Proprietà generali delle onde

In questa lezione cominceremo a parlare delle onde, e per introdurre i concetti fondamentali partiremo da una delle onde più semplici: un'onda elastica che si propaga lungo un filo.

Immaginiamo un elastico (ideale, quindi senza attriti o dissipazioni di energia) in un ambiente senza forza di gravità, o semplicemente appeso: così che possa rimanere steso e non ci siano forze esterne che agiscono perpendicolarmente all'elastico.
Di questo elastico prendiamo un'estremità e muoviamola avanti e indietro lungo una direzione perpendicolare all'elastico. L'estremità che muoviamo esercita una forza di richiamo verso i punti dell'elastico adiacenti, che vengono così accelerati: a loro volta eserciteranno una forza di richiamo su punti via via successivi.

Il moto di un punto su un elastico lungo il quale si propaga un'onda sinusoidale

Se il filo non fosse elastico ma rigido, cioè la forza si trasmettesse istantaneamente lungo tutto il filo, questo semplicemente seguirebbe il movimento del primo punto contemporaneamente ad esso, in un filo elastico invece la forza si esercita solo se la distanza tra due punti aumenta: in questo modo il secondo punto si muoverà con un leggero ritardo rispetto al primo, e via via i punti successivi. Il risultato è mostrato in figura ed è, appunto, un'onda.

Onda sinusoidale

Un caso classico di onda è rappresentabile nell'esempio appena fatto dell'elastico ipotizzando che il movimento che imprimiamo al primo punto dell'elastico sia un'oscillazione armonica, cioè uno spostamento esprimibile con la funzione:

$y=A\sin {\left(2\pi \,{\frac {t}{\tau }}\right)}$

dove

• $y\,\!$ è lo spostamento dell'estremità dell'elastico lungo la direzione perpendicolare ad esso;
• $A\,\!$ è l'ampiezza massima dello spostamento;
• $\tau \,\!$ è il periodo, cioè la durata di una oscillazione completa, dopo la quale il movimento si ripete.

Una prima semplificazione si può fare introducendo la frequenza $\nu ={\frac {1}{\tau }}$, cioè il numero delle volte che il movimento avanti-indietro si ripete nell'unità di tempo. La funzione quindi diventa:

$y=A\sin {(2\pi \,\nu t)}$

Per semplificare ulteriormente la funzione si può introdurre la grandezza $\omega =2\pi \,\nu \,\!$, chiamata pulsazione. Pensando l'onda come direttamente proporzionale al grafico del seno di un angolo, la pulsazione è la velocità angolare, cioè l'angolo (in radianti) che descrive l'onda nell'unità di tempo.
La funzione diventa così:

$y=A\sin {(\omega t)}\,\!$

Onda sinusoidale

L'oscillazione si trasmette ai punti successivi dell'elastico, come abbiamo detto prima, generando così un'onda sinusoidale, che si propaga lungo il filo con una velocità $v\,\!$ che dipende dall'elasticità del mezzo: se il filo è piuttosto rigido, bastano piccoli spostamenti a generare grandi forze di richiamo, e l'oscillazione si trasmette molto rapidamente, viceversa se è particolarmente elastico le forze di richiamo sono più modeste, e l'onda si trasmette lentamente.

Sappiamo che l'oscillazione del punto iniziale si ripete in un tempo $\tau \,\!$, in questo periodo di tempo l'onda si propaga di una distanza $\lambda =v\tau \,\!$ chiamata lunghezza d'onda.

Ad un tempo $t$ lo spostamento di un punto ad una distanza $x\,\!$ si può esprimere come lo spostamento all'origine ad un tempo $t-{\frac {x}{v}}$:

$y=Asin{\left(2\pi \left({\frac {t-{\frac {x}{v}}}{\tau }}\right)\right)}$

che, dopo alcuni passaggi, diventa

$y=Asin{\left(2\pi \left({\frac {vt-x}{v\tau }}\right)\right)}$

$y=Asin{\left(2\pi \left({\frac {t}{\tau }}-{\frac {x}{\lambda }}\right)\right)}$

Per semplificare questa funzione d'onda introduciamo il numero d'onda ${\bar {\nu }}={\frac {1}{\lambda }}$, che è il numero di oscillazioni che l'onda compie nell'unità di spazio.

Grazie a questo possiamo scrivere:

$y=Asin{\left(2\pi \left(\nu t-{\bar {\nu }}x\right)\right)}$

Si può semplificare ulteriormente ponendo $\kappa =2\pi \,{\bar {\nu }}$:

$y=Asin{\left(\omega t-\kappa x\right)}$

Onde in due e tre dimensioni

Principio di Huygens

Possiamo generalizzare il concetto di onda senza limitarci ad una sola dimensione: le considerazioni appena fatte valgono anche se si pensa ad un'onda che si propaga lungo una superficie, o nello spazio.

In questo caso, diversamente da un'onda lungo una linea dove ogni punto oscillava con un lieve ritardo rispetto ai punti precedenti e anticipo rispetto ai punti successivi, avremo un'intera linea o un'intera superficie di punti che oscillano concordi, lievemente in ritardo o in anticipo rispetto alle linee o alle superfici successive.

Queste linee o superfici costituiscono quello che è chiamato fronte d'onda.

Se c'è un unico punto che origina la vibrazione, le onde si diffondono da quel punto in ogni direzione; quindi se la velocità dell'onda è uguale in tutte le direzioni, si formeranno fronti d'onda di forma sferica.

Ipotizzando una fonte infinitamente lontana, il raggio di curvatura aumenta a tal punto da poter considera il fronte come piano.

In generale, se conosciamo il fronte d'onda ad un certo istante, per conoscere la nuova posizione del fronte dopo un tempo $\Delta t\,\!$, possiamo immaginare ogni punto del fronte come generatore di onde sferiche secondarie (che si espandono nello spazio per un raggio $r=v\Delta t\,\!$ ); la superficie formata da tutte queste infinite onde secondarie è il nuovo fronte d'onda.
Questo concetto è conosciuto come principio di Huygens.

Bibliografia

• Claudio Oleari e Andrea Peri. Schede di OTTICA. 2006.