Andamento delle funzioni di correlazione con la frequenza dei segnali

L'influenza della banda dei segnali nella correlazione digitale è di notevole interesse da un punto di vista applicativo perché il contenuto frequenziale dei segnali stessi modifica notevolmente l'andamento delle funzioni $C(\tau )x$ e ciò può influire sulle soluzioni dei più diversi problemi tecnici.

La possibilità di variare la banda dei segnali da correlare è di fatto un notevole ampliamento delle capacità di adattamento dell'algoritmo della correlazione alle più diverse esigenze tecniche.

Per mostrare come variano le $C(\tau )x$ in funzione della banda dei segnali di ingresso proponiamo qui di seguito due interessanti esempi grafici che mettono ben in evidenza questa particolare dipendenza.

Esempi grafici e specificazioni

Può essere infatti necessario che il profilo della $C(\tau )x$ debba essere opportunamente adattato per soddisfare particolari esigenze funzionali; ciò si può realizzare, entro certi limiti, dimensionando opportunamente la banda d'ingresso dei segnali da correlare.

Nella correlazione digitale la banda dei segnali individua il contenuto frequenziale delle variabili $f(t)$ che, tramite limitazione d'ampiezza, vengono trasformate nel tipo $X(t).$

Per mostrare come variano le $C(\tau )x$ in funzione della banda dei segnali d'ingresso proponiamo qui di seguito due interessanti esempi grafici che mettono ben in evidenza questa particolare dipendenza

Primo esempio

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  Figura 1
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  Figura 2
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  Figura 3

Caso della $C(\tau )x$ definita tra $0\ e\ F_{1}$

In figura 1 è tracciato l'andamento della $C(\tau )x$ per segnale nella banda compresa tra $(0\ Hz\ e\ F_{1}=2500\ Hz)$.

Se estendiamo la banda del segnale da $(0\ ;\ F_{1}=2500\ Hz)$ a $(0\ ;\ F_{1}=10000\ Hz)$ otteniamo il grafico di figura 2 che mostra come la nuova $C(\tau )x$ non decresca più dolcemente come quella di figura 1, ma mostra un profilo molto ripido con l'aumentare di $\tau$ :

Questo comportamento e determinato dalla funzione di correlazione digitale in cui il termine $\sin \ x$ risente dell'aumento dell'argomento $(2\pi \cdot F_{1}\cdot \tau )$ dovuto all'incremento del valore di $F_{1},$ che costringe la funzione di correlazione $C(r)x$ a decrescere più rapidamente al crescere di $\tau$.

Se invece la banda del segnale $f(t)$ si riduce da ($0\ ;\ F_{1}=2500\ Hz$ ) a ($0\ ;\ F_{1}=600\ Hz)$ il profilo della $C(\tau )x$ si modifica come riportato in figura 3 :

In questo caso invece il comportamento della funzione risente della riduzione dell'argomento $(2\pi \cdot F_{1}\cdot \tau )$ dovuto alla riduzione del valore di $F_{1}$ che costringe la $C(\tau )x$ a decrescere più dolcemente al crescere di $\tau$.

Secondo esempio

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  Figura 4
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  Figura 5
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  Figura 6

Caso della $C(\tau )x$ definita per segnale in banda compresa tra $F_{1}\ e\ F_{2}$.

In figura 4 è tracciato l'andamento della $C(\tau )x$ per segnale nella banda compresa tra $(F_{1}=7000\ Hz\ ;\ F_{2}=10000\ Hz)$. se si aumenta la larghezza di banda a $(F_{1}=1000\ Hz\ ;\ F_{2}=20000\ Hz$ si ottiene una $C(\tau )x$ con pendenza molto elevata così come si vede dal tracciato di figura 5:

Se invece si riduce la larghezza di banda del segnale a $(F_{1}=9000\ Hz\ ;\ F_{2}=10000\ Hz)$ si ottiene una $C(\tau )x$ che ondula molto marcatamente così come si vede dal tracciato di figura 6.

