Torsione nella trave a sezione sottile

Un caso particolare della torsione è rappresentato dalla trave a sezione sottile, e cioè della trave avente una sezione in cui una dimensione (lo spessore $b$) è trascurabile rispetto all'altra, oppure composta da una serie di elementi che soddisfano tale condizione.

Considerando la sezione di forma generica, detta $s$ l'ascissa curvilinea che descrive i punti della sezione nella sua linea media con origine in un punto generico, è sempre possibile considerare un elemento infinitesimo della sezione di dimensione $ds$ come un rettangolo molto allungato, e cioè avente $a>>b$; per cui è possibile considerare i risultati ottenuti per quella condizione.

In particolare, detto $dM_{z}$ il momento torcente relativo a quell'elemento infinitesimo di sezione, è possibile scrivere in generale:

$dM_{z}={\frac {\theta GJ_{G}}{q}}$

e, nel caso particolare, essendo $q=3{\frac {a^{2}+b^{2}}{12b^{2}}}$ e $J_{G}={\frac {ab}{12}}(a^{2}+b^{2})$, e posto $a=ds$:

$dM_{z}=\theta G{\frac {ab}{12}}(a^{2}+b^{2}){\frac {12b^{2}}{3(a^{2}+b^{2})}}=\theta G{\frac {ab^{3}}{3}}=\theta G{\frac {b^{3}}{3}}ds$

Tale relazione, naturalmente, è valida per forma generica della sezione, e dunque anche per sezioni con spessori variabili. Si fa notare che in questi casi la tensione massima viene a svilupparsi in corrispondenza delle estremità della corda ortogonale alla linea media di dimensione massima. Con riferimento alla distribuzione delle tensioni, si può dimostrare che queste si sviluppano in maniera lineare all'interno dello spessore $b$ della sezione, e per la maggior parte della sezione l'unica componente della tensione presente corrisponde con quella parallela ai lati lunghi della sezione. Nel caso di sezione rettangolare (quindi con linea media rettilinea e spessore costante) la tensione tangenziale vale:

$\tau _{xz}=-{\frac {6M_{t}}{ab^{3}}}y$

È interessante calcolare l'effetto complessivo delle tensioni così definite:

$-\int _{A}\tau _{xz}ydA=\int _{-a/2}^{a/2}\int _{-b/2}^{b/2}{\frac {6M_{t}}{ab^{3}}}y^{2}dxdy={\frac {M_{t}}{2}}$

L'integrale delle tensioni così definite, cioè, è pari alla metà del momento torcente esterno. L'altra metà è equilibrata nelle zone terminali, dove oltre alla componente parallela al lato lungo del rettangolo esiste anche la componente perpendicolare ad essa. Si fa notare che non è necessario che in questi punti esistano tensioni elevatissime, dal momento che il braccio (cioè la distanza dal baricentro) è molto maggiore rispetto alle tensioni precedenti (in quanto $a>>b$).

Sezione aperta composta

Nota:
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Dal punto di vista applicativo è molto importante il caso in cui la sezione sia composta da un numero $n$ di rettangoli, sempre sottili, collegati in vario modo ma sempre in maniera tale da non creare percorsi chiusi.

Dette $a_{i}>b_{i}$ le dimensioni dell'i-esimo rettangolo, il contributo delle tensioni in esso agenti nell'equilibrio complessivo può esprimersi nel modo seguente:

$M_{t,i}=\theta G{\frac {b_{i}^{3}}{3}}a_{i}$

Il momento complessivo è fornito da:

$M_{t}=\sum _{i=1}^{n}M_{t,i}=\theta G\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}b_{i}^{3}}{3}}$

Ugualmente, la tensione tangenziale è espressa dalla formula seguente:

$\tau _{z}=-{\frac {6M_{t}}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}^{3}}}y_{i}$

e il suo valore massimo, che viene raggiunto all'estremità della mediana minore del rettangolo a spessore maggiore, vale:

$\tau _{z,max}=-{\frac {6M_{t}}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}^{3}}}b_{max}$

Si fa notare che tale risultato non è effettivamente valido qualora la sezione sia effettivamente composta da rettangoli. In questo caso, infatti, la presenza di angoli rientranti nella sezione fa sì che in quei punti localmente la tensione raggiunga valori elevati, senza però modificare l'assetto complessivo dello stato tensionale. Questo fenomeno è facilmente concepibile se si tiene a mente l'analogia idrodinamica della torsione.

Per evitare fenomeni di questo tipo, nella pratica tecnica si inseriscono degli opportuni raccordi tra i rettangoli, che permettono di attenuare la concentrazione delle tensioni in corrispondenza di tali spigoli.