Algebra dei limiti

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Materia:Analisi matematica > Algebra dei limiti

Avanzamento lezione: 100% al 23-11-2009.

In questa lezione vedremo i principali criteri per il calcolo effettivo dei limiti e le operazioni su di essi possibili.

Indice

1 Lemma (esistenza di un successione convergente per una funzione che ammette limite)
- 1.1 Dimostrazione
2 Algebra dei Limiti

[modifica] Lemma (esistenza di un successione convergente per una funzione che ammette limite)

Sia $A\subseteq \mathbb{R}$ , $f:A\to \mathbb{R}$ , $x 0$ un punto di accumulazione (reale o $\pm \infty)$ e $\lambda \in \overline{\mathbb{R}}$ .
Allora la funzione $f$ ammette limite (ed il suo limite è $λ$ ) se e solo $\lim_{n\to +\infty}f(x_n)=\lambda$ , per ogni successione in $A\setminus \{x_0\}$ convergente a $x 0$ .

[modifica] Dimostrazione

$\Rightarrow )$ . Supponiamo che $f (x)$ tenda a $λ$ , per $x\to x_0$ . Sia poi $(x n)$ una successione in $A\setminus \{x_0\}$ convergente a $x 0$ .
Per la definizione di limite abbiamo

$\forall L \in \mathcal{I}_{\lambda}\ \exists H \in \mathcal{I}_{x_0}\ :\ f(x) \in L,\ \forall x \in \left(A \setminus \{x_0\} \right) \cap H$ .

Inoltre, siccome la successione converge $x 0$ , per la definizione di limite di una successione convergente, abbiamo

$\forall H \in \mathcal{I}_{x_0}\ \exists m \in \mathbb{N}\ :\ x_n \in H,\ \forall n>m$ .

Per come definita la successione $\left(x_n:\mathbb{N}\to A\setminus\{x_0\} \right)$ , i termini della successione stanno tutti in $A\setminus\{x_0\}$ ma anche in $H$ (perché é convergente, lo abbiamo appena visto). Dunque, per ogni $n \in \mathbb{N}$ , abbiamo che $x_n \in \left(A\setminus \{x_0\} \right)\cap H$
Di conseguenza, $f(x_n) \in L$ per la definizione di limite che abbiamo visto prima e sta in $L$ per ogni $n > m$ . Riassumendo

$\forall L \in \mathcal{I}_{\lambda} \exists m \in \mathbb{N}\ :\ f(x_n) \in L,\ \forall n > m$ $\Leftrightarrow \lim_{n \to +\infty}f(x_n) = \lambda$ .

$\Leftarrow )$ . Supponiamo ora che $\lim_{n \to +\infty}f(x_n)=\lambda$ e che questo valga per ogni successione in $A\setminus\{x_0\}$ convergente a $x 0$ .
Per provare che anche $\lim_{x\to x_0}f(x)=\lambda$ , ragioniamo per assurdo e dimostriamo che è impossibile che accada il contrario. Allora formalizziamo "l'inverso" della definizione di limite, cioè prendiamo la definizione di limite e la neghiamo logicamente. Dunque

$\neg \Bigg(\forall L \in \mathcal{I}_{\lambda}\ \exists H \in \mathcal{I}_{x_0}\ :\ f(x) \in L,\ \forall x \in \left(A \setminus \{x_0\} \right)\cap H \Bigg)\Leftrightarrow$ $\exists L \in \mathcal{I}_{\lambda}:\forall H \in \mathcal{I}_{x_0}\ \exists x \in \left(A\setminus \{x_0\} \right)\cap H\ :\ f(x)\not\in L$ .

Definiamo poi

$H_n :=\begin{cases}\left]x_0-\frac{1}{n},x_0+\frac{1}{n} \right[,\ x\in\mathbb{R}\\ ]n,+\infty[,\ x=+\infty \\ ]-\infty,-n[,\ x=-\infty \end{cases}$

e $A_n:=\left\{x \in \left(A\setminus \{x_0\} \right)\cap H\ :\ f(x)\not\in L \right\}$ .
Notiamo subito che $A_n \neq \emptyset,\ \forall n \in \mathbb{N}$ perché $H n$ è sempre diverso dal vuoto (in forza di $\forall H \in \mathcal{I}_{x_0}$ nella negazione della definizione di limite sopra, dalla quale deduciamo che non può esistere un $H_n = \emptyset$ , altrimenti la proposizione sopra non varrebbe per tutti gli intervalli di $x 0$ ) ed inoltre $A_n \subseteq A\setminus\{x_0\},\ \forall n \in \mathbb{N}$ .
Per l'assioma della scelta esiste certamente una successione $x_n:\mathbb{N}\to A\setminus\{x_0\}$ tale che $x(n)=x_n \in A_n,\ \forall n \in \mathbb{N}$ . Tale successione implica che ogni suo elemento sta in $H n$ ma $f(x_n) \not\in L$ .

