Forme indeterminate (successioni)

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Indice

 
Materia:Analisi matematica > Forme indeterminate (successioni)

Quando ci troviamo di fronte a successioni che divergono in senso opposto, non possiamo a priori stabilire la convergenza o meno della somma delle due successioni.

Cioè, se (a_n)\to +\infty e (b_n)\to -\infty, non possiamo sapere a cosa tenda (an + bn). Infatti, dipende tutto dalla situazione particolare: può essere convergente, può essere divergente positivamente, negativamente o addirittura essere oscillante!

Una forma di questo tipo si chiama forma indeterminata di tipo \infty-\infty. Altre forme indeterminate sono

  • \frac{\infty}{\infty}
  • \frac{0}{0}


Facciamo qualche esempio:

  • a_n = n^2,\ \ \ b_n =-n si ha a_n+b_n = \lim_{n \to \infty}n^2-n= \lim_{n \to \infty} n^2\left(1-\frac{1}{n}\right)=+ \infty \cdot (1-0) = +\infty
  • ...


[modifica] Teorema di Cesaro

Forme \frac{\lambda}{\infty}

Siano (a_n),\ (b_n) successiano reali e supponiamo che bn diverga positivamente. Inoltre sia bn una successioni monotona strettamente crescente e positiva.

Allora, se esiste
\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}
esiste anche \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n} e i due limiti sono uguali.


Forme \frac{0}{0}

Siano (a_n),\ (b_n) successioni reali tali che entrambe le successioni convergono a 0 e bn sia monotona strettamente crescente o decrescente.

Allora, se esiste
\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}
esiste anche \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n} e i due limiti sono uguali.


[modifica] Esempi

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