Strutture algebriche

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Definizione: Semigruppo
Un insieme con un'operazione binaria associativa da origine ad una struttura detta semigruppo.


lezione
Strutture algebriche
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Matematica discreta



Definizione: Monoide
Una struttura con elemento neutro e proprietà associative è detto monoide.



Teorema: '
In una struttura , se esiste l'elemento neutro , esso è unico.


Dimostrazione: '
Un elemento è neutro se

Supponiamo per assurdo che esistano due neutri ed . Allora, si ha

Imponendo , si ha

Imponendo , si ha

da cui si ha la tesi, .



Definizione: Elemento simmetrizzabile
Sia un semigruppo . Un elemento è simmetrizzabile se



Teorema: '
Il simmetrico, se esiste, è unico.


Dimostrazione: '
Siano per assurdo e simmetrici di , con . Allora, si ha

da cui



Anelli e gruppi[modifica]


Definizione: Gruppo
Una struttura è un gruppo se:
  1. l'operazione è associativa;
  2. esiste l'elemento neutro ;
  3. , cioè esiste l'elemento simmetrico (inverso).



Definizione: Gruppo abeliano
Un gruppo si dice abeliano se gode della proprietà commutativa.


Esempi.

  • è un semigruppo, non ha il simmetrico
  • è un semigruppo, non ha il simmetrico
  • è un gruppo abeliano
  • è un monoide commutativo (sono simmetrizzabili solo )


Definizione: Anello
Una struttura con due operazioni è un anello se, rispetto alla somma si ha un gruppo abeliano e rispetto al prodotto si ha un semigruppo. Devono inoltre valere le proprietà distributive rispetto alla somma.


Nell'esempio, è un gruppo abeliano, è un semigruppo. Siccome valgono le distributive, allora è un anello.


Definizione: Anello unitario
Un anello si dice unitario se esiste l'unità moltiplicativa, l'.



Definizione: Anello commutativo
Un anello si dice commutativo se l'operazione di prodotto è commutativa.




Definizione: Divisore dello zero
Un elemento anello commutativo unitario è divisore dello zero se



Definizione: Dominio d'integrità
Un anello commutativo unitario è un dominio d'integrità se è privo di divisori dello zero.



Definizione: Campo
Una struttura con due operazioni, è un campo se:
  1. è un gruppo abeliano;
  2. è un gruppo abeliano;
  3. valgono le proprietà distributive.


Per esempio,

  • è un gruppo abeliano
  • è un gruppo abeliano

quindi è un campo. Anche è campo, così come . Nelle classi di resti, è anello, perché è soltanto un semigruppo.


Teorema: '
Un elemento invertibile di un anello non può essere divisore dello zero.


Dimostrazione: '
Siz invertibile, cioè

Sia divisore dello zero, cioè . Allora, si ha l'assurdo



Esempio di semigruppo, , con divisori dello zero:

[0] [1] [2] [3] [4] [5]
[0] 0 0 0 0 0 0
[1] 0 1 2 3 4 5
[2] 0 2 4 0 2 4
[3] 0 3 0 3 0 3
[4] 0 4 2 0 4 2
[5] 0 5 4 3 2 1

Esempio di gruppo, , senza divisori dello zero:

[0] [1] [2] [3] [4]
[0] 0 0 0 0 0
[1] 0 1 2 3 4
[2] 0 2 4 1 3
[3] 0 3 1 4 2
[4] 0 4 3 2 1



Teorema: '
L'anello è campo sse è un numero primo.


Dimostrazione: '
Per la dimostrazione, abbiamo bisogno di ancora un po' di strumenti.



Teorema: '
Lavorando in , un elemento è invertibile se, e solo se, , cioè sono primi tra loro.


Dimostrazione 1: '
  • Ipotesi: invertibile
  • Tesi:

Per assurdo, sia . Allora, , dove è un divisore comune. Si impone

Si ha

Di conseguenza, risulta essere un divisore dello zero, che è assurdo essendo anche un elemento invertibile per ipotersi. Questo significa che

ma, se è divisore dello zero, si ha anche

da cui risulterebbe

che è assurdo.



Dimostrazione 2: '
  • Ipotesi:
  • Tesi: è invertibile

Sia

, \ \forall [x] \in \mathbb{Z}_n

con . Se in ci sono tutti gli elementi di , compresa l'unità, allora è invertibile. Infatti, se esiste , allora .

Dimostro che , il che vuol dire che .

Si ha , con

  • per comodità.

Allora, si ha

da cui

Per ipotesi, non può dividere , quindi deve dividere , ma , quindi si ha un assurdo, perché dovrebbe essere .



Teorema enunciato precedentemente: '
L'anello è campo sse è un numero primo.


Dimostrazione 1: '
campo significa che è invertibile. Allora, si ha
cioè, nessun numero intero minore di divide .



Dimostrazione 2: '
Se è primo, allora



Lemma: '
Se è campo, allora , è invertibile.


Il lemma vuol dire che, se tutti i numeri che precedono sono primi con , allora è un numero primo; ne è un numero primo, allora tutti i numeri che lo precedono sono primi con lui.

Gruppi ciclici[modifica]


Definizione: Sottogruppo ciclico
Dato un gruppo con , si dice sottogruppo ciclico generato da g, , il più piccolo sottogruppo di che contiene .


In genere, un sottogruppo ciclico è compoeto da tutte le potenze del generatore, cioè


Definizione: Periodo
Dato , si dice periodo di , , il più piccolo intero positivo tale per cui .


Il periodo di un elemento coincide con l'ordine del sottogruppo generato dall'elemento stesso.


Definizione: Generatore
Un elemento di un gruppo ciclico è un generatore di .


[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]
[0] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
[1] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
[2] 0 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11
[3] 0 3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 10
[4] 0 4 8 12 3 7 11 2 6 10 1 5 9
[5] 0 5 10 2 7 12 4 9 1 6 11 3 8
[6] 0 6 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 7
[7] 0 7 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6
[8] 0 8 3 11 6 1 9 4 12 7 2 10 5
[9] 0 9 5 1 10 6 2 11 7 3 12 8 4
[10] 0 10 7 4 1 11 8 5 2 12 9 6 3
[11] 0 11 9 7 5 3 1 12 10 8 6 4 2
[12] 0 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Osservando la tabella si vede che:

I valori 2, 5, 7 e 11 hanno periodo 12, quindi sono elementi generatori, o elementi primitivi, di .


Teorema: Teorema di Lagrange
L'ordine di un sottogruppo di un gruppo finito divide l'ordine del gruppo.


Abbiamo visto che genera sse .

Allora , ci sono 3 possibili sottogruppi di e sono generati da 2, 7 e 11.