Il simmetrico, se esiste, è unico.
Dimostrazione:
Siano per assurdo

e

simmetrici di

, con

. Allora, si ha

da cui
Definizione: Gruppo
Definizione: Gruppo abeliano
Un gruppo

si dice abeliano se gode della proprietà commutativa.
Esempi.
è un semigruppo, non ha il simmetrico
è un semigruppo, non ha il simmetrico
è un gruppo abeliano
è un monoide commutativo (sono simmetrizzabili solo
)
Definizione: Anello
Una struttura

con due operazioni è un anello se, rispetto alla somma si ha un gruppo abeliano e rispetto al prodotto si ha un semigruppo. Devono inoltre valere le proprietà distributive rispetto alla somma.
Nell'esempio,
è un gruppo abeliano,
è un semigruppo. Siccome valgono le distributive, allora
è un anello.
Definizione: Anello unitario
Un anello

si dice unitario se esiste l'unità moltiplicativa, l'

.
Definizione: Anello commutativo
Un anello

si dice commutativo se l'operazione di prodotto

è commutativa.
Definizione: Divisore dello zero
Un elemento

anello commutativo unitario è divisore dello zero se

Definizione: Dominio d'integrità
Un anello

commutativo unitario è un dominio d'integrità se è privo di divisori dello zero.
Definizione: Campo
Una struttura

con due operazioni,

è un campo se:
è un gruppo abeliano;
è un gruppo abeliano;
- valgono le proprietà distributive.
Per esempio,
è un gruppo abeliano
è un gruppo abeliano
quindi
è un campo. Anche
è campo, così come
. Nelle classi di resti,
è anello, perché
è soltanto un semigruppo.
Teorema:
Un elemento invertibile di un anello non può essere divisore dello zero.
Esempio di semigruppo,
, con divisori dello zero:
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0 |
2 |
4
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0 |
3 |
0 |
3 |
0 |
3
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0 |
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2 |
0 |
4 |
2
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0 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1
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Esempio di gruppo,
, senza divisori dello zero:
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0 |
0 |
0 |
0 |
0
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0 |
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1 |
4 |
2
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[4] |
0 |
4 |
3 |
2 |
1
|
Teorema:
L'anello

è campo sse

è un
numero primo.
Dimostrazione:
Per la dimostrazione, abbiamo bisogno di ancora un po' di strumenti.
Teorema:
Lavorando in

, un elemento
![{\displaystyle [a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea82bc70a8e322f13a3c4e5b9d5d69e8ef097ad8)
è invertibile se, e solo se,

, cioè sono primi tra loro.
Dimostrazione 1:
- Ipotesi:
invertibile
- Tesi:

Per assurdo, sia
. Allora,
, dove
è un divisore comune. Si impone

Si ha
![{\displaystyle [a][{\bar {n}}]=[{\bar {a}}k{\bar {n}}]=[{\bar {a}}n]=[0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ace8b49e098a6ab03192494a4cbf5ff5a4990c)
Di conseguenza,
risulta essere un divisore dello zero, che è assurdo essendo
anche un elemento invertibile per ipotersi. Questo significa che

ma, se
è divisore dello zero, si ha anche

da cui risulterebbe

che è assurdo.
Dimostrazione 2:
- Ipotesi:

- Tesi:
è invertibile
Sia
, \ \forall [x] \in \mathbb{Z}_n
con
. Se in
ci sono tutti gli elementi di
, compresa l'unità, allora
è invertibile. Infatti, se esiste
, allora
.
Dimostro che
, il che vuol dire che
.
Si ha
, con



per comodità.
Allora, si ha
![{\displaystyle [ax-ay]=[a(x-y)]=[0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099834fc0dac77b205970c9ae8f9b9c64a55b324)
da cui

Per ipotesi,

non può dividere

, quindi deve dividere

, ma

, quindi si ha un assurdo, perché dovrebbe essere

.
Teorema enunciato precedentemente:
L'anello

è campo sse

è un
numero primo.
Dimostrazione 1:

campo significa che
![{\displaystyle \forall [a]\in \mathbb {Z} _{n},\ [a]\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b403e2470995ae5b16ca3e0da9accf641728c676)
è invertibile. Allora, si ha

cioè, nessun numero intero minore di

divide

.
Dimostrazione 2:
Se

è primo, allora

Lemma:
Se

è campo, allora
![{\displaystyle \forall [a]\neq [0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c646ea4f69133d952e010fb6008e5e8218e81432)
,
![{\displaystyle [a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea82bc70a8e322f13a3c4e5b9d5d69e8ef097ad8)
è invertibile.
Il lemma vuol dire che, se tutti i numeri
che precedono
sono primi con
, allora
è un numero primo; ne
è un numero primo, allora tutti i numeri che lo precedono sono primi con lui.
Definizione: Sottogruppo ciclico
Dato un gruppo

con

, si dice sottogruppo ciclico generato da g,

, il più piccolo sottogruppo di

che contiene

.
In genere, un sottogruppo ciclico è compoeto da tutte le potenze del generatore, cioè

Definizione: Periodo
Dato

, si dice periodo di

,

, il più piccolo intero positivo

tale per cui

.
Il periodo di un elemento coincide con l'ordine del sottogruppo generato dall'elemento stesso.
Definizione: Generatore
Un elemento

di un gruppo ciclico

è un generatore di

.
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2
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9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1
|
Osservando la tabella
si vede che:




I valori 2, 5, 7 e 11 hanno periodo 12, quindi sono elementi generatori, o elementi primitivi, di
.
L'ordine di un sottogruppo di un gruppo finito divide l'ordine del gruppo.
Abbiamo visto che
genera
sse
.

Allora , ci sono 3 possibili sottogruppi di
e sono generati da 2, 7 e 11.