Semplici funzioni di correlazione ed il correlatore

La correlazione con segnali sinusoidali

Per non impegnare il partecipante al corso con sviluppi matematici che ci porterebbero lontano dall'obiettivo, che mira ad inquadrare rapidamente gli algoritmi per poi poterli applicare con profitto nei casi pratici, mostreremo direttamente una delle funzioni di correlazione piu comune e la sua rappresentazione grafica in un sistema di assi cartesiani.

Per gli sviluppi che ci accingiamo a svolgere l'algoritmo di base sarà quello già illustrato in precedenza che riportiamo:

$C(\tau )=1/To\int _{0}^{To}[f1(t)]\cdot [f1(t+\tau )]\,dt\ \ \ \$ 1)

In tutti gli esempi che seguiranno le formule di $C(\tau )\ o\ C(\tau )1,2$ saranno espresse in forma normalizzata perché le funzioni di correlazione non normalizzate sono raramente impiegate e richiedono, in alcuni casi, sviluppi molto complessi per cui si rimanda il lettore interessato ai Rif. bibliografici n. 2; 3; 4; 5.

Iniziamo l'esposizione delle funzioni di correlazione con la più semplice, il cui impiego pratico si presta per il controllo dei dispositivi hardware e software con i quali prenderemo confidenza nelle lezioni seguenti.

Andiamo pertanto a calcolare la funzione di autocorrelazione relativa ad un segnale elettrico a carattere periodico:

$f(t)=A\cdot \sin \omega \ t$

che può esprimere un qualsiasi fenomeno di natura elettrica, meccanica, ecc.

Applicando la 1), per $To$ comprendente un numero molto elevato di periodi di $f(t)$, si ottiene la prima e piu semplice FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE come segue:

$C(\tau )\approx 1/To\int _{0}^{To}[A\cdot \sin \omega \ t]\cdot [A\cdot \sin \omega \ (t+\tau )]\,dt\approx (A^{2}/2)\cdot \cos \omega \ \tau \ \ \ \$ 2)

La 2) mostra che il calcolo dell'integrale non fornisce il valore esatto di $C(\tau )$ ma un valore approssimato; ciò dipende dal fatto che esso e computato per un tempo finito $To$ invece che per un tempo infinito.

Questa imprecisione ha dei risvolti molto importanti che saranno trattati in una prossima lezione.

Esempio di calcolo e grafico di C(tao )

Se assumiamo per esempio $A=1.41\ e\ \omega =6280\ rad.$ si ha :

$C(\tau )\approx \cos(6280\cdot \tau )$

dove $\tau$, in secondi, è la variabile aggiunta che consente di mostrare quale interdipendenza esiste tra la funzione $A\cdot \sin \omega \ t$ e la stessa spostata nel tempo $A\cdot \sin \omega \ (t+\tau )$ ; ciò è tracciato in figura 1:

figura 1

La curva mostra l'andamento di $C(\tau )$ computato per un numero molto elevato di valori della variabile $\tau$ in modo da consentire il tracciamento del profilo rappresentativo della funzione di correlazione con una soddisfacente continuità del tratto.

Dalla curva si osserva the i massimi valori positivi della funzione di autocorrelazione si ottengono per $\tau =0\ e\ \tau =1/1000\ s.$ ecc. secondo la legge del coseno.

I massimi valori negativi si ottengono: il primo per $\tau =0.5/1000\ s$ . e gli altri secondo la legge del coseno.

I valori di autocorrelazione nulla si ottengono per $\tau =0.25/1000\ s\ e\ \tau =0.75/1000\ s$ ecc. sempre secondo la legge del coseno.

Con questo esercizio abbiamo mostrato la semplicità nell'impiego dell'algoritmo di autocorrelazione e la facile manipolazione dei dati nelle fasi di calcolo e nel tracciamento del grafico di figura.1

Specificazioni

In dettaglio su $f(t)\ e\ C(\tau )$

Nell'esempio svolto si è assunto che $f(t)=A\cdot \sin \omega \ t$ si sviluppi in continuità con la variazione di $t$ in tempo reale mentre la $C(\tau )$ rappresenta, in modo statico, $\tau$ dopo $\tau$, come varia il legame d'interdipendenza della funzione $f(t)$ con se stessa traslata nel tempo.

Il significato della $C(\tau )$ nella tecnica corrente

In questa lezione il grafico della $C(\tau )$ appare come un esercizio fine a se stesso, riveste invece, poi vedremo come, da un punto di vista tecnico applicativo notevole importanza dato che consente il controllo di laboratorio dei dispositivi progettati per la misura della correlazione tra segnali elettrici

Struttura di un sistema di correlazione (correlatore)

Le operazioni che abbiamo ora eseguito con carta e penna sono automaticamente svolte da un dispositivo (CORRELATORE) hardware o software; quì di seguito descriveremo la struttura funzionale hardware di un correlatore del tipo analogico il cui schema a blocchi e mostrato in figura 2.

figura 2

Il correlatore analogico riportato nella figura, è costituito da un insieme circuitale con due ingressi i1 ed i2, da un gruppo di ritardo a passi di $\tau$ variabile a comando, da un blocco di moltiplicazione e da un blocco d'integrazione da cui, tramite l'uscita u, si preleva, in forma di tensione elettrica continua, la funzione $C(\tau )$ voluta.

Questa struttura consente il calcolo automatico della funzione di correlazione al variare del ritardo $\tau$, sia del segnale $f(t)=A\cdot \sin \omega \ t$ che abbiamo preso ad esempio che di qualsiasi altro tipo di segnale nel tempo che possa presentarsi per la soluzione dei piu svariati problemi tecnici.

La figura 2 mostra chiaramente che se si deve computare la funzione di autocorrelazione il segnale applicato sarà unico e $f1(t)$ sara uguale a $f2(t)$ e gli ingressi i1 e i2 saranno collegati tra loro a formare un solo ingresso.

Se invece si deve computare la funzione di correlazione incrociata tra $f1(t)$ e $f2(t)$ la prima sarà applicata all'ingresso i1 e la seconda all'ingresso i2.

In entrambi i casi l'uscita ( u ) fornira la funzione di correlazione richiesta in dipendenza del valore del ritardo $\tau$ introdotto.

L'utilità del grafico della C(tao )

Una volta costruito in laboratorio il correlatore mostrato in figura 2 nasce il problema relativo al suo collaudo; non è pensabile che una struttura così complessa possa essere utilizzata per rilievi importanti senza avere la garanzia di un suo corretto funzionamento.

Un collaudo funzionale può essere fatto semplicemente applicando al correlatore un segnale $f(t)=A\cdot \sin \omega \ t$ di frequenza nota e controllando se all'uscita U dell'integratore l'andamento della tensione segue la funzione $C(\tau )$ è sovrapponibile alla curva di figura 1.

In caso positivo si ha la certezza che il correlatore, grazie al controllo con la funzione calcolata e tracciata in figura 1, potrà svolgere le proprie funzioni, in caso negativo il circuito del correlatore deve essere rivisto.

Bibliografia

• Cesare Del Turco, La correlazione , Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993