Calcolo coordinate di contatto tra due circonferenze

In questa voce si tratta del calcolo delle coordinate dei punti di contatto tra due circonferenze: una fissa,l'altra comunque disposta nel piano cartesiano.

Gli algoritmi utilizzati non sono dimostrati ma soltanto implementati, a favore del calcolo automatico, in apposite routine in Visual Basic; per le dimostrazioni si rimanda agli innumerevoli testi di geometria analitica in commercio.

Relazione tra due circonferenze

Le coordinate dei punti di contatto tra due circonferenze, siano tangenti che secanti si calcolano con un particolare file eseguibile mediante la soluzione di un sistema di quarto grado che vede coinvolte l'equazioni delle due curve.

La soluzione del sistema presenta alcune difficoltà di manipolazione dei dati con il rischio di errori nel suo sviluppo.

Con l'aiuto del programma eseguibile contenuto in geo4, scaricabile all'indirizzo della sezione Collegamenti esterni la grafica e la soluzione del problema con riferimento al sistema tra le due equazioni sotto riportato:

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}=R_{o}^{2}\\x^{2}+y^{2}+a\ x+b\ y+c=0\end{cases}}$

La prima equazione è relativa ad una circonferenza con il centro nell'origine degli assi e raggio, $Ro$, variabile secondo impostazione su P.C.

La seconda equazione è riferita ad una circonferenza definibile, secondo impostazioni su P.C, in due modi diversi:

• Impostazione A:

-Introduzione raggio $R_{o}$ per la prima equazione.

-Introduzione nel P.C. i valori dei coefficienti $a\ ;\ b\ ;\ c$ della seconda equazione, in questo caso i dati sono posti direttamente a calcolo per la soluzione del sistema.

• Impostazione B:

-Introduzione raggio $R_{o}$ per la prima equazione.

-Introduzione nel P.C. dei valori delle coordinate del centro $x_{c}\ ;\ y_{c}$ e del raggio $R$ per la seconda equazione.

In questa impostazione i coefficienti $a\ ;\ b\ ;\ c$, sono calcolati sulla base di $x_{c}\ ;\ y_{c}\ ;\ R$ e di seguito messi a calcolo.

Come si presenta la schermata del file eseguibile

La schermata del file eseguibile, al lancio sul P.C, si presenta come mostrato in figura 1, in essa s'individuano:

-il tracciato cartesiano

-due sezioni per l'inserzione dati; "impostazione A" e "impostazione B"

ciascuna comprendente 5 TextBox ed un pulsante di comando.

Nella sezione A si possono inserire:

-i coefficienti a; b; c dell'equazione della circonferenza comunque posizionabile.

-il raggio Ro dell'equazione della circonferenza con centro fisso.

-il valore di scala relativa al tracciato cartesiano

Nella sezione B si possono inserire:

-le coordinate Xc; Yc del centro ed il raggio R dell'equazione della circonferenza comunque posizionabile.

-il raggio Ro dell'equazione circonferenza con centro fisso.

-il valore di scala relativa al tracciato cartesiano

Esempi d'utilizzo del programma di calcolo

In questa sezione sono proposti alcuni esercizi grafico numerici la cui risoluzione è basata sul file eseguibile Sito4.exe scaricabile all'indirizzo posto nella sezione Collegamenti esterni

Curve secanti (Impostazione A)

Esercizio proposto da G. Zwirner, è relativo a due circonferenze definite dalle equazioni: ${\begin{cases}x^{2}+y^{2}=5\\x^{2}+y^{2}-6\ x-2\ y+5=0\end{cases}}$

Sull'area d'impostazione A si digitano i dati:

$a=-6\ ;\ b=-2\ ;\ c=5\ ;\ Ro=2.236$; scala uguale a $10$ pari ad 1 unità/quadretto

La soluzione del problema porta al grafico ed ai valori illustrati in figura 2 secondo i quali risultano due punti di contatto tra le circonferenze, le cui coordinate sono:

$P_{1}(x_{1}=2\ ;\ y_{1}=-1)$

$P_{2}(x_{2}=1\ ;\ y_{2}=2)$

La schermata mostra inoltre le seguenti coordinate del centro ed il raggio:

$x_{c}=3\ ;\ y_{c}=1\ ;\ R=2.24$

Una volta presentati i dati questi possono essere cambiati e , dopo la pressione del pulsante calcolo, ottenere una presentazione completamente diversa.

