Utente:Ed088/Sandbox1

Introduzione

Sia ${\mathcal {U}}$ il nostro Universo matematico. ${\mathcal {U}}$ è definito come la collezione di oggetti che vengono chiamati insiemi, fra i quali è definita una relazione binaria chiamata appartenenza, per la quale siano soddisfatte le seguenti proprietà:

Assioma: A1 (Estensionalità)

Due insiemi che hanno gli stessi elementi coincidono.

$\forall x\ \forall y\ [\ \forall z\ (z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y]$.

Assioma: A2 (Vuoto)

Esiste un insieme che non contiene alcun altro insieme.

$\exists y\ \forall x\ (x\notin y)$.

Assioma: A4 (Unione)

Dato un insieme, esiste un altro insieme costituito dagli elementi degli elementi dell'insieme dato.

$\forall x\ \exists y\ \forall z\ [z\in y\Leftrightarrow \exists t\ (z\in t\wedge t\in x)]$.

Assioma: A5 (Potenza)

Dato un insieme, esiste un altro insieme costituito dai sottoinsiemi dell'insieme dato.

$\forall x\ \exists y\ \forall z\ (z\in y\Leftrightarrow z\subseteq y)$.

Assioma: A7 (Infinito)

Esiste un insieme induttivo.

$\exists x\ [\varnothing \in x\wedge \forall t\ (t\in x\Rightarrow t\cup \{t\}\in x)]$.

Schema di assiomi: S8 (Rimpiazzamento)

Data una formula che identifica una funzione, e dato un insieme, esiste un altro insieme che contiene tutte e sole le "immagini" dell'insieme dato tramite la formula.

$\forall x\ \{\forall y\ \forall y'\ [F(x,y)=F(x,y')\Rightarrow y=y'\ ]\Rightarrow \exists y\ \forall z\ [z\in y\Leftrightarrow \exists t\ [t\in x\ \wedge \ F(t,z)]]\}$.

Assioma: A9 (Fondazione)

Dato un insieme non vuoto, esiste un elemento dell'insieme dato disgiunto da esso.

$\forall x\ [x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y\ (y\in x\Rightarrow y\cap x=\varnothing )$.

Assioma: A10 (Scelta)

Dato un insieme non vuoto, esiste una funzione dell'insieme dato, privato dell'insieme vuoto, nell'unione dell'insieme dato, tale che l'immagine di un elemento del dominio appartiene all'elemento dato del dominio.

$\forall x\ [x\neq \varnothing \Rightarrow \exists f\ (f:x\smallsetminus \{\varnothing \}\rightarrow \cup x\wedge \forall y\forall z(<y,z>\in f\Rightarrow z\in y)].$