Aiuto:Esempio di lezione

Da Wikiversità, l'apprendimento libero.
Jump to navigation Jump to search
lezione
Esempio di lezione
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Topologia




Introduzione alla Topologia[modifica]

In questa lezione cominceremo con l'introdurre i principali ingredienti della topologia.

Prerequisiti sono sicuramente alcune nozioni di insiemistica di base e un'infarinatura di geometria e analisi, nonché una familarietà con il linguaggio matematico e i suoi ragionamenti. Cercheremo comunque di dare per scontato solo lo stretto indispensabile per non appesantire troppo la trattazione

Spazi Topologici[modifica]

Il concetto base su cui si basa tutta la topologia è appunto la topologia. Vediamo in dettaglio cosa si vuole intendere con questa locuzione.

Definizioni[modifica]

Uno spazio topologico è una coppia dove è un insieme (che in genere per evitare casi banali si supporrà diverso dall'insieme vuoto) e è una topologia, dove con intendiamo l'insieme delle parti di , cioè l'insieme dei suoi sottoinsiemi.

Esplicitiamo ora in modo preciso che caratteristiche deve avere una famiglia di sottoinsiemi per essere una topologia.

Un sottoinsieme si dice una topologia su se verifica le seguenti richieste:

(T1)
L'unione di una qualunque famiglia di elementi di è ancora un elemento di , cioè
(T2)
L'intersezione di una famiglia finita di elementi di è ancora un elemento di , cioè
(T3)
L'insieme vuoto e l'intero spazio sono elementi di , cioè

Gli elementi della topologia si dicono gli aperti nella topologia .

Esempi[modifica]

Analizziamo ora qualche esempio di base per prendere confidenza con questo concetto che sembra molto astratto.

  1. In modo ovvio e naturale è una topologia su ; infatti le tre proprietà che definiscono una topologia sono immediatamente verificate. La topologia così introdotta prende il nome di topologia discreta.
  1. Analogamente al punto precedete è una topologia che prende il nome di topologia indiscreta.
  1. Consideriamo . Si vede facilmente che questa appena definita è una topologia che prende il nome di topologia finita. Provate per esercizio a verificare che se lo spazio ha cardinalità finita questa topologia coincide con la topologia discreta.