Applicazioni lineari

Definizione

Siano $V$ e $W$ $𝕂$-spazi vettoriali. Definiamo gli omomorfismi tra gli spazi vettoriali con il nome di applicazioni lineari.

Definizione: Applicazione lineare

Si dice applicazione lineare da $V$ a $W$ un omomorfismo tra i due spazi vettoriali, cioè una funzione che gode delle seguenti proprietà:

• $f(v+v^{\prime })=f(v)+f(v^{\prime }),\mathrm{\forall }v,v^{\prime }\in V$
• $f(\lambda v)=\lambda f(v),\mathrm{\forall }v\in V,\mathrm{\forall }\lambda \in 𝕂$

È anche possibile verificare le due proprietà contemporaneamente, cioè verificare se

$f(\lambda v+{\lambda }^{\prime }{v}^{\prime })=\lambda f(v)+{\lambda }^{\prime }f(v^{\prime })$

Esempio

$f:{ℝ}^2\to {ℝ}^4,(x,y)\to (2y,0,x+y,x-y)$ verificare che sia un'applicazione lineare, cioè verificare se valgono le proprietà di omomorfismo.

Prendiamo allora un altro elemento di ${ℝ}^2$ $(x^{\prime },y^{\prime })\to (2y^{\prime },0,x^{\prime }+y^{\prime },x^{\prime }-y^{\prime })$. Verifichiamone le proprietà:

• $f((x,y)+(x^{\prime },y^{\prime }))=f((x+x^{\prime },y+y^{\prime }))=(2(y+y^{\prime }),0,(x+x^{\prime })+(y+y^{\prime }),(x+x^{\prime })-(y+y^{\prime }))=$

$(2y,0,x+y,x-y)+(2y^{\prime },0,x^{\prime }+y^{\prime },x^{\prime }-y^{\prime })=f((x,y))+f((x^{\prime },y^{\prime }))$

• $f(\kappa (x,y))=f((\kappa x,\kappa y))=(\kappa 2y,\kappa 0,\kappa (x+y),\kappa (x-y))=\kappa (2y,0,x+y,x-y)=\kappa f((x,y))$

Dalla definizione, se $\lambda =0$ o $\lambda =-1$, abbiamo che

$f(0v)=0f(v)=0$

$f(v-v^{\prime })=f(0)=0$

e da qui sappiamo sempre che $f(0)=0$.

Isomorfismo tra $V$ e ${𝕂}^n$

Sia $ℬ=(v_1,\dots ,v_n)$ una base di $V$. La funzione

$f_B:V\to {𝕂}^n,v\mapsto (k_1,\dots ,k_n)$

associa ad ogni vettore di $V$ le sue coordinate rispetto alla base $ℬ$.

Dimostrate per esercizio che $f_B$ è un'applicazione lineare, ma concentriamoci sul fatto che è biunivioca. Infatti ogni vettore $v$ si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei $(v_1,\dots ,v_n)$ e viceversa ogni combinazione di $(v_1,\dots ,v_n)$ definisce un vettore di $V$. Dunque $f_B$ è biunivoca ed essendo una applicazione lineare, essa è un isomorfismo. Ciò dunque mette in evidenza un fattore molto importante: $V$ e ${𝕂}^n$ sono isomorfi tra loro, dunque è possibile lavorare in $V$ con la comodità di maneggiare con valori numerici invece che con vettori.

Esiste anche la funzione identità

$I_v:V\to V,v\mapsto v$

che è un automorfismo.

Proposizioni sulle applicazioni lineari

Proposizione:

Sia $f:V\to W$ un'applicazione lineare, $S$ un generico sottospazio vettoriale di $V$ e $S^{\prime }$ un generico sottospazio di $W$. Allora:

1. l'immagine di un sottospazio (di $V$) è ancora un sottospazio (di $W$), cioè

$f(S)=S^{\prime }$;

1. $f^{-1}(S^{\prime })=S$, cioè la controimmagine di un sottospazio vettoriale di $W$ è ancora un sottospazio vettoriale di $V$;
2. $f{|}_S:S\to f(S)$ è un omomorfismo.

Nucleo e immagine di $f$

Definizione: Nucleo

Si dice nucleo dell'applicazione lineare $f$ il sottospazio

$f^{-1}(0)=Ker(f)=\{v\in V\mid f(v)=0_W\}$

L'immagine di $f$ è analoga alla definizione di immagine di una funzione qualsiasi e si denota con $Im(f)$.

Proposizione:

Sia $f:V\to W$ un'applicazione lineare. $f$ è:

1. un monomorfismo $\iff Ker(f)=0$;
2. un epimorfismo $\iff Im(f)=W$

Dimostrazione: Proposizione

1. I
   1. $\Rightarrow )$ - $f$ è un monomorfismo e $v,v^{\prime }\in Ker(f)$. Allora $f(v+v^{\prime })=0\Rightarrow f(v)+f(v^{\prime })=0\Rightarrow f(v-v^{\prime })=0\Rightarrow f(0)=0$. Dunque l'unico elemento di $Ker(f)$ è $0$.
   2. $\Leftarrow )$ - Se $Ker(f)=0$ e $f(v)=f(v^{\prime })$ allora $f(v)-f(v^{\prime })=0$. Dunque $f(v-v^{\prime })=0\Rightarrow (v-v^{\prime })\in Ker(f)$ e siccome per ipotesi l'unico elemento di $Ker(f)$ è $0$, implica che $v-v^{\prime }=0$ dunque $v=v^{\prime }$ e questo prova che $f$ è iniettiva.
2. II
   1. $\Rightarrow )$ - $f$ epimorfismo implica, per definizione di suriettività, che $\mathrm{\forall }w\in W\mathrm{\exists }v\in V\mid w=f(v)$. Dunque per definizione $Im(f)=W$.
   2. $\Leftarrow )$ - Se $Im(f)=W$, allora per ogni $w\in W\mathrm{\exists }v\in V\mid w=f(v)$, che è la definizione di suriettività.

