dx}-dQ_{x}=\lambda *dV*d\tau {\frac {dT}{dx^{2}}}$

Immaginando di ripetere l'operazione per tutte e tre le componenti normali e sommando si ottiene l'incremento (o il decremento) totale del campo dopo aver attraversato l'elementino:

$dQ=\lambda *dV*d\tau \nabla ^{2}T$

Se utilizziamo adesso la formula fondamentale della calorimetria opportunamente modificata:

$Q=c*m*\triangle T\Rightarrow dQ=c*dm*{\frac {dT}{d\tau }}\Rightarrow dQ=c*dV*\rho *{\frac {dT}{d\tau }}$

(dove l'ultimo termine di derivazione può essere preso come derivata totale poiché fissato l'elementino nello spazio la variazione di T è solo temporale)

possiamo mettere in relazione le due quantità dQ trovate, uguagliandole. da ciò si ottiene l'equazione di Fourier nel caso più generico:

$\lambda *\nabla ^{2}T=c*\rho {\frac {dT}{d\tau }}$

esprimendo poi le tre costanti attraverso un'unica costante chiamata D, diffusività termica si ottiene:

${\frac {dT}{d\tau }}=D*\nabla ^{2}T$