Basi di spazi vettoriali

Da Wikiversità, l'apprendimento libero.
Jump to navigation Jump to search
lezione
Basi di spazi vettoriali
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 75%.

Base di uno spazio vettoriale[modifica]

Dato uno spazio vettoriale , si dice che l'insieme di vettori è una base di se e solo se

  1. sono linearmente indipendenti
  2. generano il sottospazio , cioè .

Il concetto di base unisce i concetti precedentemente introdotti di indipendenza lineare e di generatori di uno spazio vettoriale.

La nozione di base di uno spazio vettoriale (o analogamente di un sottospazio) è fondamentale nelle caratterizzazioni successive di spazi vettoriali, in primis perché permette la definizione di uno degli invarianti più importanti in algebra lineare e cioè la dimensione.

Dalla definizione segue la seguente osservazione:

Siano vettori linearmente indipendenti di . Supponiamo che

tali che
.

Allora si ha che con .

Dimostrazione[modifica]

si può riscrivere come . Essendo per ipotesi i linearmente indipendenti, i coefficienti devono essere per forza tutti nulli, quindi .

Si può dimostrare poi che ogni spazio vettoriale possiede una base, applicando il lemma di Zorn all'insieme di tutti gli insiemi di vettori indipendenti dello spazio con l'inclusione come ordine parziale.

Esistenza delle basi[modifica]

Definizione: Sia un sottoinsieme di uno spazio vettoriale . Si dice che è un sottoinsieme massimale in di vettori linearmente indipendenti se e solo se

  1. tutti gli elementi di sono vettori linearmente indipendenti;
  2. aggiungendo a un qualunque altro vettore di si ottiene un insieme di vettori linearmente dipendenti.

Proposizione[modifica]

Sia una base di uno spazio vettoriale . Allora è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti in .
Dimostrazione[modifica]

Per ipotesi i vettori sono linearmente indipendenti. Dimostriamo allora che aggiunto qualsiasi altro vettore a otteniamo un insieme di vettori linearmente dipendenti. Ma sappiamo che ogni vettore di è generato dai , essendo , quindi

ma

ed è una relazione di dipendenza lineare, visto il vettore nullo è dato da una combinazione lineare di vettori con coefficienti non tutti nulli (il coefficiente di è -1).

Lemma[modifica]

Vediamo ora un lemma che ci serve per dimostrare un significativo teorema.

Sia un sottoinsieme di uno spazio vettoriale e supponiamo che contenga un sistema di generatori di . Allora

cioè anche genera .

Dimostrazione[modifica]

Sia un sistema di generatori di contenuto in . Possiamo dunque scrivere come combinazione lineare dei vettori di e siccome , possiamo scrivere gli elementi di come combinazione di elementi di e di conseguenza, possiamo scrivere ogni elemento di come combinazione di elementi di . Dunque .

Teorema[modifica]

Sia un sistema di generatori di uno spazio . Sia un sottoinsieme massimale in di vettori linearmente indipendenti.

Allora è una base di .

Dimostrazione[modifica]

Esplicitiamo come .

Per ipotesi, i vettori di sono linearmente indipendenti, dunque per dimostrare che è una base di dobbiamo solo mostrare che essi generano e possiamo farlo grazie al Lemma precedente.

Preso , per l'ipotesi di massimalità assunta, formano un insieme di vettori linearmente dipendenti. Dunque

dev'essere per forza non nullo, altrimenti avremmo scritto una relazione di dipendenza lineare di vettori che sappiamo essere linearmente indipendenti per ipotesi. Allora

Dunque ed essendo generico elemento di non appartenente a , abbiamo per il lemma precedente che e dunque genera ed essendone anche gli elementi linearmente indipendenti, è una base di .

Corollario[modifica]

Ogni spazio vettoriale contenente un sistema finito di generatori ammette una base.

Metodi per trovare una base[modifica]

Studiamo ora dei metodi operativi per trovare una base di uno spazio vettoriale.

