Sistemi dinamici in forma di stato

E' possibile descrivere un sistema dinamico con due equazioni:

• l'equazione di stato', unequazione differenziale ordinaria vettoriale del primo ordine;
• l'equazione di uscita', unequazione algebrica

Un sistema descritto in questo modo viene detto sistema in forma di stato.

Considerando il tempo una variabile $t\in \mathbb {R}$ reale (non discreta), un sistema in forma di stato è descritto come:

$${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=f(x(t),u(t),t)\quad {\text{equazione di stato}}\\y&=h(x(t),u(t),t)\quad {\text{equazione di uscita}}\end{aligned}}$$

Indicheremo da qui in poi ${\dot {x}}(t)={\frac {d}{dt}}x(t)$.

Consideriamo le grandezze dei vettori $x$, $u$ e $y$:

• $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$
• $u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$
• $y(t)\in \mathbb {R} ^{p}$

Le dimensioni di questi vettori sono molti importanti, in quanto da esse dipendono molte proprietà del sistema (SISO, MIMO).

Equazione di stato

L'equazione di stato è un equazione differenziale ordinaria (ODE) vettoriale del primo ordine. In questo corso supporremo che ogni componente dello stato sia un valore scalare.

$${\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}(t)&=f_{1}(x(t),u(t),t)\\{\dot {x}}_{2}(t)&=f_{2}(x(t),u(t),t)\\\vdots \\{\dot {x}}_{n}(t)&=f_{n}(x(t),u(t),t)\end{aligned}}$$

con:

$$f:\underbrace {\mathbb {R} ^{n}} _{x(t)}\times \underbrace {\mathbb {R} ^{m}} _{u(t)}\times \underbrace {\mathbb {R} } _{t}\longmapsto \mathbb {R} ^{n}$$

Lo spazio di stato è quindi $\mathbb {R} ^{n}$, con $n$ detto ordine del sistema.

Equazione di uscita

L'equazione di uscita è un'equazione algebrica del tipo:

$${\begin{aligned}y_{1}(t)&=h_{1}(x(t),u(t),t)\\y_{2}(t)&=h_{2}(x(t),u(t),t)\\\vdots \\y_{m}(t)&=h_{m}(x(t),u(t),t)\\\end{aligned}}$$

con:

$$h:\underbrace {\mathbb {R} ^{n}} _{x(t)}\times \underbrace {\mathbb {R} ^{m}} _{u(t)}\times \underbrace {\mathbb {R} } _{t}\longmapsto \mathbb {R} ^{p}$$