Cinematica in una dimensione

Lezione 1:
Cinematica in una dimensione

La cinematica descrive il moto dei corpi, senza però indagare le cause del moto.

Prerequisiti: sono necessarie conoscenze basilari di matematica. Definizione di retta orientata, risoluzione di equazioni di secondo grado, risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Per comprendere alcuni passi sono necessarie conoscenze di analisi. Derivate, integrali.

Sistema di riferimento

Il moto è in una dimensione, cioè avviene lungo una retta. Fissiamo quindi un sistema di riferimento. Consideriamo una retta orientata, impostiamo un punto O chiamato origine e una misura OU che utilizzeremo come unità di misura. Possiamo quindi assegnare ad ogni punto della retta un valore appartenente all'insieme dei numeri reali. Il valore viene detto ascissa del punto. L'ascissa di un punto generico a si indica con $x_{a}$.

Al di là della definizione matematica, il sistema di riferimento è fondamentale. Un moto che avviene nella stessa direzione della retta avrà spostamento positivo, mentre un moto che avviene in senso opposto alla direzione fissata sulla retta avrà uno spostamento negativo.

Spostamento

Lo spostamento di un punto da $x_{i}$ a $x_{f}$, denotato con $\Delta x$, è definito come

$\Delta x=x_{f}-x_{i}\,\!$

e si misura in metri (m). Come abbiamo detto, può anche essere negativo. Gli indici f ed i indicano rispettivamente "finale" ed "iniziale".

Nota bene: l'origine conta solo nel determinare se l'ascissa di un punto è positiva o negativa. Per determinare il segno dello spostamento, conta solamente il verso della retta. Ad esempio, consideriamo l'immagine qua sotto. Lo spostamento da A a B, come quello da B a C, come quello da A a C sono tutti positivi, perché avvengono nella stessa direzione della retta. Viceversa, gli spostamenti da B ad A, da C a B e da C ad A sono tutti negativi. Tutto ciò a prescindere dalla posizione dell'origine.

Esempio

Poniamo $x_{a}=10$ e $x_{b}=15$. Se il moto avviene da A a B: $\left\{{\begin{matrix}x_{a}=10{\rm {m}}\\x_{b}=15{\rm {m}}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \Delta x=15-10=5{\rm {m}}$
Se il moto avviene da B ad A: $\left\{{\begin{matrix}x_{a}=10{\rm {m}}\\x_{b}=15{\rm {m}}\end{matrix}}\right.\Rightarrow \Delta x=10-15=-5{\rm {m}}$

Intervallo di tempo

L'intervallo di tempo tra due istanti, l'istante iniziale e l'istante finale, $t_{i}$ e $t_{f}$, con $t_{i}<t_{f}$, è definito come

$\Delta t=t_{f}-t_{i}\,\!$

e si misura in secondi (s).

Essendo $t_{i}<t_{f}$ $\Rightarrow \ \Delta t>0\!$.

Velocità

Solitamente per velocità intenderemo la velocità scalare media, definita come il rapporto tra la distanza percorsa e il tempo impiegato per percorrerla, cioè

$v_{m}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

e si misura in metri al secondo $\left({\frac {m}{s}}\right)$.

La velocità è un vettore ${\vec {v}}$. La direzione del vettore è ovviamente la retta, trovandoci in una situazione unidimensionale. L'espressione sopracitata fornisce il modulo della velocità. Il modulo può essere positivo o negativo a seconda del verso della velocità. Sarà positiva se è diretta nello stesso verso della retta, negativa se diretta in verso opposto. La velocità è quindi positiva per spostamenti positivi, negativa per spostamenti negativi.

Viene anche definita la velocità istantanea, che indica la velocità in un determinato istante. Può anche essere intesa come la derivata della posizione rispetto al tempo.

$v=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {dx}{dt}}$

Esempio

Una macchina percorre una distanza di 30 metri in 5 secondi. Qual è la sua velocità (media)?
$v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {30}{5}}=6{\frac {\rm {m}}{\rm {s}}}$

Accelerazione

Come per la velocità, per l' accelerazione intenderemo l' accelerazione media, definita come

$a_{m}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v_{f}-v_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

e si misura in ${\frac {\rm {m}}{{\rm {s}}^{2}}}$.

L'accelerazione è un vettore ${\vec {a}}$. La direzione del vettore è ovviamente la retta, trovandoci in una situazione unidimensionale. L'espressione sopracitata fornisce il modulo dell'accelerazione. Il modulo può essere positivo o negativo a seconda del verso della velocità. Sarà positiva se è diretta nello stesso verso della retta, negativa se diretta in verso opposto. L'accelerazione è quindi positiva per variazioni di velocità positive (quando la velocità aumenta), negativa per variazioni di velocità negative (quando la velocità diminuisce).

Viene anche definita l' accelerazione istantanea, che indica l'accelerazione in un determinato istante. Può anche essere intesa come la derivata della velocità rispetto al tempo.

$a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {dv}{dt}}$

Nei problemi più semplici, l'accelerazione è costante.

Esempio

Una macchina parte da ferma e raggiunge il traguardo con la velocità di 30 metri al secondo, impiegando 5 secondi. Qual è la sua accelerazione media?
$a={\frac {\Delta v}{\Delta _{t}}}={\frac {v_{f}-v_{0}}{t_{f}-t_{0}}}={\frac {v_{f}-0}{t_{f}-0}}={\frac {30}{5}}=6{\frac {m}{s^{2}}}$

Equazioni della cinematica per moto ad accelerazione costante

Ora che conosciamo tutti i tasselli fondamentali che costituiscono la cinematica monodimensionale, ricaviamo ora le equazioni che utilizzeremo per ottenere velocità, distanza, intervalli ed accelerazione in base alle grandezze note nei nostri problemi.