Metodo degli scarti[modifica]

È un metodo abbastanza semplice per trovare una base da un insieme di generatori eliminando o tenendo elementi ed essendo algoritmico, si presta bene anche per essere implementato in un calcolatore. Esso consiste nei seguenti passaggi:

  1. se è il vettore nullo lo scartiamo, altrimenti lo teniamo;
  2. se è proporzionale a lo scartiamo, altrimenti lo teniamo;
  3. se è combinazione lineare dei precedenti vettori tenuti lo scartiamo, altrimenti lo teniamo;
  4. così fino alla fine.

L'insieme di vettori che ci resta è un insieme di vettori linearmente indipendenti, quindi è una base di .

Teorema del Completamento o Teorema di Steinitz[modifica]

Sia V(K) uno spazio vettoriale e sia una sua base finita. Se è un insieme di (con ) vettori linearmente indipendenti, allora è possibile formare una nuova base aggiungendo ai vettori di A n-p vettori di B opportunamente scelti.

Dimostrazione[modifica]

Dimensione di uno spazio vettoriale[modifica]

Dato uno spazio vettoriale si definisce dimensione dello spazio la cardinalità di una base di .

Mostriamo ora che la dimensione è effettivamente un invariante per gli spazi vettoriali e non dipende quindi dalla scelta della base. Vale infatti il seguente

Teorema[modifica]

Date due basi di uno spazio vettoriale con un sistema finito di generatori. Allora .

Dimostrazione[modifica]

Sia e . Vogliamo mostrare che ; supponiamo dunque per assurdo che sia . Per definizione di base sappiamo che , in particolare ogni vettore di può essere scritto come combinazione lineari dei vettori di . Siano dunque

Mostriamo ora che se ciò accade i vettori non possono essere linearmente indipendenti.

Infatti, detta la matrice formata dai coefficienti , si ha che il sistema

è un sistema sovradimensionato (ci sono cioè più incognite, , che equazioni, ) ed ammette quindi soluzioni non banali.

Esistono cioè non tutti nulli tali che il che è assurdo perché per ipotesi è una base e quindi un insieme di vettori linearmente indipendenti.

Dal teorema precedente segue immediatamente che la dimensione di uno spazio vettoriale non dipende dalla particolare scelta della base.

Esempi[modifica]

  • Lo spazio vettoriale ha dimensione 3, infatti i vettori formano una base per l'intero spazio.
  • Più in generale si può dimostrare che lo spazio ha dimensione . Questo mostra in maniera informale come la nozione precedentemente introdotta di dimensione è in accordo con la nozione intuitiva di dimensione che deriva dall'esperienza.
  • Lo spazio vettoriale su campo ha dimensione 1, mentre come spazio vettoriale su ha dimensione 2. Questo esempio mostra come la dimensione dipenda dal campo su cui è costruito lo spazio vettoriale.
  • Analogamente al caso reale, la dimensione di (come spazio vettoriale su ) è .

Intersezione e somma di sottospazi vettoriali[modifica]

Formula di Grassmann[modifica]

Siano U e W sottospazi di dimensione finita dello spazio vettoriale V. Risulta

Dimostrazione[modifica]

Somma diretta[modifica]

Nel caso in cui, per ogni v di U + W esiste un’unica coppia di vettori u di U e w di W tali che v=u+w, allora diciamo che la somma U + W è diretta e scriviamo U⊕W.

Teorema[modifica]

La somma U+W è diretta se e solo se U∩W ={0}.

Dimostrazione[modifica]

⇒ Se v ∈ U ∩ W fosse un vettore non nullo, allora la somma non sarebbe diretta perché v= v+0= 0+v, cioè v= v+0 con v∈U, 0∈W e v = 0 + v con 0 ∈ U, v ∈ W .

⇐ Scrivendo v= u1+w1= u2+w2 con u1, u2∈ U e w1, w2∈ W, si ricava che il vettore u1 − u2 = w2 − w1 è nell’intersezione U ∩ W ;

dunque, se U∩W ={0}, risulta u1=u2 e w2=w1, cioè la somma è diretta.