Utente:LoStrangolatore/Formulario di Analisi I

Note temporanee

• i fogli sulle sezioni "studio di funzione" e "regolarità delle serie" li ho buttati
• ho interrotto al punto 4 dello studio di funzione

Studio di funzione

1. Dominio

2. Eventuale simmetria

Calcolare f(-x)

3. Segno della funzione ed eventuali intersezioni con gli assi

Porre f(x) > 0 e poi f(x) = 0

Se il punto x=0 appartiene al dominio, calcolare f(0)

4. Comportamento agli estremi del dominio. Caratterizzare le discontinuità della funzione. Se possibile, ripristinare la continuità. Ricerca di asintoti (verticali, orizzontali, obliqui).

5. Monotonia.

Calcolare f'(x)

Ponendo f'(x) > 0, caratterizzare la monotonia della funzione e cercare gli eventuali massimi e minimi relativi.

6. Caratterizzazione degli eventuali punti di non derivabilità. Se possibile, ripristinare la continuità della derivata.

7. Concavità e convessità. Flessi a tangente orizzontale o obliqua.

8. Grafico presunto.

Punto 4 (discontinuità)

Sia x₀ un punto di discontinuità per f(x).

• Se almeno uno dei limiti $\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)$ e $\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)$ non esiste o è un infinito, x₀ è un punto di discontinuità di seconda specie.
• Se i limiti esistono entrambi, e sono finiti e diversi tra loro,

Punto 6 (non derivabilità)

Si calcolino $\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$ e $\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$.

• Se sono finiti e coincidenti, la derivabilità è ripristinabile e la funzione è derivabile.
• Se sono diversi tra loro e almeno uno è finito, si dice che in x₀ la funzione ha un punto angoloso. Calcolare le equazioni delle rette tangenti sostituendo i due valori di f'(x₀) nell'equazione y = f'(x₀)(x - x₀) + y₀.
• Se sono infiniti di segno diverso, si ha una cuspide e la retta tangente ha equazione x = x₀.
• Se sono infiniti dello stesso segno, si ha un flesso a tangente verticale e l'equazione della tangente è x = x₀.

Regolarità delle serie

Condizione necessaria affinché $\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}$ converga è che $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=0$.

Una serie a termini non negativi è sempre regolare.

Si dice serie geometrica la serie $\sum _{n=1}^{+\infty }x^{n}$.

• Per x ≥ 1, la serie geometrica diverge.
• Per -1 < x < 1, la serie converge a ${\frac {1}{1-x}}$.
• Per x ≤ -1, la serie è indeterminata.

La serie armonica $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n}}$ diverge sempre.

Si dice serie armonica generalizzata la serie $\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$.

• Per p > 1, la serie converge.
• Per p ≤ 1, la serie diverge.

La serie di Mengoli $\sum _{N=1}^{+\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}$ converge a 1.

Criteri di convergenza

Nota: in questa sezione, se a_n è una successione, s_a è la serie i cui termini sono i termini di a, cioè la serie $\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}$.

Criterio del confronto

Siano a_n e b_n due successioni a termini non negativi, con a_n ≤ b_n ∀ n.
Allora,

se s_a diverge, anche s_b diverge;

se s_b converge, anche s_a converge.

Criterio degli infinitesimi

Sia a_n una successione a termini positivi, e sia $\lim _{n\to +\infty }n^{p}\cdot a_{n}=l$.

Se l ∈ R ∧ p > 1, s_a converge.

Se l ≠ 0 ∧ p ≤ 1, s_a diverge.

Criterio del rapporto

Sia a_n una successione a termini positivi. Sia $\lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=l$.

Se l < 1, s_a converge.

Se l > 1, s_a diverge.

Criterio della radice

Sia a_n una successione a termini non negativi. Sia $\lim _{n\to +\infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=l$.
Se l ∈ R,

per l < 1, la serie s_a converge;

per l > 1, la serie diverge.

Criterio di asintoticità

Siano a_n, b_n successioni a termini positivi. Sia $\lim _{n\to +\infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lambda$.
Se $\lambda \in \mathbb {R}$,
allora $\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}\cong \sum _{n=1}^{+\infty }\lambda b_{n}$

Criterio di Leibnitz per le serie alternate

Si dice serie alternata la serie $\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}a_{n}$.

Se a_n è una successione monotona decrescente e $\lim _{n\to +\infty }a_{n}=0$, allora la serie alternata converge.

Convergenza assoluta

Ogni serie assolutamente convergente è anche convergente.

In altre parole: sia a_n una successione qualsiasi; se $\sum _{n=1}^{+\infty }\left\vert a_{n}\right\vert$ converge, allora anche $\sum _{n=1}^{+\infty }a_{n}$ converge.