Esercitazione 2 (analisi matematica)

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Avanzamento lezione: 00% al 26-11-2009.

[modifica] Limite di successioni

[modifica] Esercizio 1

Dimostrare che $\lim_{n \to +\infty}\frac{2n+1}{n+1}=2$ .

Per la definizione di limite, abbiamo che $\forall \varepsilon >0 \exists m \in \mathbb{N}\ :\ \left|\frac{2n+1}{n+1}-2\right|<\varepsilon,\forall n \in \mathbb{N},n>m$ .
Troviamo allora qual'è questo $m$ .
$\left|\frac{2n+1}{n+1}-2\right|<\varepsilon \Leftrightarrow=\left|-\frac{1}{n+1}\right|<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n+1}<\varepsilon \Leftrightarrow$ $1< n\varepsilon + \varepsilon \Leftrightarrow n>\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}=\frac{1}{\varepsilon}-1$ .
Dunque, per ogni $\varepsilon >0$ , esiste un $m \in N$ (ad esempio $\left[ \frac{1}{\varepsilon}\right]$ ) tale che la successione differisca per $\varepsilon$ per un infinitesimo, purché l'indice $n$ della successione sia abbastanza grande ed in particolare più grande di $m=\left[ \frac{1}{\varepsilon}\right]$ .

Esercitazione 2 (analisi matematica)

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