Valor medio di una variabile casuale

Il valor medio di una variabile casuale, anche detto valore atteso, media teorica o speranza matematica è definito in questo modo:

Definizione: Valore medio

Data una variabile casuale $X$ si definisce, se esiste, il suo valor medio la seguente quantità:

$$E[X]={\begin{cases}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{x_{k}\cdot p(x_{k})}\quad {\text{se }}X{\text{ discreta, }}X\in \{x_{1},...x_{n}\}\\\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{x\cdot f(x)dx}\quad {\text{se }}X{\text{ continua}}\end{cases}}$$

Proprietà

Proprietà 1. Se $Y=h(X)$, con $X$ variabile casuale nota, vale:

$$E[Y]=E[h(X)]={\begin{cases}\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{h(x_{k})\cdot p(x_{k})}\quad {\text{se }}X{\text{ discreta, }}X\in \{x_{1},...x_{n}\}\\\displaystyle \int _{\mathbb {R} }{h(x)\cdot f(x)dx}\quad {\text{se }}X{\text{ continua}}\end{cases}}$$

Proprietà 2. Caso particolare della 1. Se $Y=\alpha X+\beta$, con $\alpha \in \mathbb {R} ,\beta \in \mathbb {R}$

$$E[Y]=\alpha E[X]+\beta$$

Dimostrazione

Sia $X$ una variabile casuale discreta, con $X\in \{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$

$${\begin{aligned}E[X]&=\sum _{k=1}^{m}{h(x_{k})\cdot p(x_{k})}=\\&=\sum _{k=1}^{m}{(\alpha x_{k}+\beta )\cdot p(x_{k})}=\\&=\alpha \underbrace {\sum _{k=1}^{m}{x_{k}\cdot p(x_{k})}} _{E[X]{\text{ per definizione}}}+\beta \overbrace {\sum _{k=1}^{m}{p(x_{k})}} ^{=1{\text{ (prop. funzioni di massa)}}}=\alpha E[X]+\beta \end{aligned}}$$

In maniera simile si dimostra il caso continuo.

Proprietà 3. Se $Z=g(X,Y)$, con $X,Y$ variabili casuale note, vale:

$$E[Z]={\begin{cases}\displaystyle \sum _{k=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}g(x_{k},y_{j})\cdot p(x_{k},y_{j})\quad {\text{se }}X,y{\text{ discrete}}\\\displaystyle \iint _{\mathbb {R^{2}} }{g(x,y)\cdot f(x,y)dxdy}\quad {\text{se }}X,Y{\text{ continue}}\end{cases}}$$

Proprietà 4. Date $X,Y$ variabili casuali, vale: $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$

Valor medio di una Bernoulliana

$X\sim Be(p)$

$X={\begin{cases}1\\0\\\end{cases}}$

$p(1)=p$

$p(0)=1-p=q$

$$E[x]=\sum _{k=1}^{m}x_{k}p(x_{k})=0\cdot p(0)+1\cdot p(1)=1\cdot p=p$$

Momento $n$-esimo di una variabile casuale

Definizione: Momento $n$-esimo di una variabile casuale

Se esiste, si definisce momento ennesimo di $X$:

$$E[X^{n}]$$

$0{\text{-esimo momento}}=1$

$1{\text{ momento}}=E[X]$

Il valor medio è definito come il primo momento.