Da qui si deduce che la successione converge a $x 0$ ma $f (x n)$ non tende a $λ$ , contraddicendo l'ipotesi.

$\Box$

[modifica] Algebra dei Limiti

Sia $A \subseteq \mathbb{R}$ , $f,g:A\to \mathbb{R}$ , $x 0$ un punto di accumulazione di $A$ e $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ .

Le dimostrazioni sono piuttosto noiose, ma sono un utile esercizio per prendere confidenza con le successioni usate come "strumenti" per arrivare ad altri risultati. Dimostriamo solo il primo a titolo di esempio, ma vi anticipo che anche i successivi si provano in maniera molto simile, sempre facendo uso del Lemma appena visto.

[modifica] Limite della somma

Se $\lim_{x\to x_0}f(x)=\lambda$ e $\lim_{x\to x_0}g(x)=\mu$ , allora il limite della somma è uguale alla somma dei limiti, cioè

$\lim_{x\to x_0}f(x)+g(x)=\lambda + \mu$ .

Infatti, consideriamo una successione in $A\setminus \{x_0\}$ convergente a $x 0$ . Per il Lemma precedente, siccome $f(x)\to \lambda$ e $g(x)\to \mu$ , anche $f(x_n)\to \lambda$ e $g(x_n)\to \mu$ , per $n \to + \infty$ . Allora (applicando l'algebra delle successioni) abbiamo che

$\lim_{n \to +\infty}f(x_n)+g(x_n) = \lambda+\mu$ .

Il Lemma precedente ci assicura a questo punto che anche $\lim_{x \to x_0}f(x)+g(x)=\lambda + \mu$ .

[modifica] Limite del prodotto

$\lim_{x \to x_0}f(x)=\lambda\ \ \lim_{x \to x_0}g(x)=\mu \ \Longrightarrow \lim_{x \to x_0}f(x)g(x)=\lambda \mu$

[modifica] Limite del quoziente

$\lim_{x \to x_0}f(x)=\lambda\ \ \lim_{x \to x_0}g(x)=\mu,\ g(x)\neq 0 \forall x \in A\setminus\{x_0\},\mu \neq 0$ $\Longrightarrow \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lambda}{\mu}$

[modifica] Limite di funzioni che tendono a infinito

$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty (-\infty)\ \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty (-\infty)$ $\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)+g(x)=+\infty (-\infty)$ $\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty (-\infty)\ \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty (-\infty)$ $\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty$ $\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty (-\infty)\ \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty (+\infty)$ $\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=-\infty$

[modifica] Limite di infinito per un reale

$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty (-\infty)\ \lim_{x\to x_0}g(x)=\mu$ $\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)+g(x)=+o-\infty$ $\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty (-\infty)\ \lim_{x\to x_0}g(x)=\mu > 0$ $\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty$ $\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty (-\infty)\ \lim_{x\to x_0}g(x)=\mu < 0$ $\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)+g(x)=+\infty$

[modifica] Limite del reciproco di una funzione

$\lim_{x\to x_0}f(x)=\pm \infty,\ f(x)\neq 0\forall x \in A\setminus \{x_0\}$ $\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=0$ $\lim_{x\to x_0}f(x)=0,\ f(x)> 0 (<0)\forall x \in A\setminus \{x_0\}$ $\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=+\infty (-\infty)$

[modifica] Confronto di Limiti

$f(x)\leq g(x),\ \forall x \in A\setminus\{x_0\}$ $\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \Rightarrow \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty$ $f(x)\leq g(x),\ \forall x \in A\setminus\{x_0\}$ $\Longrightarrow \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty \Rightarrow \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty$

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[modifica] Dimostrazione

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[modifica] Limite della somma

[modifica] Limite del prodotto

[modifica] Limite del quoziente

[modifica] Limite di funzioni che tendono a infinito

[modifica] Limite di infinito per un reale

[modifica] Limite del reciproco di una funzione

[modifica] Confronto di Limiti

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