Proposizione:

Sia $f:V\to W$ un'applicazione lineare e $v_i,i=1,\dots ,n$. Valgono allora le seguenti asserzioni:

1. Se $V=<v_i>\Rightarrow Im(f)=<f(v_i)>$, cioè $f$ porta un insieme di generatori di $V$ in un insieme di generatori di $Im(f)$;
2. Se $v_1,\dots ,v_n$ sono linearmente dipendenti allora lo sono anche $f(v_1),\dots ,f(v_n)$ e se $f(v_i)$ sono linearmente indipendente lo sono anche i $v_i$;
3. $f$ monomorfismo e $v_1,\dots ,v_n$ linearmente indipendenti lo sono anche i $f(v_1),\dots ,f(v_n)$.

Dimostrazione: Proposizione

1. $V=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i$, quindi ogni vettore $u\in V$ è $u=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i$. Dunque, ogni vettore $w\in W$ è $w=f(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i)$ e per la proprietà di omomorfismo abbiamo $w=\sum _{i=1}^n({\alpha }_{i}f(v_i))$. Essendo $w$ un generico vettore di $W$ possiamo dedurre che tutti i vettori di $W$ si possono scrivere come combinazioni lineari dei $f(v_1),\dots ,f(v_n)$ quindi essi generano $W$.
2. Essendo linearmente dipendenti esistono dei ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ non tutti nulli tali che $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i=0$. Dunque $f\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i\right)=f(0)=\sum _{i=1}^n({\alpha }_{i}f(v_i))=0$ sono anche linearmente dipendenti perché per ipotesi gli ${\alpha }_i$ sono non tutti nulli. Se invece i vettori $f(v_i)\in W$ sono linearmente indipendenti, allora $\sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}f(v_i)=0\Rightarrow {\alpha }_1=\dots ={\alpha }_n=0$. Segue che $0=f(\sum _{i=1}^n({\alpha }_i{v}_i))=f(0)$, cioè i $\sum _{i=1}^n({\alpha }_i{v}_i)$ si annullano solo quanto tutti i coefficienti sono nulli. Dunque pure i $v_i$ linearmente indipendenti.
3. $f$ monomorfismo significa che è una applicazione lineare iniettiva e $v_1\dots ,v_i$ linearmente indipendenti per ipotesi. Per la prima proposizione della sezione, $Ker(f)=0$ e questo accade per il vettore nullo di $V$ cioè quando gli ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ sono tutti nulli. Dunque $f(\sum _{i=1}^n({\alpha }_i{v}_i))=\sum _{i=1}^n({\alpha }_{i}f(v_i))=0\iff \sum _{i=1}^n({\alpha }_{i}f(v_i))\in Ker(f)\iff {\alpha }_1=\dots ={\alpha }_n=0$. Quindi sono linearmente indipendenti anche gli $f(v_i)\in W$.

Corollari e Proposizioni su basi e dimensioni

Corollario:

Sia $ℬ=\{v_1,\dots ,v_n\}$ una base di $V$. Allora $f(ℬ=\{f(v_1),\dots ,f(v_n)\})$ genera $Im(f)$. Quindi se $f$ è:

• un monomorfismo $\Rightarrow f(ℬ)$ è una base di $Im(f)$;
• un epimorfismo $\Rightarrow f(ℬ)$ genera $W$;
• un isomorfismo $\Rightarrow f(ℬ)$ è una base di $W$.
• un isomorfismo $\Rightarrow \dim V=\dim W$

Teorema: Unicità dell'applicazione lineare

Sia $ℬ=(v_1,\dots ,v_n)$ una base ordinata di $V$ e $(w_1,\dots ,w_n)$ una $n$-upla di $W$.

Allora esiste una sola applicazione lineare $f:V\to W$ tale che $f(v_i)=w_i$.

Dimostrazione: Teorema dell'unicità dell'applicazione lineare

• (Esistenza) $f$ porta i $v\in V$ in $w\in W$, cioè $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i\mapsto \sum _{i=1}^n{\beta }_i{w}_i$. Tale funzione è lineare (provate a verificarlo) e dunque esiste l'applicazione lineare.
• (unicità). Supponiamo che $f(v)$ e $g(v)$ siano due applicazioni lineari $V\to W$, tali che $f(v_i)=w_i$ e $g(v_i)=w_i$. Allora

$w=g(v)=g\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i\right)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}g(v_i)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{w}_i$

$w=f(v)=f\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{v}_i\right)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}f(v_i)=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{w}_i$

Dunque $f=g$.

Corollario:

Se $\dim V=\dim W$ gli spazi vettoriali V e W sono isomorfi