Calcolo vettoriale

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lezione
Calcolo vettoriale
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materie:

Dovendo trattare sia di quantità scalari che di quantità vettoriali, utilizzeremo lettere corsive (minuscole o maiuscole) per le grandezze scalari (siano esse costanti o funzione di una o più variabili), lettere in grassetto minuscolo per le grandezze vettoriali e lettere in grassetto maiuscole per le matrici.

Ad esempio, mentre le lettere A ed a rappresentano delle grandezze scalari, la lettera a rappresenta un vettore, ed in particolar modo un vettore colonna.

Riferendoci ai vettori nel corso delle lezioni utilizzeremo un altro tipo di rappresentazione: la notazione indiciale. Il vettore colonna a composto da n componenti potrà essere rappresentato indifferentemente sia con il simbolo a sia con la notazione , dove i è un numero naturale al variare del quale varia la componente del vettore a. Ad esempio, dato il vettore a di tre componenti, esso può essere rappresentato sia mediante il vettore colonna a sia mediante la notazione indiciale con i=1,2,3.

La prima operazione che introduciamo sui vettori è l'operazione di trasposizione, indicata con l'apice . Trasporre un vettore colonna ci porta a scrivere un vettore riga avente le stesse componenti (nello stesso ordine!) del vettore colonna. Ad esempio, il vettore colonna a visto in precedenza può essere trasposto e a ha la rappresentazione vettoriale

Se adesso volessimo rappresentare il vettore a in notazione indiciale, quale indice potremmo utilizzare? La particolarità (e spesso il disagio) di utilizzare la notazione indiciale consiste nel fatto che il vettore può rappresentare indifferentemente un vettore riga o un vettore colonna. Di volta in volta chiariremo, quando tratteremo formule scritte in notazione indiciale, se stiamo parlando di vettori riga o vettori colonna.

Le operazioni di calcolo vettoriale analitico che ci interessano sono:

  • Modulo di un vettore
  • Prodotto scalare di due vettori
  • Prodotto vettoriale di due vettori

Il modulo di un vettore ha il significato fisico si lunghezza del segmento e si calcola applicando il Teorema di Pitagora in 2 oppure 3 dimensioni, a seconda del tipo di vettore. Per un generico vettore in n dimensioni la formula è:

Il prodotto scalare tra due vettori è un numero reale definito come

Infine il prodotto vettoriale tra due vettori è il vettore risultante dal calcolo del determinante della matrice dove rappresentano i tre versori di un sistema di riferimento destrorso rispetto al quale sono state determinate le componenti del vettore a e le componenti del vettore b.

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