Le domande a cui questa risorsa vuole dare risposta sono le seguenti:
- Per quale motivo emergono equilibri di segregazione tra abitanti di diverse etnie (quartieri-ghetto)?
Prendiamo come modello una città con due quartieri, Q1 e Q2, e i due macro-gruppi immigrati
e italiani
, normalizzando dunque la popolazione a 1, come al solito.
Si supponga che i non immigrati non possano vivere tutti in un solo quartiere, cioè che nessuno dei due quartieri è grande abbastanza da ospitare tutta la popolazione autoctona. Inoltre, si assuma che i due quartieri siano della stessa dimensione, cioè metà della città.
Supponiamo che Q1 sia abitato prevalentemente da italiani, e che a causa di ciò essi subiscono un'esternalità sociali quantificabile in
: razzismo, discriminazioni sul lavoro, ostilità diffusa, ecc.
Sia
il reddito;
il costo delle abitazioni nel quartiere
;
l'esternalità sociale del gruppo
proporzionale alla quota di immigrati nel quartiere
;
la preferenza per il quartiere 1 degli individui gruppo sociale
. Quest'ultima non è uguale per tutti gli individui, ma si distribuisce in modo simmetrico attorno a alla media 0 con funzione di ripartizione
che è la stessa sia per gli italiani che per gli stranieri.
L'utilità degli abitanti nel quartiere 1 è
. Quella degli abitanti del quartiere 2 è
.
Si noti subito che, nel modello, per la popolazione autoctona la presenza degli immigrati è un'esternalità negativa, rappresenta una disutilità, mentre per gli immigrato è l'esatto contrario.
Nessuna barriera per gli immigrati
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Supponiamo che
e che
. Si deve avere equilibrio per entrambi i quartieri, cioè:
. Risolviamo il sistema: ![{\displaystyle {\begin{cases}W-H^{1}-\alpha _{I}E^{1}+\beta _{I}=W-H^{2}-\alpha _{I}E^{2}\\W-H^{1}+\alpha _{E}E^{1}+\beta _{E}=W-H^{2}+\alpha _{E}E^{2}\end{cases}}\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f33aa1b283145175913cb5a61c549201925b9b)
![{\displaystyle {\begin{cases}H^{1}+\alpha _{I}E^{1}-\beta _{I}=H^{2}+\alpha _{I}E^{2}\\H^{1}-\alpha _{E}E^{1}-\beta _{E}=H^{2}-\alpha _{E}E^{2}\end{cases}}\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54e2a21ee6f7add978442adc8583ad5ebeed4ed6)
. Secondo le ipotesi
, dunque si ha:
Indichiamo i due valori di
d'equilibrio come
e
, e dato che sono uguali, indichiamo il valore d'equilibrio
. Abbiamo detto prima che non tutti gli individui hanno un valore di
, cioè il valore medio, ma questi si distribuiscono secondo la funzione di ripartizione
. La condizione di equilibrio spaziale dice che tutti gli individui con
preferiscono vivere nel quartiere 1, e viceversa. Quelli che hanno il valore
sono indifferenti e vivono al confine tra i due quartieri.
Se ipotizziamo un differenziale
positivo, allora si ha
e questo implica che (essendo la popolazione normalizzata a 1)
voglia vivere nel quartiere 2, visto che ha
, mentre
voglia vivere nel quartiere 1, visto che ha
. In altri termini, con
non si ha affatto un equilibrio misto, ma uno sbilanciamento in favore del quartiere 2.
Se poniamo invece il differenziale nullo, allora ovviamente
e la popolazione si distribuisce in modo indifferente in entrambi i quartieri.
Ipotizziamo ora
. Si deve avere ancora equilibrio per entrambi i quartieri, cioè:
. Risolviamo il sistema: ![{\displaystyle {\begin{cases}W-H^{1}-\alpha _{I}E^{1}+\beta _{I}=W-H^{2}-\alpha _{I}E^{2}\\W-H^{1}+\alpha _{E}E^{1}+\beta _{E}-G=W-H^{2}+\alpha _{E}E^{2}\end{cases}}\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e356901e1baf8612eab1530f830f250c83cd2de)
![{\displaystyle {\begin{cases}H^{1}+\alpha _{I}E^{1}-\beta _{I}=H^{2}+\alpha _{I}E^{2}\\H^{1}-\alpha _{E}E^{1}-\beta _{E}+G=H^{2}-\alpha _{E}E^{2}\end{cases}}\Rightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a019800101cd18ee815aaacf92a44c07a36254)
. Secondo le ipotesi
, dunque si ha
.
I valori di
d'equilibrio sono ora diversi a seconda dell'etnia:
per gli italiani e
per gli immigrati. Se
allora il quartiere 1 è preferito in maggior misura dagli italiani che dagli immigrati. Vediamolo analiticamente.
Gli immigrati in
sono quelli che hanno un
, dunque sono
. Gli immigrati in
sono quelli che hanno un
, dunque sono
. Seguendo lo stesso ragionamento fatto in precedenza, notiamo che la quota di immigrati
è sempre maggiore di quella
, visto che
e ovviamente
. Dunque non si ha affatto un equilibrio misto, con ancora uno sbilanciamento a favore del quartiere 2, cioè "il ghetto".
Segregazione degli immigrati nel ghetto
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Battezziamo il quartiere 2 come ghetto. Sia avrà segregazione degli immigrati nel ghetto se
, ricordando infatti che ogni quartiere (tra cui anche il ghetto) è grande metà città dunque la densità di
immigrati in un quartiere è
. Per le premesse fatte inizialmente, nessun quartiere può contenere per intero gli italiani; perciò parte di essi vivrà comunque anche nel ghetto.
Al confine, la condizione di indifferenza è ![{\displaystyle U_{I}^{1}=U_{I}^{2}\Leftrightarrow W-H^{1}-\alpha _{I}E^{1}+\beta _{I}=W-H^{2}-\alpha _{I}E^{2}\Leftrightarrow H^{1}+\alpha _{I}E^{1}-\beta _{I}=H^{2}+\alpha _{I}E^{2}\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48291fd3628d5da875215b04cbfae16490f7220)
. Dal momento che nel quartiere 1 non abita nessun povero (in una situazione di equilibrio di segregazione),
e
e dunque
e infine
Gli italiani con un
vorranno vivere nel ghetto, mentre quelli con un
esigeranno di vivere nel quartiere 1. Dunque gli italiani che vorranno vivere nel quartiere 1 sono
. Se gli immigrati sono segregati nel ghetto, allora nel Q1 vivono solo italiani; siccome abbiamo ipotizzato una città divisa in due quartieri di eguali dimensioni, allora il quartiere 1 offre la metà delle case disponibili in città, cioè è in grado di ospitare metà della popolazione cittadina. Di conseguenza si ha
che si sviluppa in
da cui si ricava
. Combinando i risultati con l'equazione
si ottiene
.
Per avere totale segregazione degli immigrati nel ghetto, deve aversi che anche l'immigrato con la più alta preferenza per il quartiere 1 deve comunque preferire di rimanere nel ghetto. Cioè
. Sviluppando:
. Sostituendo con i risultati ottenuti sopra si ha il risultato finale
cioè:
Dunque la segregazione nel ghetto è tanto più probabile quanto
è alta e alti sono gli spillover sociali
e
. Naturalmente
deve essere finito.
Modello generico di equilibrio
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Qualora la condizione in precedenza vista non si verifica, si avrà sempre che qualche immigrato tra quelli con la preferenza maggiore per il quartiere 1 ci andrà a vivere.