Triangoli qualunque -unica soluzione condizionata secondo il teorema dei seni:

Un triangolo qualunque e i suoi elementi

In figura 1 è tracciato un triangolo qualunque con tutti i suoi elementi, distinti da lettere ed angoli, ai quali faremo riferimento nel prosieguo del lavoro:

figura 1

Premesse

Per la soluzione dei triangoli qualunque, in particolare avendo come elementi noti due lati: $a\ ;\ b$ ed un angolo adiacente: $\alpha$ è necessario che siano verificate alcune condizioni:

che sia:

• 1) $b\cdot \sin(\alpha )<=a$

(se questa condizione non è verificata gli elementi dati non consentono la soluzione del triangolo.)

• 2) lato $b<$ lato $a$

questa condizione, assieme alla 1) verificata, consente un'unica soluzione del triangolo.

• 3) lato $b>$ lato $a$; e $\alpha <90$°

questa condizione, assieme alla 1) verificata, consente due soluzioni del triangolo.

Nel triangolo di figura 1 si vede che il lato $b<$ lato $a$ quindi, verificata la 1), la soluzione unica è possibile è illustrata di seguito.

Lo strumento di calcolo secondo il teorema dei seni condizionato

Il calcolatore è stato sviluppato come file eseguibile con il quale, in base alla prescelta terna di elementi, si computano rapidamente tutti gli altri con una precisione di $1\ ''$  ; naturalmente il calcolo è subordinato alle condizioni 1) e 2) del paragrafo precedente.

Il pannello operativo del calcolatore è mostrato in figura 2:

figura 2

Il calcolo, come detto, è subordinato alla condizione:

che sia: $b\cdot \sin(\alpha )<=a$ , condizione che se non verificata non consente al software di operare e quindi di dare risultati dando la sensazione che il calcolatore non funzioni; per eliminare ogni dubbio, dopo l'inserzione dei dati; i due lati e l'angolo, si preme il pulsante di verifica: se si colora in verde la condizione è verificata, altrimenti assume il colore rosso che indica l'impossibilitò di procedere ai calcoli.

Facendo riferimento alla figura 2 vediamo il caso in cui la terna di elementi noti sia:

$a=568.23$

$b=402.38$

$\alpha =64^{\circ }\ 26\ '\ 19'\ '$

ne segue che la condizione: $b\cdot \sin(\alpha )\approx 363<a$ è verificata .

Gli elementi del triangolo, calcolati secondo il teorema dei seni e la condizione citata, sono mostrati a destra dopo la pressione del pulsante "Calcolo"

Osservazioni

La soluzione del triangolo, essendo $b<a$ è unica; esiste quindi un solo triangolo con i tre elementi dati.

Si tenga presente che il programma del calcolatore opera soltanto se la condizione $b<a$ è verificata.

In una prossima pagina prenderemo in esame il caso in cui sia $b>a$ ; condizione che da luogo a due diverse soluzioni del triangolo.

Esercitazioni

Per sviluppare esercitazioni sul calcolatore cliccare sull'eseguibile [file exe in zip ] quindi, in base alla tabella contenuta nel file zip, scegliendo a piacere terne di lati, si possono fare alcuni esercizi per avere riscontri sull'impiego del calcolatore

Bibliografia

• T. Vardanega, Trigonometria piana, Soc. ed. Intern, Torino, 1946

• C. Del Turco, La matematica con il personal computer –metodi matematici e grafici in Qbasic’’, Editrice MODERNA La Spezia, 1998.