Affronteremo in questo paragrafo un moto semplificato, con accelerazione costante. Se l'accelerazione è una costante pari a 0, il moto viene detto rettilineo uniforme. Se invece l'accelerazione è una costante diversa da 0, il moto viene detto uniformemente accelerato.

Moto rettilineo uniforme

Nel moto rettilineo uniforme l'accelerazione è pari a 0, quindi la velocità è costante. Consideriamo la definizione di velocità:

$v_{m}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {x_{f}-x_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

Se iniziamo a descrivere il moto quando inizia, cioè iniziamo a cronometrarlo nel momento in cui inizia, allora avremo $t_{i}=0$, quindi:

$v_{m}={\frac {x_{f}-x_{i}}{t_{f}}}$

$v_{m}t_{f}=x_{f}-x_{i}\,\!$

$x_{f}=x_{i}+v_{m}t_{f}\,\!$

Riscrivendo l'equazione:

$x=x_{0}+vt\,\!$

Questa espressione ci da la posizione $x$ di un punto che ha iniziato il suo moto in un punto $x_{0}$ e si è mosso per un tempo $t$ ad una velocità $v$. La velocità è costante e rimane quindi sempre uguale a quella iniziale: $v_{m}=v_{0}=v$

Moto uniformemente accelerato

Nel moto uniformemente accelerato l'accelerazione è costante ma diversa da 0, quindi la velocità varia nel tempo. Ricaviamo prima l'equazione della velocità in funzione del tempo:

Partiamo dalla definizione di accelerazione:

$a_{m}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v_{f}-v_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

Come sopra, possiamo affermare che $t_{i}=0$, quindi:

$a_{m}={\frac {v_{f}-v_{i}}{t_{f}}}\,\!$

$a_{m}t_{f}=v_{f}-v_{i}\,\!$

$a_{m}t_{f}+v_{i}=v_{f}\,\!$

Riscrivendo l'equazione:

$v=v_{0}+at$

Questa è l'equazione della velocità rispetto al tempo.

Per ricavare l'equazione della posizione rispetto al tempo partiamo dalla formula appena dimostrata. Se consideriamo il moto in un intervallo di tempo $t$ la velocità finale sarà $v_{f}=v_{0}+at$ La velocità media nel percorso sarà dunque:

$v_{m}={\frac {v_{0}+v_{f}}{2}}={\frac {v_{0}+v_{0}+at}{2}}={\frac {2v_{0}+at}{2}}=v_{0}+{\frac {1}{2}}at$

Sostituendo la velocità media così ottenuta nell'espressione del moto rettilineo uniforme:

$x=x_{0}+v_{m}t\,\!$

$x=x_{0}+(v_{0}+{\frac {1}{2}}at)t\,\!$

$x=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}\,\!$

Abbiamo quindi ottenuto la nostra espressione.

Riassunto delle equazioni

Riassumiamo le equazioni della cinematica per moti unidimensionali.

$x=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}$

$v=v_{0}+\mathbf {a} t$

$v^{2}=v_{0}^{2}+2\mathbf {a} (x-x_{0})$

Queste equazioni, in particolare la prima e la seconda, vanno a costituire un sistema che permette di risolvere i problemi di cinematica unidmensionale.

Cinematica con tecniche di analisi matematica

Analizziamo ora una versione un tantino più complicata della cinematica, ma che tuttavia permette di avere una comprensione molto più ampia dell'argomento. Prima di tutto, un chiarimento: posizione, velocità e accelerazione sono funzioni del tempo.

Equazioni della cinematica con metodi di analisi

Abbiamo detto che la velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo e che l'accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo, quindi:

$a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}$

Cioè l'accelerazione è la derivata seconda dello spostamento.

A questo punto, sapendo che l'accelerazione è costante, cioè $a(t)=\mathbf {a}$, per trovare l'equazione della velocità rispetto al tempo basta risolvere l'equazione differenziale:

$x''=a(t)\,\!$

Nel nostro caso specifico, integrando entrambi i membri:

$x''(t)=a(t)=\mathbf {a}$

$x'(t)=v(t)=at+C$

Essendo $v(0)=C$, allora $C=v_{0}$ e l'equazione diventa:

$x'(t)=v(t)=v_{0}+\mathbf {a} t$

Integrando ancora:

$x(t)=v_{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}+C$

Ancora, essendo $x(0)=C$, allora $C=x_{0}$ e l'equazione diventa

$x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\frac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}$

L'equazione del moto rettilineo uniforme è un caso particolare di questa equazione, per a=0.

Casi di accelerazione non costante

Utilizzando la tecnica vista sopra, è possibile calcolare le equazioni del moto anche in casi di accelerazione non costante. Basta infatti avere l'equazione della posizione o della velocità o dell'accelerazione e poi derivare o integrare per ottenere le equazioni. Se ad esempio conosciamo l'equazione dell'accelerazione, basterà porre:

$x''(t)=a(t)\,\!$

per trovare l'equazione della velocità e della posizione.

Oppure, data l'equazione $x(t)$ della posizione rispetto al tempo, basterà calcolare la derivata prima per ottenere la velocità e la derivata seconda per l'accelerazione.

L'espressione dell'accelerazione può essere calcolata a partire dalla seconda legge della dinamica.