Curve secanti (Impostazione B)

L'esercizio per il calcolo delle coordinate dei punti di contatto si basa sull'impiego dell'area d'impostazione B nel caso in cui la circonferenza comunque posizionabile sia definita dalla coordinate del centro ed il raggio. Se abbiamo:

per la prima circonferenza: $x^{2}+x^{2}=25$ (con $Ro=5$)

per la seconda $Pc(x_{c}=-3\ ;\ y_{c}=5)$ e $R=4.5$

otteniamo le coordinate

$P_{1}(x_{1}=1.49\ ;\ y_{1}=4.77)$

$P_{2}(x_{2}=-4.91\ ;\ y_{2}=0.93)$

come illustrate in figura 3

Curve tangenti

L'esercizio, per il calcolo delle coordinate del punto di tangenza, si basa sull'impiego dell'area d'impostazione B nel caso in cui le due circonferenze siano definite da :

prima curva :$x^{2}+y^{2}=12.25$ ; [ NB. $Ro=sqr(12.25)=3.5$]

seconda curva: $Pc(x_{c}=5.1\ ;\ y_{c}=6.8)$, $R=5$

Il problema è risolto, secondo la figura 4, con i due punti di contatto coincidenti, condizione di tangenza tra le due curve: $xu_{1}=xu_{2}=2.1\ e\ yu_{1}=yu_{2}=2.8$.

• Variando $R$ e ripetendo il calcolo si avrà:

Per $R>5$ le circonferenze saranno secanti

Per $R<5$ le circonferenze saranno esterne

• Variando $R_{o}$ si avrà:

Per $R_{o}>3.5$ le circonferenze saranno secanti

Per $R<3.5$ le circonferenze saranno esterne

Curva interne

L'esercizio si basa sull'impiego dell'area d'impostazione A nel caso in cui le circonferenze abbiano equazioni:

$x^{2}+y^{2}=36$ con $Ro=6$

$x^{2}+y^{2}-6\ x-2\ y+5=0$

La grafica del problema, in figura 5, vede una circonferenza interna all'altra in ovvia assenza di coordinate di contatto (viene evidenziata in rosso la scritta "nessun punto di contatto".

Curve esterne

L'esercizio si basa sull'impiego dell'area d'impostazione B nel caso in cui le circonferenze siano definite da:

prima curva: $x^{2}+y^{2}=4.84$ con $Ro=2.2$

seconda curva:$Pc(x_{c}=-5\ ;\ y_{c}=-3),$ $R=3.1$

La grafica del problema, in figura 6, vede le due circonferenze l'una esterna all'altra in ovvia assenza di coordinate di contatto (viene evidenziata in rosso la scritta "nessun punto di contatto".

Note

Generalmente i problemi scolastici di geometria analitica mostrano, in tutti i casi, l'impiego di numeri razionali (frazioni numeriche) o irrazionali (radici quadrate) per l'eleganza formale del testo; è naturale quindi che per il controllo dei risultati di un problema di tipo scolastico con l'analogo sviluppato con le nostre routine si dovranno trasformare i valori razionali o irrazionali esposti per il primo in valori decimali per il confronto con il secondo.

Bibliografia

R.Ferrauto, Il problema geometrico e la geometria analitica, Editrice Dante Alighieri, Roma, 1980

C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.

N. Clemet Shmmas, Visual basic 6, Editrice Apogeo Milano, 1999

Don Inmann -B. Albrecht, Programmare in QuickBasic Editrice McGraw-Hill Italia , 1989

Collegamenti esterni

Deposito del file exe: geo4