Applicazioni lineari

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lezione
Applicazioni lineari
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Algebra lineare
Avanzamento Avanzamento: lezione completa al 75%.

Definizione[modifica]

Siano e -spazi vettoriali. Definiamo gli omomorfismi tra gli spazi vettoriali con il nome di applicazioni lineari.


Definizione: Applicazione lineare

Si dice applicazione lineare da a un omomorfismo tra i due spazi vettoriali, cioè una funzione che gode delle seguenti proprietà:


È anche possibile verificare le due proprietà contemporaneamente, cioè verificare se

Esempio[modifica]

verificare che sia un'applicazione lineare, cioè verificare se valgono le proprietà di omomorfismo.

Prendiamo allora un altro elemento di . Verifichiamone le proprietà:

Dalla definizione, se o , abbiamo che

e da qui sappiamo sempre che .

Isomorfismo tra e [modifica]

Sia una base di . La funzione

associa ad ogni vettore di le sue coordinate rispetto alla base .

Dimostrate per esercizio che è un'applicazione lineare, ma concentriamoci sul fatto che è biunivioca. Infatti ogni vettore si può scrivere in maniera unica come combinazione lineare dei e viceversa ogni combinazione di definisce un vettore di . Dunque è biunivoca ed essendo una applicazione lineare, essa è un isomorfismo. Ciò dunque mette in evidenza un fattore molto importante: e sono isomorfi tra loro, dunque è possibile lavorare in con la comodità di maneggiare con valori numerici invece che con vettori.


Esiste anche la funzione identità

che è un automorfismo.

Proposizioni sulle applicazioni lineari[modifica]


Proposizione:

Sia un'applicazione lineare, un generico sottospazio vettoriale di e un generico sottospazio di . Allora:

  1. l'immagine di un sottospazio (di ) è ancora un sottospazio (di ), cioè
;
  1. , cioè la controimmagine di un sottospazio vettoriale di è ancora un sottospazio vettoriale di ;
  2. è un omomorfismo.


Nucleo e immagine di [modifica]


Definizione: Nucleo

Si dice nucleo dell'applicazione lineare il sottospazio


L'immagine di è analoga alla definizione di immagine di una funzione qualsiasi e si denota con .


Proposizione:

Sia un'applicazione lineare. è:

  1. un monomorfismo ;
  2. un epimorfismo



Dimostrazione: Proposizione
  1. I
    1. - è un monomorfismo e . Allora . Dunque l'unico elemento di è .
    2. - Se e allora . Dunque e siccome per ipotesi l'unico elemento di è , implica che dunque e questo prova che è iniettiva.
  2. II
    1. - epimorfismo implica, per definizione di suriettività, che . Dunque per definizione .
    2. - Se , allora per ogni , che è la definizione di suriettività.



Proposizione:

Sia un'applicazione lineare e . Valgono allora le seguenti asserzioni:

  1. Se , cioè porta un insieme di generatori di in un insieme di generatori di ;
  2. Se sono linearmente dipendenti allora lo sono anche e se sono linearmente indipendente lo sono anche i ;
  3. monomorfismo e linearmente indipendenti lo sono anche i .



Dimostrazione: Proposizione
  1. , quindi ogni vettore è . Dunque, ogni vettore è e per la proprietà di omomorfismo abbiamo . Essendo un generico vettore di possiamo dedurre che tutti i vettori di si possono scrivere come combinazioni lineari dei quindi essi generano .
  2. Essendo linearmente dipendenti esistono dei non tutti nulli tali che . Dunque sono anche linearmente dipendenti perché per ipotesi gli sono non tutti nulli. Se invece i vettori sono linearmente indipendenti, allora . Segue che , cioè i si annullano solo quanto tutti i coefficienti sono nulli. Dunque pure i linearmente indipendenti.
  3. monomorfismo significa che è una applicazione lineare iniettiva e linearmente indipendenti per ipotesi. Per la prima proposizione della sezione, e questo accade per il vettore nullo di cioè quando gli sono tutti nulli. Dunque . Quindi sono linearmente indipendenti anche gli .


Corollari e Proposizioni su basi e dimensioni[modifica]


Corollario:

Sia una base di . Allora genera . Quindi se è:

  • un monomorfismo è una base di ;
  • un epimorfismo genera ;
  • un isomorfismo è una base di .
  • un isomorfismo



Teorema: Unicità dell'applicazione lineare

Sia una base ordinata di e una -upla di .

Allora esiste una sola applicazione lineare tale che .



Dimostrazione: Teorema dell'unicità dell'applicazione lineare
  • (Esistenza) porta i in , cioè . Tale funzione è lineare (provate a verificarlo) e dunque esiste l'applicazione lineare.
  • (unicità). Supponiamo che e siano due applicazioni lineari , tali che e . Allora

Dunque .



Corollario:

Se gli spazi vettoriali V e W sono isomorfi