Specificazioni

Per concludere questo importante argomento è necessario evidenziarne due fondamentali aspetti:

Primo

Tutte le osservazioni che ora sono state fatte per le funzioni di autocorrelazione, $C(\tau )x$, valgono naturalmente anche per le funzioni di correlazione incrociata, $C(\tau )x1,2$ che subiscono l'effetto della variazione della banda dei segnali di ingresso nell'identico modo in cui lo subiscono le $C(\tau )x$ sopra menzionate.

Secondo

Dall'esame comparativo che abbiamo condotto tra le diverse funzioni $C(r)x$ è emersa la marcata dipendenza delle funzioni stesse dalla banda del segnale da correlare; giova pertanto mettere in evidenza alcune situazioni e/o vantaggi pratici che ne possono derivare :

• Se l'indagine sull'interdipendenza tra i segnali del tipo $f(t)\ o\ X(t)$ deve essere sviluppata obbligatoriamente su di una banda di frequenze, fissata a priori dalle caratteristiche dei segnali, si dovranno accettare gli andamenti conseguenti delle funzioni di correlazione limitandoci a controllarli mediante confronto con le stesse precedentemente calcolate.

• Se l'indagine sull'interdipendenza tra i segnali del tipo $f(t)\ o\ X(t)$ non sarà vincolata dalla banda naturale dei segnali si potrà scegliere una banda di analisi che più si adatta, in base al conseguente profilo delle $C(\tau )x$, alle necessità dell'indagine stessa.

Esempi sulla scelta delle bande di frequenza

Primo

Supponiamo di dover analizzare con molta accuratezza il profilo di una $C(\tau )x$ per segnale definito in banda ($0;F_{1}$) nel tratto in cui la $C(\tau )x$ passa dal suo valore massimo ad $1/3$ del massimo; sarà questo il caso in cui si dovrà ridurre sensibilmente la banda del segnale di ingresso al correlatore, abbassando il valore di $F_{1}$, in modo che con tutti gli $n$ passi di ritardo disponibili nel correlatore di misura si potrà analizzare il tratto di $C(\tau )x$ la cui ampiezza varia da $1\ a\ 0.333$ ; ciò grazie al fatto che l'abbassamento di $F_{1}$ porta il profilo della $C(\tau )x$ a decrescere molto lentamente al crescere di $\tau$.

Secondo

Consideriamo il caso in cui si debba misurare con elevata precisione il valore del ritardo $\tau *$ per il quale la $C(\tau )1,2,$ per segnali definiti nella banda tra $F_{1}\ e\ F_{2},$ ha il massimo valore; per risolvere al meglio questo problema sara utile avere una funzione di correlazione incrociata con un profilo il più pendente possibile; cioè si ottiene, come abbiamo visto, allargando al massimo la banda dei segnali da correlare.

In questo modo disponendo di una variazione fine di $\tau$ si potrà rilevare con buona precisione, grazie alla elevata pendenza della $C(r)1,2$ il valore $\tau *$.

Terzo

Sia dato il caso in cui si debbano misurare con precisione i primi quattro valori consecutivi di $\tau$ : $\tau 1\ \tau 2\ \tau 3\ \tau 4$ per i quali una certa $C(\tau )x$, per segnale definito tra $F_{1}\ e\ F_{2}$ raggiunge il massimo dell'ampiezza; ciò si ottiene più facilmente "costringendo" la $C(\tau )x$ ad oscillare con basso smorzamento in modo tale che i valori massimi che si ottengono per le $C(\tau )x$ siano i più elevati possibile; questo risultato si ottiene, come sappiamo, restringendo al massimo la banda del segnale da correlare.

Bibliografia

• Giuseppe Pazienza, Fondamenti della localizzazione marina, La Spezia, Studio grafico Restani, 1970.

• C. Del Turco, La correlazione, Tip. Moderna La Spezia, 1993. (testo disponibile su Collegamenti interni)